基于預設與生成融合的習題講評課

曹艷芳

摘要：精準預設讓習題課教學具有清晰的方向性，精彩生成讓習題課激起思維的火花。在充分認識教學內容和教學價值的基礎上、在充分了解學生學習能力和思維水平的前提下，對學生出現的不同解法甚至錯誤解法進行準確的預判，形成預設性學習任務；在課堂教學中及時發現學生的解題障礙或思維誤區，產生生成性學習任務。在二者結合的基礎上，回歸最初定義，探尋錯誤根源。基于預設和生成融合的平面向量數量積習題教學，選擇思維空間較大的例題，在討論不同解法和學生錯解的基礎上，找到問題的根源，拓展新的思維空間，從而較好地突破了平面向量數量積運算難點。

關鍵詞：平面向量數量積；習題講評課；預設與生成；高中數學

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2021）19-0049

一、問題的提出

向量是近代數學中重要和基本的概念之一，具有深刻的幾何背景和豐富的數學內涵。平面向量數量積（以下簡稱數量積）的概念從物理中的“功”抽象而來，依據定義式可以推導出向量的模長、夾角以及坐標表示等公式。類比推廣到空間向量后，先將幾何問題坐標化數量化，再進行代數運算，最后又將運算結果轉化成幾何關系，從而數量積成為研究空間基本圖形的位置、度量關系的有效工具。經過這一學習過程，學生體會和掌握了數形結合、轉化化歸的數學思想方法，發展了數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等學科核心素養。

數量積的教學研究多見于新授課教學設計和解題策略。如李沛、丁益祥設計了“路徑探究、背景分析、定義抽象、向量投影、性質研習”[1]五個環節來突破教學難點。曹磊利用平面向量基本定理，將向量的數量積轉化為基底向量的數量積，將數量積運算自然引導到坐標表示[2]。魏安龍將數量積運算進行了題型歸納，側重定義法、坐標法、基底法[3]。孫金霞、石海峰以2014年江蘇高考題第12題為例，探究了數量積運算方法與選擇策略[4]。對于數量積運算方法優劣比較與選擇，學生做題誤區與錯因分析等研究相對缺乏。

二、預設與生成融合的基本內涵

預設是教師在課前對課堂教學活動的規劃和設計，生成是在教學中因學情變化產生預料之外的有價值的觀點或問題。缺少生成的預設，課堂缺乏靈氣，壓制了學習的主動性與積極性；缺少預設的生成，往往又缺少課堂焦點，導致教學效率下降。從而預設與生成融合在習題教學中顯得尤為重要。

1.基于生成的預設

基于生成的預設是以生成為目的的預設，是課堂教學生成的準備。精準預設離不開對教學內容和學情準確而深刻地把握，以及對課堂教學過程充分地預計。

2.對教學內容的精準把握和學情的充分了解是精準預設的基本保證。數量積運算內容豐富運用廣泛，是高考命題熱點也是課堂教學重點。數量積運算常規方法有三種：定義法、坐標法、基底法。筆者所在學校的學生對定義法和坐標法掌握相對較好，但當已知條件特征不明顯時，在方法的選擇上就會出現困難，能夠靈活運用基底法的學生就更少。主要原因是學生對平面向量基本定理理解不到位，缺乏基底意識。

（1）對教學環節的規劃是精準預設的主要任務。為了突破數量積運算教學重難點，筆者在習題課中設計了這樣一道例題。

題中a，b是以坐標的形式給出的，x，y是a，b的線性表示，學生在做題時會選擇坐標法，但由于計算煩瑣，學生可能會產生畏難情緒或計算錯誤。基于教學目標和學情，預設本節課的教學流程為：知識回顧—自主練習—展示交流—解難答疑—歸納總結—鞏固練習。

（2）基于預設的生成

基于預設的生成是有取舍的生成，是聚焦于教學目標的生成性問題的解決。精彩的生成離不開有思維空間的問題和思維活動的充分展開。

①有思維空間的問題是精彩生成的基礎。思維空間意味著習題課選題不僅在知識上緊扣主要內容，而且在解題方法上不是唯一的，在不同解法中發現思維的差異，從而形成思維碰撞。本課所選例題（見上）從知識層面上看，是一道向量垂直與數量積運算的綜合應用題。從解題方法上可以選擇坐標法，也可以根據垂直關系列式，運用運算律和數量積的坐標運算公式來解決。第一種解法容易想到但計算煩瑣，第二種方法需要學生有敏感的數學解題能力。設計此題意在訓練學生進行數量積運算，以及分析運算策略尋求最優解法。

②充分的思維展開是精彩生成的主要過程。思維展開就是給予學生充分的解答時間，并調控思維展開的過程。將此題呈現給學生自主完成，根據教學經驗，學生會出現以下幾種情況。無從下筆；計算受阻而畏難；計算煩瑣致出錯；快速準確。教師再挑選這四種代表性的作業進行展示，并請學生講述解題思維過程及困惑。通過交流展示，學生知道此題有兩種解法，同時會產生質疑：哪種解法好？下次做題時自己會運用哪種？此時，教師引導學生在做題前應預估兩種解法的可行性、繁簡程度，最終得出解決數學問題要步驟化，不能盲目下筆。接著再安排鞏固練習就能很好地實現教學目標。

三、預設與生成融合的習題課教學實施

基于預設與生成融合的習題課教學，教學環節清晰，教學過程充分重視學生思維活動的展開，預設和生成的學習活動相得益彰。基本教學過程為：知識回顧—自主練習—展示交流—釋疑解惑—質疑探疑。

1.知識回顧，快速回顧數量積運算的三種常規方法，做好知識上的鋪墊。

2.自主練習，呈現例題后，讓學生獨立完成。在巡視的過程中，了解學生做題時的思維活動，把握主要思維障礙或誤區，收集講題素材。

3.展示交流，充分了解學生做題情況后，挑選了4份預估的代表性答案進行投影，并請4位學生談了做題時的困惑和收獲。緊接著展示了預先準備好的兩種解法，并請學生思考交流：兩種解法哪種較好？理由是什么？

4.釋疑解惑，經過一番討論后，生5：“解法一容易想到，但是坐標太難算了。”生6：“若是不計算坐標，根據垂直列式用運算律展開，因a，b的數量積為0，運算量大大簡化了。”筆者聽完兩位學生的發言馬上總結：“在解決問題時要養成良好的運算習慣：理解題意、找準運算對象—思考運算思路，預估運算繁簡—選擇運算方法，求得運算結果。”

5.質疑探疑，按照預設完成了例題的教學，正準備開展鞏固練習時，課堂上冒出了意外的聲音，生7有別的解法，解答如下：

出乎意料，生7利用平面向量基本定理，確定基底寫出坐標，再轉化為數量積的坐標運算。這個方法確實妙，但為何答案不正確呢？這是一個好的生成問題，臨時提出兩個問題，引導學生探究錯誤根源：

問題（1）平面向量數量積的坐標表示是什么？

問題（2）平面向量數量積的坐標表示是如何推導出來的？

問題（1）學生都能準確地背出來，卻說不出問題（2）的所以然來。這時，筆者要求學生回歸教材，引導學生重新進行知識梳理，平面內任意向量都可以由同一平面內兩個不共線的基底向量線性表示，在此基礎上選定坐標軸上的單位向量i，j進行正交分解，即a= xi+ yj，再利用運算律進行運算從而得出了數量積的坐標表示a？b= x1x2+ y1y2。在這個過程中，學生再次從整體上認識了知識的關聯性。再衍生出第三個問題：

問題（3）數量積的坐標表示對基底有要求嗎？此題中a，b為基底是否可行？

學生還意猶未盡，紛紛提問。a，b的坐標是以坐標軸上的單位向量i，j為基底得到的，x，y的坐標是以c，b為基底得到的，它們的基底不同，會影響答案嗎？筆者要求學生再次回到數量積坐標表示的推導過程中，發現答案確實是不受影響的。若a，b為基底，但它們不是單位向量又不垂直怎么辦？筆者認為推導非垂直情況下數量積的坐標表示意義不大，但還是肯定了學生的積極思考。

6.歸納總結，歸納總結是思路的提煉，方法的提升。結課環節要求學生來總結收獲。生8：“這道題將數量積運算的三種方法都運用上來了，沒有刷題但是確實掌握了三種方法。”筆者也及時肯定：學生經過思考得到了一題三解，迎難而上的學習勁頭值得表揚。

四、效果與反思

1.教學效果

本課例中，學生不僅出現了可預見的錯誤類型，還因學生的錯解生成了具有探究價值的問題。筆者抓準教育時機引領學生探究錯誤根源，在這一過程中，較好地建構了知識網絡，將平面向量基本定理、正交分解、向量的坐標表示、數量積的坐標表示等知識串聯起來，對知識的理解更加透徹，也獲得了難能可貴的“基底意識”，是預設和生成的完美融合，課堂教學效果好。

2.教學反思

學生出現錯解源于新課教學不到位，在推導數量積坐標表示時輕描淡寫，導致學生只是記住了坐標表示的結論，而推導的理論依據和過程卻沒有受到重視。其次，在展示典型答案和學生分析后，應該給出充足時間讓學生再次訓練，而不是教師展示正確答案。此外，由于生成問題的出現，預設的鞏固練習未能預期進行，時間所限只能進行取舍。

通過這節課，筆者也意識到要上出有質量、有深度的數學課必須加強自我學習。對每一個數學知識，要思考它從哪里來，有什么作用？從整體和局部兩個方面來進行教學思考，認清知識的本質和內涵，領悟蘊含的數學思想方法和數學核心素養。課堂教學千變萬化，預設和生成度的把握實際操作難度大，在以后的教學中還要不斷修煉。面對課堂出現的“不速之客”，要判斷是“奇思妙想”還是“胡思亂想”？是“巧妙利用”還是“撥亂反正”？

參考文獻：

[1]李沛，丁益祥.“平面向量的數量積”教學設計、反思與點評[J].中學數學教學參考，2020（7）：15-21.

[2]曹磊.體驗操作感悟過程自然建構——以“平面向量數量積的坐標表示”教學為例[J].高中數學教與學，2019（2）：32-34.

[3]魏安龍.“平面向量的數量積”（第2課時）教學設計[J].中學數學教學參考，2017（33）：22-24.

[4]孫金霞，石海峰.談平面向量的數量積的運算方法與選擇——以2014年江蘇高考第12題為例[J].數學學習與研究，2014（23）：105+107.

（作者單位：廣東省廣州市番禺區石碁中學511450）