用數學思想方法貫穿教學全程

鄭召欣

[摘 要]人教版教材第十一冊的“雞兔同籠”課程以數學思想方法貫穿始末，旨在讓學生在探究中摸索解題良方，體驗解題時策略的多樣性，對列表法、假設法有所了解，訓練邏輯推理能力，磨礪應用能力。

[關鍵詞]雞兔同籠;數學思想;教學設計;教學反思

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）29-0062-02

一、教學思路與教學目標

“雞兔同籠”本是人教版教材第十一冊第七章的課程，主要推薦列表法、假設法和方程法解題，修訂后將其前移至第八冊，雖然仍屬數學廣角內容，卻弱化了方程法的權重，增強了假設法的權重，還有額外的滲透數學思想的教學任務。四年級學生對一些數學思想有所聽聞，但都是膚淺、片面、表層的，缺乏深度和厚度，所以在這節課中要繼續鞏固提升，加大力度構建數學思想體系大廈。

本課的教學目標主要有以下幾點：1.了解“雞兔同籠”問題，感受古典問題的魅力;2.嘗試用列表法、作圖法、算術法來多途徑解決“雞兔同籠”問題，并能對比優選，體會算術法的普遍性;3.體驗解決問題對策和路線的多樣性，滲透化繁為簡、數形結合的數學思想，訓練邏輯思維。教學重點為多途徑解決“雞兔同籠”問題，并優選方法，體會算術法的算理和通用性。教學難點為通過數形結合的方法，從作圖法中推導出算術算式。

本課以《孫子算經》中的趣味題作為楔子，以化繁為簡、數形結合的數學思想為主線貫穿始末，讓學生先從簡單易操作的列表法突破，然后歸納出數學規律。為了使算式的意義通俗易懂，筆者先用作圖法，再利用數形結合的數學思想將圖示經過用算式一一破譯出來，解題過程躍然紙上，最后對比三種解法并不斷優化，彰顯算術解法的通用性和抽象性，但也提倡自選方法，為“雞兔同籠”問題探尋更多的科學解法。

二、教學過程

1.拋出趣題，激發興趣

出示主題圖《孫子算經》中雞兔同籠的古典難題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？再出示白話文版本的譯文：竹籠里關著烏雞和白兔若干只。伸出竹籠外有35個腦袋，圍在竹籠里有94條腿。烏雞和白兔各有幾只？（開門見山引出主題）

師：你能解答這道題嗎？這道題稍顯復雜，可先從簡單的條件尋找突破口，再來謀劃如何解題。（板書“化繁為簡”）

【設計意圖：讓學生領略其趣味，激發他們的好奇心和求勝心，繼而產生濃厚興趣。將文言文翻譯為白話文，本身就是一種化繁為簡?！?/p>

2.初步探索，解決問題

出示例1：竹籠子里有若干只烏雞和白兔。從上面數，有8只腦袋，竹籠底部，有26條腿。烏雞和白兔各有幾只？

教師先指點學生充分挖掘題中各種或明或暗的信息“每只烏雞有2條腿、每只白兔有4條腿”，在學生大膽猜想后推出列表法（如表1）。學生在稿紙上將表格完善，然后匯報交流。教師引導學生發現籠內雞兔的只數和腿數之間的數量變化關聯：同時減少1只烏雞增加1只白兔，頭數不變，但是腿數增加2。

【設計意圖：將整理數學信息時找到的規律通過列表展示出來，讓學生清醒地意識到解題要有條理，思路要清晰明確。列表呈現數據后，綜合分析發現解題要訣在于每只烏雞和每只白兔腿數的差距，為后面教學算術方法做好鋪墊。】

3.提升難度，再次探索

教師先引進作圖法，繼續強調化繁為簡的數學思想，并用符號來記錄;再將學生分成兩大組：一組扮演烏雞、一組扮演白兔?！盀蹼u隊”發現腿數偏少，“白兔隊”發現腿數偏多。小組合作探究：“烏雞隊”怎么補足腿數？“白兔隊”怎么退還腿數？

小組代表發言：“烏雞隊”里每只烏雞可添補2條腿，缺少的10條可補充給5只烏雞，如此一來就有5只白兔、3只烏雞。“白兔隊”每只白兔可退還2條腿，送出的6條腿會讓3只白兔變身為烏雞。

【設計意圖：學生再次體驗多路徑解題和化繁為簡的數學思想，逐步感受作圖法的優勢，在小組比賽搶答和不斷討論中尋找規范答案。作圖法與后面的算術法原理相似?！?/p>

4.思想升華，構建模型

師：如果“雞兔同籠”問題中涉及的數字較大，列表法和作圖法還好使嗎？（讓學生產生尋找一種通用方法的動機）

師：你能把剛才作圖的每個步驟都翻譯成算式嗎？

（小組合作研究，用算式來書寫作圖流程。討論結束后，請各組代表敘述經過，并輔之以課件動畫說明）

師：為何兩種解法里都有“+2”這一步操作呢？（鄭重申明每只烏雞和每只兔的腿數的差值為2）

師：剛才大家不自覺運用了一種重要的數學思想——數形結合。

（用算術法解答《孫子算經》中的原題）

【設計意圖：學生對于算術法的理解是教學難點，為了順利化解，采用了小組合作研討的策略，讓學生在集體商議中取長補短，摸透解題思路。由于算術法的算式就是從所作圖形中直譯而來的，既避開了直接理解的難點，也捎帶滲透了數形結合的數學思想，可謂一箭雙雕?！?/p>

三、教學反思

1.一題多法，滲透數學思想。數學廣角是人教版教材的特色單元，設計的初衷就是為了滲透一些數學思想，培養學生面對問題時的決斷力和謀劃力，適時增加數學的趣味性，讓學生對數學產生一定的興趣。在本節教學設計時，筆者先通過一題多解引發對比和優化，并讓學生多維度、多層次體驗同一數學思想，感知數學思想的抽象性、普遍性和指導性。首先，滲透化繁為簡的數學思想，再循序漸進地滲透數形結合的數學思想，讓學生自己開動腦筋解決問題，自力更生，感受數學的魅力。

2.鼓勵參與，在合作中提高學習效率。根據課標倡導的“生本位”理念，在課堂上盡量設置自由民主的探索交流空間。本節課中，筆者主要通過創設現實情境，讓學生邊活動邊摸索，自己去反思總結，得出結論，筆者只需教會學生運用假設的數學思想即可。學生能夠積極地思考，深入探討，小組合作切實有效，數形結合的思想就會深入人心。

3.關注每一個學生的發展，提高課堂教學的生成性。由于學生存在先天的個體差異，解題水平就會參差不齊，面對同一問題，學生的認知水平也不盡相同。教師在教學時不能一刀切，要因材施教、因人而異。本節課，師生共同經歷了不同的方法的探索，并進行比較優化，這樣教學既培養了學生的研究能力、溝通力和團隊協作能力，又展現了算法的多樣性與擇優錄用原則，同時面向全體，讓不同層級的學生各有所得。

總的來說，本節課為學生量身定做教學內容，教學過程設計合理，活動素材充足，引人入勝，讓學生在合作探究中構建知識。在整堂課中，學生學得興致勃勃、不亦樂乎，愉快地解決了問題，數學的價值和學習的樂趣盡在不言中。

（責編 羅 艷）