化歸思想在解三角形中的應(yīng)用

李紅偉

摘 ?要：化歸思想是數(shù)學(xué)思想的重要構(gòu)成，也是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)難題解決的重要思想方法之一。通過化歸思想的應(yīng)用，學(xué)生可以在解題和學(xué)習(xí)的過程中實(shí)現(xiàn)題目的有效轉(zhuǎn)化，將未知轉(zhuǎn)換為已知。解三角形是三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)的考查，其中涉及到很多公式的變形和轉(zhuǎn)換，相應(yīng)地，若學(xué)生可以掌握化歸的有效的方向，形成化歸的意識(shí)，那么學(xué)生就可以較為容易地實(shí)現(xiàn)這些題目的解答。

關(guān)鍵詞：化歸思想;高中數(shù)學(xué);解三角形

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要構(gòu)成內(nèi)容，也是高考的必要考查內(nèi)容，如何幫助學(xué)生突破三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)掌握解三角形的方法是教師進(jìn)行教學(xué)研究的重點(diǎn)。解三角形題目是三角函數(shù)的考查方向之一，其難點(diǎn)在于綜合了函數(shù)和幾何兩方面內(nèi)容，考查的內(nèi)容更加抽象化，為了實(shí)現(xiàn)這一類題目的解答，學(xué)生需要有一個(gè)靈活轉(zhuǎn)換的意識(shí)和能力，及時(shí)地在解題過程中進(jìn)行題目條件和內(nèi)容的轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)題目解答的簡(jiǎn)化。接下來，筆者將針對(duì)化歸思想在解三角形教學(xué)中的培養(yǎng)策略進(jìn)行簡(jiǎn)要闡述。

一、作出化歸展示，引導(dǎo)學(xué)生理解

化歸能力的培養(yǎng)需要學(xué)生先樹立化歸的思想和意識(shí)，只有學(xué)生對(duì)化歸思想有了一個(gè)明確的認(rèn)識(shí)，其才能在學(xué)習(xí)過程中找到化歸思想應(yīng)用的途徑。相應(yīng)地，高中數(shù)學(xué)教師需要在教學(xué)中為學(xué)生作出化歸思想的詮釋，并結(jié)合實(shí)際的教學(xué)展示，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)何為化歸與化歸在解題中的實(shí)際用法。

例如，在教學(xué)實(shí)際中，教師可以通過三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的展示，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)利用化歸思想將任意角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的方法，也可以展示三角函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值的方法，還可以展現(xiàn)y= cosx+bsinx形式的問題轉(zhuǎn)化為y= sin（x+ ）的問題的過程。通過這些解題轉(zhuǎn)化過程的展現(xiàn)，學(xué)生就可以更為直觀且明確地認(rèn)識(shí)化歸的含義，理解化歸所代表的題目簡(jiǎn)化思想。當(dāng)學(xué)生對(duì)化歸有了認(rèn)識(shí)，教師所開展的化歸培養(yǎng)策略也就可以更容易得到學(xué)生的配合。

二、給出實(shí)際例題，展現(xiàn)變角過程

化歸的主要用途是解題，在解三角形相關(guān)題目的解答中化歸思想的應(yīng)用主要存在于角的變換上。相應(yīng)地，教師在實(shí)際的教學(xué)過程中，就可以結(jié)合實(shí)際的解三角形例題進(jìn)行展示，引導(dǎo)學(xué)生觀察題目解答過程中的邊角，并讓其認(rèn)識(shí)到化歸思想在解題過程中所發(fā)揮的作用。由于解三角形題目大多具有較強(qiáng)的抽象性，為了幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)階段實(shí)現(xiàn)深入理解，教師可以使用幾何畫板軟件進(jìn)行相關(guān)題目圖形的繪制和變形展示，并在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生觀察其中的變化過程。

例如，在教學(xué)實(shí)際中，教師就可以為學(xué)生展現(xiàn)以下的例題，引導(dǎo)學(xué)生觀察利用化歸變角的過程：

已知cos（ - ）= ，x （ ， ），求sinx的值，求sin（2x+ ）的值。

在展示出這一題目后，教師就可以為學(xué)生展現(xiàn)其解題轉(zhuǎn)換的過程。其中，教師要先為學(xué)生進(jìn)行解析，然后學(xué)生提前明確本題目中可以使用已知三角函數(shù)角數(shù)值與所求三角函數(shù)角數(shù)值的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即x=（ - ）+ ，在角完成轉(zhuǎn)換之后，再利用差角公式和誘導(dǎo)公式實(shí)現(xiàn)該題目的解決。這道題目是三角函數(shù)中較為常見的題目，其化歸的思想也可以歸類為整體性的運(yùn)用，教師要能讓學(xué)生明確，將題目中未知角與已知角轉(zhuǎn)換的行為，目的是為了簡(jiǎn)化題目和使用誘導(dǎo)公式求解，即化歸需要有目的性。

三、設(shè)計(jì)變式訓(xùn)練，培養(yǎng)化歸能力

化歸是一種可培養(yǎng)的數(shù)學(xué)能力，為了幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)解三角形題目的有效解答，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，教師需要將學(xué)生化歸能力的培養(yǎng)重視起來。在傳統(tǒng)的教學(xué)中，教師會(huì)更多地強(qiáng)調(diào)解題的技巧，對(duì)于解題的統(tǒng)籌思想的重視程度并不高，而在當(dāng)前，隨著高考命題的應(yīng)用型和靈活性的提升，學(xué)生需要掌握較強(qiáng)的化歸能力。基于此，教師就可以選用一些合適的高考題和模擬題，展開針對(duì)性的變式訓(xùn)練，重點(diǎn)對(duì)學(xué)生的化歸能力進(jìn)行發(fā)展和培養(yǎng)。除去實(shí)際的解題訓(xùn)練外，教師還可以開展三角形恒等變換的訓(xùn)練，讓學(xué)生嘗試著練習(xí)公式的變形，提升其轉(zhuǎn)換劃過能力。

例如，在進(jìn)行“解三角形”相關(guān)的解題教學(xué)時(shí)，教師就可以圍繞著基礎(chǔ)題目的引入與解析進(jìn)行學(xué)生化歸意識(shí)和能力的培養(yǎng)。其中教師可以給出學(xué)生幾道簡(jiǎn)單的三角函數(shù)恒等變換題目，讓學(xué)生嘗試著體會(huì)三角恒等公式的變形與實(shí)際應(yīng)用的方法。在學(xué)生熟悉了其解法和用法之后，教師就可以在題目中加入一些現(xiàn)實(shí)情境或變動(dòng)題試題邊角條件，生成變式題，而通過引導(dǎo)學(xué)生解答變式題的過程，學(xué)生就可以逐步掌握化歸方法應(yīng)用的方式。

綜上所述，化歸思想的引入對(duì)于學(xué)生解題能力的提升有著較強(qiáng)的作用。在解三角形的教學(xué)中引入化歸思更好地完成可以讓學(xué)生更好地完成解三角形題目的解答，實(shí)現(xiàn)三角形相關(guān)公式的有效轉(zhuǎn)換。為了讓學(xué)生形成化歸的意識(shí)，教師在教學(xué)實(shí)際中就可以從化歸的展示入手，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)何為化歸，而后再通過實(shí)際例題的展現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生感受化歸的方法，最后為了培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用化歸解題的能力，教師就可以再設(shè)計(jì)變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生參與學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)：

[1]周軍港.化歸轉(zhuǎn)化思想在解三角形中的應(yīng)用——對(duì)高三學(xué)生解三角形的思維障礙的思考，J].中國(guó)校外教育，2015，{4}（24）：139.

[2]蔣敏，陳國(guó)林.數(shù)學(xué)思想在解三角形中的精彩綻放[J].數(shù)理化解題研究，2018，{4}（22）：14-15.