單元整體教學視角下的基本不等式教學設計

蔡晶晶

摘 要：通過具體教學案例，探討單元整體教學設計的理念和策略，既關注知識目標和技能目標的達成，也關注數學思想、核心素養這些高層次目標的達成。

關鍵詞：單元整體;教學設計;核心素養;基本不等式

《普通高中數學課程標準（2017年版）》突出函數、幾何與代數、概率與統計、數學建?；顒优c數學探究活動四條主線，凸顯數學的內在邏輯和思想方法，關注數學邏輯體系、內容主線、知識之間的關聯，提倡單元整體教學設計。單元整體教學設計將各個相互聯系、相互作用的若干環節有機融合成一個整體，以數學六大核心素養為綱領，整合優化教學內容體系，選擇恰當的整體教學策略，使點狀的知識得以結構化、整體化，讓單一的數學思想方法和數學核心素養得到系統化建構和持續性培養。本文以人教A版《普通高中教科書·數學1（2019年版）》中的2.2“基本不等式”（2課時）的單元教學設計為例，進行整理與思考，與同行交流。

一、創設情境

在前面研究不等式性質中，我們發現：第24屆國際數學家大會會標（根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計）抽象得出的圖形中，四個小直角三角形的面積之和與大正方形ABCD的面積，大小關系如何？請用數學式子表示。

追問：a，b滿足什么條件時等號成立？如何利用代數方法證明這個不等式？

[設計意圖]：通過對兩部分面積的比較，幫助學生從直觀上理解基本不等式的一種變形形式，為接下來利用換元法推導出基本不等式作鋪墊。最后利用完全平方公式證明上述不等式，體現了數學知識之間的聯系。

探究一：令a，b>0，用和分別代替不等式里的a，b，可以得到什么結論？

[設計意圖]：利用換元法，推導出基本不等式，把基本不等式與完全平方公式建立聯系，并利用不等式性質進行證明，體現了化歸與轉化思想。

二、深化認識

探究二：我們還可以怎樣證明基本不等式？

追問：分析法證明命題的思路是什么？格式是什么？

[設計意圖]：利用分析法“執果索因”，讓學生對基本不等式有更深刻認識，并通過典型案例理解分析法，為高中階段的推理與證明提供更豐富策略。

三、理解升華

探究三：如上圖，AB是圓O的直徑，點C是AB上一點，AC=a，BC=b，。如何利用這個幾何圖形證明基本不等式？

[設計意圖]：借助學生熟知的幾何圖形，引導學生將和與圖中的幾何線段聯系起來，從而得到基本不等式的幾何解釋：圓的半徑不小于半弦（即圓的直徑是最長的弦），通過數形結合賦予基本不等式幾何直觀形象。同時借助信息技術，展示點C在直徑AB上移動的過程，體會基本不等式中蘊含的“等式”與“不等式”的內在聯系。

四、歸納提升

層次1：理解基本不等式的背景及其變式

（1）基本不等式的代數解釋：我們把叫作兩個正數a，b的算術平均數，叫作兩個正數a，b的幾何平均數，則基本不等式可表示為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。

（2）基本不等式的幾何解釋：令AC=a，BC=b，則CD≤OD，即（當且僅當a=b時等號成立）。

（3）基本不等式的變形形式：

引申結論：（當且僅當a=b時等號成立）。

層次2：注意基本不等式求最值的條件

學生在運用基本不等式求最值時，經常會忽略“一正、二定、三相等”這一前提條件，其中“一正”是指“正數”（a，b>0）;“二定”是指“定值”（若ab為定值，則有最小值;若為定值，則ab有最大值）;“三相等”是指“相等”（等號成立的條件是a=b）。

例1：已知x>0，求的最小值。

追問1：“求的最小值”的含義是什么？

追問2：所求代數式與基本不等式在形式上有何聯系？如何求的最小值？

變式1：已知x>0，求的最小值。

變式2：已知x>1，求的最小值。

[設計意圖]：利用基本不等式求最值問題，需要從所求代數式與基本不等式在形式上的聯系入手，必要時還可對代數式進行適當變形，使之符合“一正、二定、三相等”的形式。

例2.已知a，b>0，且，求a+b的最小值。

追問1：請觀察以下解法是否正確？并說明你的理由。

解：由（a，b>0）得：，又∴a+b的最小值為12。

錯誤原因：兩個等號不能同時成立。

追問2：請觀察已知等式與所求代數式的結構特征，思考本題正確解法。

法一（“1”的代換）：由a，b>0，且得：

（當且僅當即a=4，b=12時取到等號）。

法二（配湊法）：由得（a-1）（b-1）=9，又a，b>0∴0<<1，0<<1，即a>1，b>9∴a-1>0，b-9>0

（當且僅當a-1=b-9即a=4，b=12時取到等號）。

法三（消元法）：由（a，b>0）得：>0，a>1

（當且僅當即a=4，b=12時取到等號）。

變式：已知a，b>0，且a+b=4，求的最小值。

[設計意圖]：本題解題方法多樣，不過最常用的當屬“1”的代換。有時和不一定為“1”，還需加以變形，利用化歸思想，實現舉一反三。

層次3：掌握基本不等式的運用技巧

例3：已知x，y>0，求證：

（1）如果積xy等于定值p，那么當x=y時，和x+y有最小值;

（2）如果和x+y等于定值S，那么當x=y時，積xy有最大值。

追問：利用基本不等式可以解決哪兩類最值問題？

變式：已知0<x<1，求y=x（1-x）的最大值。

[設計意圖]：讓學生體會到利用基本不等式可以解決兩類最值問題：“積定和最小，和定積最大”，為后續實際應用埋下伏筆。

層次4：掌握基本不等式的實際應用

例4：（1）用籬笆圍一個面積為100m2的矩形菜園，當矩形的邊長為多少時，所用籬笆最短？最短長度是多少？（2）用一段長為36m的籬笆圍一個矩形菜園，當矩形的邊長為多少時，菜園面積最大？最大面積是多少？

追問：如何把本例加以簡化，轉化為上述兩種模型求解？

[設計意圖]：可將例4簡化為：（1）已知矩形的面積為定值，長與寬分別取何值時周長最短？（2）已知矩形的周長為定值，長與寬分別取何值時面積最大？從而轉化為“積定和最小，和定積最大”進行求解，發展學生的數學建模能力，體會數學在生活中的應用價值。

例5：某工廠要建造一個長方形無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m.如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，那么怎樣設計水池能使總造價最低？最低總造價是多少？

追問1：如何求水池的總造價？（設池底相鄰兩邊的邊長分別為xm，ym，水池的總造價為z元）

追問2：如何把本例轉化為基本不等式運用的常見模型求解？

[設計意圖]：本題背景更加復雜，要對實際問題加以提煉，轉化為數學模型：“已知xy=1600，x，y取何值時，最小”，從而利用“積定和最小”求解，引導學生用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界。

變式：（P48練習第2題）用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m.當這個矩形的邊長為多少時，菜園面積最大？最大面積是多少？

[總結提升]：

引導學生回顧本單元內容，回答下列問題：通過本節課，你學到了哪些知識？掌握了哪些方法？體會到哪些思想？

單元整體教學設計整合了教學內容，教學要素，教學目標，教學流程與教學評價和反思，是一個有機的整體。整體中的各部分，層層遞進，相互作用，在具體實踐中要從整體把握、整體優化、整體設計、整體推進四個方面展開。本節課正是從培養學生的抽象思維和邏輯思維入手，通過多層次、多角度挖掘內涵，達到對基本不等式的熟練掌握，有利于學生直觀想象、抽象概括、邏輯推理、數學運算等核心素養的達成。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].人民教育出版社.2017

本文系福建省基礎教育課程教學研究2019年度立項課題《素養導向的高中數學單元整體教學設計實踐研究》（課題編號：MJYKT2019-083）的階段性研究成果，也系福建省教育科學“十三五”規劃2019年度立項課題《整體性數學思維培育下的教學案例研究》（課題編號：FJJKXB19-905）的階段性研究成果