高中數學解題中分類討論思想的應用

段繼華

摘 要：在高中階段的學習中，數學解題是較為困難的內容，也是學生能力較為薄弱的方面，對解題方法不能夠做到靈活使用，加上教學方式不合理，使得學生知識理解和掌握不牢。隨著新課程改革的深入，為了滿足新課程改革要求，彌補以往教學中的不足，應當加強學生解題能力培養，轉變課堂教學觀念，引入分類討論思維，強化學生數學思維，深刻體會數學問題內涵，提高課堂學習效率。本文闡述分類討論思想的概念，分析應用的原則，探究高中數學解題中分類討論思想的應用策略。

關鍵詞：高中數學;解題教學;分類討論思想;應用策略

高中數學解題中，分類討論是重要的數學思想方法，特別是一些結論不是唯一的題目，不能對其統一形式的研究，部分題目需要使用字母表示數，字母取值不同，其解決也會不同。因此，在實際的數學問題解答中，需要根據問題的情況進行分類，將復雜問題轉化成小問題，完成問題思考和解答，簡化解題過程，提高學生解題能力。

一、利用分類討論思想解決函數問題

在高中數學教學中，函數是教學的重點內容，函數解題是重要的解題類型，要求學生具備一定的思維能力，函數題目在高考中占有較高的比重。因此，在函數問題解題教學中，注重分類討論思想的引入，簡化問題復雜程度，幫助學生理解題目。一般來說，函數題目復雜多變，涉及的變量參數較多，對解題結果有著很大的影響。在解題中，引導學生利用分類思想，對不同參數產生的結果進行逐一探索，創新學生解題方式。例如，人教A版高中數學“函數的概念和表示”的教學中，為了加深學生函數性質和概念的掌握，引入例題開展分類討論活動。例題：已知函數，且x≠0，當a的值是多少時，函數是一次函數。

此題是屬于典型變量問題，作為教師需要引導學生分三種情況討論，第一：當2a+1=1且a+3≠0時，即a=0時，函數是一次函數，y=7x-5;第二：當2a+1=0時，即a=式，函數是一次函數，解析式為y=4x-5;第三：當a+3=0時，函數是一次函數，解析式為y=4x-5。通過這樣的分類討論活動，對確定函數是一次函數的已知條件進行分析討論，通過對其進行逐一的討論分析，完成函數問題的思考和解答，提高學生解題能力。在上述解題過程中，結合一次函數概念開展分類討論，得到問題的答案，實現學生數學綜合能力培養。

再如，已知函數f（x）=2x2-2ax+3，在區間[-1，1]上有最小值，記作g（a），求解g（a）的函數表達式。

此題涉及二次函數的對稱軸知識，在解題時，需要根據對稱軸的不同位置，開展分類討論，完成題目思考和解答。

將原式進行配方可以得到y=2（）2+3-，其對稱軸是x=。

當≤-1時，y在區間[-1，1]上單調遞增，當x=-1時，g（a）=2a+5

當-1<<1時，x=有最小值，g（a）=3-。

當≥1時，y在區間[-1，1]上單調遞減，當x=1時，g（a）=5-2a。

當a的取值不同，g（a）的表達式不同。

二、借助分類討論思想解答概率問題

概率是高中數學中的重要內容，是高考中必考的考點之一，為了提高學生概率解題效率，引入分類討論思想，培養學生分類討論意識，尋找概率問題解題方式，提高學生解題能力。例如，人教A版高中數學“概率”教學中，教師可以引入古典概率問題，開展分類討論活動。例題：在某個學校高三班級中，為了參加學校運動會，選出18名學生作為接力賽預備選手，從1到18進行編號，如果從中任意選擇3人，選出運動員編號是以3為公差的等差數列的概率是多少？為了保證學生能夠準確解題，教師可以引導學生利用分類討論思想進行解題，首先，讓學生計算出基本事件是17×16×3，并且運動員編號設為Yn=Y1+3（n-1），當Y1=1時，運動員從1、4、7、10、13、16選擇，可以有四種組合方式。其次，當Y1=2時，同樣有四種選擇，當Y1=3時，依然存在四種選擇方式。通過這樣的方式，可以準確計算出本題的答案。通過分類討論的方式，優化概率教學方式，考慮變量的變化形式，保證計算的準確性。在概率問題解答中，注重學生讀題習慣培養，根據具體問題進行分類討論，采取正確的分類方式，明確問題解題思路，分類討論思想的應用，幫助學生準確解題，鍛煉學生問題思考能力，強化學生數學思維能。

三、利用分類討論思想解答排列組合問題

排列組合是高中數學學習中的難點內容，排列組合問題是學生非常頭疼的題目，特別是排列組合類型的綜合題，教師可以以問題作為基礎，根據實際情況讓學生靈活利用知識，完成問題的分析和解答。在解題過程中，注重學生審題，從題目中發掘有效信息，對其進行整合，尋找問題解答方式。在實際的解題中，讓學生深入理解題目，發掘題干中的有效信息，通過歸納和總結，開展分類討論，最終完成問題解答。例題：在1到9中，任意選出3個數，其和是3的倍數，合適的選擇方式有（ ）種。

在題目解答中，需要對題目進行分析，對1到9的數字按照除以3余數的不同可以分成3組，想要選出3個數字的和是3的倍數，要么在同一組選3個，要么是3個組各選1個，同組選3個有3種選擇方式，3組各選1個的選法有27種，因此，一共有30種選擇方式。

再如，在四面體上，頂點和各棱中點一共有10個點，從中任意選擇四個，不同的取法有（ ）種。

在解題時，引導學生對題目進行分析，從10個點中任意取4個點，可以分成四點同面和不同面兩種情況，四點共面可以分成三種情況，第一：在四面體的同一個面的有10種選擇方式;第二，取棱上3點以及該棱對棱的中點的有6種;第三，由中位線構成的平行四邊形有3種。將總的取點總數減去不符合題干要求的3類，一共有141種取法。面對此種類型題目，乍一看很難找到解題思路，通過對題干進行發掘分析，找出隱藏的信息內容，尋找正確的解題方式，利用分類討論思想，正確解答出答案。

四、借助分類討論思想解決不等式問題

不等式問題是學生解題中的難點，面對不等式問題解題，需要引導學生進行不等式的變形或者位置變換，將未知數和已知數分開，便于計算。對于簡單的數字和未知數的不等式，可以通過變形移位的方式解答，對于復雜的不等式，需要引導學生考慮數字或者式子的符號，對于不等式存在根號的情況，引導學生引入分類討論思想，根號內的結果不能小于零，這些內容是不等式學習時具備的知識。例題：求解不等式[（n-1）×（n-5）]÷[（n+2）×（n-6）]>0。

在解題時，需要讓學生知道，含分母的題目，首先要考慮分母不為零的情況，首先可以確定n≠-2、n≠6，接下來是去分母的問題，兩邊同時乘以分母，這時需要考慮同時乘以一個式子，其結果是正還是負，考慮分母（n+2）×（n-6）的正負問題，開展分類討論分析。通過分母大于零和小于零兩種情況的結果，通過數軸展示出來，完成n的取值范圍的計算。

再如，假設m∈R，求解關于x的不等式：m2x2+2mx-3<0。

分析：在此題解答中，需要對m是否為零進行討論，通過分類討論找出對應不等式的解集。

當m=0時，原不等式為-3<0，對于任意x∈R都成立。

當m≠0時，不等式轉化成（mx-1）（mx+3）<0，求解得-3

當m>0時，求解得出，當m<0時，求解的。綜上可知，當m=0時，不等式的解集是R。當m>0時，不等式的解集是{x|}，當m<時，不等式的解集是{x|}。

題目主要考查學生對字母表示的一元二次不等式的解法和應用，根據字母系數開展分類討論，夯實學生基礎知識，提高學生知識應用能力，鍛煉學生解題能力。

五、利用分類討論思想解決集合問題

在高中數學題目中，集合題目是重要的內容，占據的比例相對較多，在集合問題解題時，需要根據集合之間的關系，以及集合和集合元素的關系，對其進行合理分類，完成問題的思考和解答。一般來說，集合題目的形式大多是填空和選擇，需要學生計算解決問題。在實際解題教學中，需要對集合分類標準進行明確，考慮集合的特殊情況，擴展學生解題思路，提高學生解題效率。例題：設A={x|-2≤x≤a}，B={y|y=2x+3，x∈A}，C={z|z=x2，x∈A}，且B包含C，求解實數a的取值范圍。

解析：當-2≤x≤a時，z=x2的范圍和實數a的正負號有關，|a|和2的大小有關，對a進行分類討論。因此，A={x|-2≤x≤a}，B={y|y=2x+3，x∈A}，所以B={y|-1≤y≤2a+3}。

當-2≤a≤0時，C={z|a2≤z≤4}。因為B包含C，所以，4≤2a+3，a≥，與-2≤a≤0矛盾。

當0

當a>2時，C={z|0≤z≤a2}，因為B包含C，所以a2≤2a+3，-1≤a≤3，所以2

在集合問題解題中，利用分類討論思想解題，根據特定的集合概念，對其進行分類討論，尋找問題解題思路，完成問題的思考和解答。

結束語

在高中數學解題中，引入分類討論思想，提高學生課堂學習效率，構建高效數學課堂，推動高中數學教學進一步發展。因此，作為高中數學教師，需要全面分析分類討論思想，將其和數學解題有效結合，加強學生解題訓練，幫助學生掌握分類討論應用方法，讓學生能夠做到舉一反三，培養學生創新思維，提高學生數學綜合素養。

參考文獻

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