問題驅(qū)動(dòng) 立足變式 生成素養(yǎng)

李春紅

[摘? 要] 文章以抽象模型——模型使用——拓展提升為路徑，展示“圓的拓展應(yīng)用”教學(xué)片段，通過教學(xué)實(shí)踐與反思，認(rèn)為基于問題驅(qū)動(dòng)，立足變式訓(xùn)練，能幫助學(xué)生掌握幾何模型的基本解題策略，能提高學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，能促進(jìn)其數(shù)學(xué)思維水平步步提高，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)自然生成.

[關(guān)鍵詞] 問題驅(qū)動(dòng);變式訓(xùn)練;數(shù)學(xué)思維;核心素養(yǎng);圓的拓展應(yīng)用

近期，筆者主講了“圓的拓展應(yīng)用”一課，教學(xué)中，筆者首先抽象基本的幾何模型，然后通過層進(jìn)式的變式題組推進(jìn)教學(xué)，試題選擇有代表性，難度呈階梯式上升，整個(gè)課堂流暢自然，學(xué)生掌握了幾何模型的基本解題策略. 通過變式訓(xùn)練，提高了學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，其數(shù)學(xué)思維水平步步提高，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)自然生成. 下面與各位同仁分享本課的實(shí)錄與思考.

課堂片段展示

1. 抽象模型

師：在前面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，求線段的最值或求因變量的最值屢見不鮮，同學(xué)們，想一想在求最值的問題中用的數(shù)學(xué)知識(shí)有哪些呢？

生1：利用線段的性質(zhì)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，或垂線的性質(zhì)“垂線段最短”.

生2：也可利用三角形三邊關(guān)系，兩邊之差<第三邊<兩邊之和來求最值.

生3：在求因變量的最值時(shí)，常需要建立二次函數(shù)的模型，然后利用二次函數(shù)最值的性質(zhì)求最值.

師：很好！這些都是求最值最常用的方法，也是同學(xué)們積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 今天，我們來學(xué)習(xí)一種新的求最值的方法，即利用輔助圓求最值.

問題1：如圖1所示，已知圓O的半徑為4，圓O外有一點(diǎn)P，線段OP的長(zhǎng)為10，設(shè)點(diǎn)A是圓O上任意一點(diǎn)，那么線段PA的最小值與最大值分別是多少？

生4：點(diǎn)A在圓O上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，線段PA的長(zhǎng)度是最小的，此時(shí)PA=PB=10-4=6;點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，線段PC的長(zhǎng)度是最大的，此時(shí)PA=PC=10+4=14.

師：為什么？你能說說其中的道理嗎？

生4：如圖2所示，連接OA，在△PAO中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得PO-OA

設(shè)計(jì)意圖：這是一道比較常見的幾何問題，通過問題的解決，向?qū)W生展現(xiàn)了一個(gè)幾何模型，即經(jīng)過圓外一點(diǎn)與圓心作直線，與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)與圓外的一點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)，另一個(gè)交點(diǎn)與圓外一點(diǎn)的距離最近.

2. 模型使用

問題2：如圖3所示，已知△ABC是直角三角形，∠B是直角，兩直角邊AB，BC的長(zhǎng)分別是12和8，然后以AB為直徑作半圓O與斜邊AC交于點(diǎn)D，取弧BD上任意一點(diǎn)P，求線段PC的最小值.

生5：由問題1的解題經(jīng)驗(yàn)可得，求圓外一點(diǎn)到圓上各點(diǎn)距離的最大值與最小值，就是過圓外一點(diǎn)與圓心作直線. 如圖4所示，連接OC交半圓于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)E的位置時(shí)，PC最小. 在Rt△OBC中，由勾股定理，得OC==10，因?yàn)镺E=AB=6，所以EC=10-6=4.

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生已掌握模型的基礎(chǔ)上，立足學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)置問題，旨在讓學(xué)生及時(shí)運(yùn)用模型解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的模型思想與建模意識(shí).

變式1：如圖5所示，在直角三角形ABC中，∠B是直角，兩直角邊AB、BC的長(zhǎng)分別是12和8，取AB的中點(diǎn)D，點(diǎn)E是線段BC上任意一點(diǎn)，將△BDE沿直線ED翻折得到△B′DE，連接B′C，求線段B′C的最小值是多少.

生6：如圖6所示，因?yàn)镈B=DB′，所以點(diǎn)B′的運(yùn)動(dòng)路徑為一個(gè)圓，圓心是點(diǎn)D，半徑是DB，此時(shí)連接CD，當(dāng)點(diǎn)B′位于CD與圓D的交點(diǎn)處時(shí)，線段B′C有最小值，最小值是CD-DB′=10-6=4.

師：由上述兩道題可以看出，決定線段B′C最小值的關(guān)鍵是什么？

生7：首先確定點(diǎn)B′的運(yùn)動(dòng)路徑，如果點(diǎn)B′的運(yùn)動(dòng)路徑是圓，那么就可以轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上各點(diǎn)距離的最值問題.

設(shè)計(jì)意圖：在變式訓(xùn)練中，題中沒有圓，必須根據(jù)題意找到這個(gè)隱藏的圓，這樣才能轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上各點(diǎn)距離的模型. 而這里判斷動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的主要依據(jù)是圓的定義，即圓是到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.

變式2：如圖7所示，已知△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，兩直角邊AB，BC的長(zhǎng)分別為12和8，設(shè)點(diǎn)P是三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，且∠PAB=∠PBC，那么線段CP長(zhǎng)的最小值是多少？

生8：因?yàn)椤螦BC=90°，∠PAB=∠PBC，所以∠PAB+∠PBA=90°. 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠APB=90°，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得點(diǎn)P在圓弧上運(yùn)動(dòng)，如圖8所示，連接OC與圓O交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P位于點(diǎn)Q時(shí)，CP有最小值，最小值為10-6=4.

設(shè)計(jì)意圖：變式2從另一個(gè)角度探究了圓存在的條件，即固定線段所對(duì)的角是直角，那么直角頂點(diǎn)就是在圓上移動(dòng)，然后利用圓外一點(diǎn)到圓上各點(diǎn)距離最小值的模型來解答.

3. 拓展提升

問題3：如圖9所示，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)A在x軸的正半軸移動(dòng)，點(diǎn)B在y軸的正半軸上移動(dòng)，那么線段OC的最大距離是多少？

生9：如圖10所示，連接OC，OD，DC，在Rt△OAB中，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，得OD=AB=，在等邊三角形ABC中，由解直角三角形，得DC=3，在△ODC中，由三角形三邊關(guān)系，得OC

師：此題可不可以轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上各點(diǎn)的距離的最值問題呢？

生10：也可以，把點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)看作固定點(diǎn)，把點(diǎn)O看作動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑就是以AB為直徑的半圓，如圖11所示.

一點(diǎn)反思

1. 構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，滲透數(shù)學(xué)方法

在解決幾何問題的過程中，當(dāng)問題不能直接解決，添加輔助線構(gòu)造幾何模型是有效的手段. 在構(gòu)造幾何模型時(shí)，切不可“想當(dāng)然”地亂作輔助線，務(wù)必要將已知與求證進(jìn)行有機(jī)聯(lián)結(jié)，形成一條解決問題的通路，以使我們能夠運(yùn)用已掌握的幾何模型解決問題[1]. 需要注意的是，在此過程中，掌握數(shù)學(xué)中基本的幾何模型是前提條件.

2. 基于變式訓(xùn)練，知識(shí)自然生長(zhǎng)

基于問題1，學(xué)生在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系解決問題的過程中，得到了“圓外一點(diǎn)到圓上各點(diǎn)距離最值”的模型，后面的問題2與問題3及它們的變式訓(xùn)練，層層遞進(jìn)，學(xué)生不斷經(jīng)歷識(shí)別模型、構(gòu)造模型. 運(yùn)用模型的過程. 學(xué)生在知識(shí)的自然生長(zhǎng)中，逐漸掌握了運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決問題的方法，體驗(yàn)與感悟了數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想[2].

3. 立足問題驅(qū)動(dòng)，促進(jìn)深度思考

立足于問題的驅(qū)動(dòng)，學(xué)生才能積極思考[3]，實(shí)現(xiàn)探究式教學(xué). 蘇格拉底曾言，教學(xué)不是把知識(shí)教給學(xué)生，而是把學(xué)生內(nèi)心深處的知識(shí)給引導(dǎo)出來. 可見，問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)是學(xué)生掌握科學(xué)知識(shí)的好方法，當(dāng)然，教師也要發(fā)揮好“助產(chǎn)婆”的作用[4]. 在本節(jié)課中，筆者以問題為導(dǎo)向，層層設(shè)問，通過問的方式引導(dǎo)學(xué)生理清思路，探究本源，在深入思考的同時(shí)，學(xué)生的知識(shí)自然生長(zhǎng)，素養(yǎng)自然生成.

參考文獻(xiàn)：

[1]牛建萍. 滲透模型思想，培養(yǎng)初中生問題解決能力[J]. 教育藝術(shù)，2019（07）.

[2]劉禮祥. 變式教學(xué)的實(shí)踐探索[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（21）.

[3]宋代暉. 問題驅(qū)動(dòng)，提升數(shù)學(xué)課堂的“向心力”——以“建立一元一次方程模型”為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（30）.

[4]于連鴻. 蘇格拉底“產(chǎn)婆術(shù)”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[D]. 內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2012.