數形結合思想在高中函數中的應用

劉來

摘 要：數形結合思想在高中學習階段對函數板塊的學習發揮十分關鍵的作用，通過結合幾何圖形和代數關系，糅合直觀與抽象，不但能夠讓學生加強關于圖像、概念的認知，又可以協助學生選擇不同的解題方法，繼而形成嚴謹的數學思維。

關鍵詞：高中函數學習;數形結合;數學思維

高中階段數學的學習對學生的要求是扎實的基本功、對于原理理解透徹、公式運用能夠舉一反三，還需要形成獨立的數學思維方法。歷年的高考考題也充分的體現了這一點，考題不但注重對數學能力、數學知識、解題技巧的考查，更關注的是考生數學能力、思想方法的形成。課程標準明確指出，高中數學課程的理念是側重于數學的主線，培養形成獨立完整的邏輯體系，凸顯數學思想。思維方法的建立受到學生核心素養的極大影響，因此高中課程提出要培養學生的六個核心素養，分別是想象力、邏輯能力、建模、計算對數據分析以及抽象。在此其中，數學抽象是指構建數學邏輯的方式以及思維過程，它是通過圖像特點以及代數關系進行的。直觀想象指的是根據給出的圖案分析事物對應的變化，通過圖形正確理解問題，而且實際處理問題的整個過程所以數形結合思想和想象力以及抽象兩種素養有關。新課標指出要學好高中數學，那么便要具備對數學和圖形結合的問題進行分析處理的能力。

一、數形結合思想的內涵

數形結合指的是解決問題時，結合直觀的圖像以及抽象的代數關系，對實際問題進行研究，繼而轉化圖形特點和代數關系。代數關系的重點是抽象的方程式、函數，圖形特點指的是在坐標系下從圖形、圖像獲得的關系。在函數問題方面，主要指的是根據圖像發生變化的特征和代數關系，對問題進行分析處理。

二、數形結合思想在高中函數的應用

（一）以形助數

“以形助數”指的是按照圖像的特點處理函數問題。要求學生對函數圖像進行分析，找出圖像的幾何特征，進而根據直觀圖像得出函數的性質，并且轉換函數性質成詳細的代數關系，繼而讓數的問題得到解決。如題：

已知函數的部分圖像如圖所示，則（ ）

A.1 B. C. D.0

在本題中通過函數圖像反映的信息，結合三角函數知識我們可以得到以下代數關系：①，②，③，聯立方程①②③可求解出A，ω，φ，進而求出。

本題突出對學生提取圖像信息和將圖像特征其轉化代數關系的能力的考查。學生首先要利用圖像得到函數周期，然后利用特殊點坐標（0，）得出代數方程，第三利用函數圖像的極值點得到代數方程解出φ。本題解決函數問題的方法是代數關系以及圖像特征的彼此轉化。

（二）以數輔形

“以數輔形”指依據函數所包含的代數關系，理解或得出函數的具體圖像特征。代數關系是解決問題的工具，通過對數的分析，來對形進行研究，達到“形”的目的。形的模糊往往使用精確的數表達，如題：

例如下圖，在邊長為2的等邊三角形ABC中，一條和ab呈90度角關系的直線L由a點出發從左往右移動，把三角形ABC分為兩部分，假如線段AD=x

（1）把直線L左邊圖形面積的函數解析式寫出來

（2）在直角坐標系中把函數圖像畫出來.

本題從平面圖形的面積出發，讓學生探究直線L左邊圖形的面積和線段AD的代數關系。通過圖形的形狀和平面圖形的面積公式得出相應的代數關系即函數解析式，并根據解析式畫出函數圖像。正確解題思路是當0

（三）數形結合

“數形結合”指利用函數解析式，作出函數的圖像，然后根據函數圖像的“圖像特征”得到具體的“代數關系”來解決數學問題。如題：

已知a是常數，函數的導函數y=f′（x）的圖像如右圖所示，則函數的圖像可能是（ ）

A.

B.

C.

D.

本題應當先對參數a的取值范圍進行確認，主要通過函數解析式以及二次函數性質進行確定，根據取值將g（x）圖像畫出。畫圖像時，要跟指數函數性質聯系起來，按照參數的取值對它的加減性進行判斷，最后通過絕對值性質轉換圖像。本題通過“代數關系”與“圖像特征”的互相轉換可以快速解決問題。

結束語

在學習高中函數的過程里，數形結合思想是一種重要的數學思維，發揮著十分關鍵的作用。它著重于幫助學生從不同角度對概念進行深入理解，形成一定的思維能力，延伸探索解決問題的方法。在數形結合過程中，圖形的直觀使得函數性質一目了然，而數據的表示又可使圖形更具意義。學生在解決函數問題時將函數的相關性質、概念與函數圖像結合起來，利用“代數關系”與“圖像特征”的互相轉換，從而找到解決問題的方法。

參考文獻

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