導數在高中數學教學中的應用

陳剛

摘要：在高中數學教學中，導數所占的比重很大，它既是一個重點，也是一個難點，更是學生之后步入高校繼續學習數學的重要基礎。所以，在高中數學教學中，如何結合學生的實際情況，選擇怎樣的方式進行教學，是教師在教學中必須注意的事項。只有讓學生夯實了基礎，之后的學習才會越來越順暢。

關鍵詞：高中數學；導數；基礎；實際情況

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2021）19-0101

導數這個知識點在高考中一直占有重要的位置。導數知識的積累，能有效地加深學生對函數的觀察與理解，同時滲透極限思想，為學生在進行函數變化率研究時提供工具，進而有效地解決函數中的極值最值問題。導數這一具有工具效力的知識點的掌握，能為之后的數學學習奠定基礎。在這一部分的教學中，教師對概念的深入理解并將之與幾何圖形結合，分析高考習題類型，才能更好地提高教學的精準性。

一、導數的概念

導數是微積分中的重要基礎概念，即當函數的自變量在一個點上產生增量時，函數輸出值與自變量的增量的比值的極限如果存在，則稱該函數可導。并非所有的函數都有導數，一個函數也不一定在所有點上都有導數，導數是函數的局部性質。如果一個函數在某一點存在導數，則稱為該函數在這點可導，否則不可導。可導的函數一定連續，不連續的函數則一定不可導。

筆者通過對近幾年的高考試卷研究發現，直接對導數概念進行考查的題目近乎沒有，對其考查主要是采用應用題的形式，這就要求學生對導數及變化率的關系充分理解和掌握，以便更快地從題目中提取有效信息，進而提高解題效率.

二、導數在高中數學教學中的應用

1.了解并掌握學生的學習情況

在接觸導數之初，學生常常會被教材所給出的概念所迷惑。因為這一思想與初中所學習的數學知識與所運用的數學思想相差較大，存在著較大的知識認差，導致在學習過程中，會出現難以理解從而阻礙學習進程的現象，尤其有部分學生覺得高一函數部分的內容較為抽象、難以理解，所以學生要很好地掌握導數思想存在一定的難度。

導數概念主要是通過一般的極限思想進行推導。如果掌握不扎實，就可能存在“恐函癥”。那么，帶著這種思想是沒有辦法真正抓實抓好。

因此，為更好地提高教學效果，就需要教師將這一概念建立在實際的問題中，并以此作為教學的主要背景，讓平均變化率向瞬時變化率完美的過渡，讓導數概念更鮮活地體現在學生眼前，從而提高教學效果。

2.理解并把握導數的幾何意義

高中的數學學習，很多時候必須滲透數形結合思想，導數作為函數重要的組成部分之一，更需要教師在教的過程中結合圖形，理解導數的幾何意義就是切線的斜率。同時意識到導數的幾何意義也是導數知識的重難點，學生只有在深刻理解導數概念以及其幾何意義的基礎上，才可以達到對導數知識靈活運用的程度。所以，教師在導數的教學中要充分利用幾何畫板，從函數曲線上割線的轉動過程中，培養學生對導數的感性認知，在這個基礎上，再進行側面的指導，加強學生的直觀認知，并通過極限的思想以達到幫助學生認知幾何意義，讓學生可以較好地把高中的知識與初中的各種函數問題聯系起來的目的，為學生解決其中的各種實際問題打下良好的基礎。

3.分析并領悟高考命題的脈絡

筆者通過對近些年的高考研究，發現導數作為高考中十分重視的考查內容，但是其考查的內容有跡可循，并且導數在高考中考查的內容與形式相對穩定。

如函數的單調性與導數的關系

在高考對于導數與函數單調性的考查中，主要考查了函數的導數與函數的單調性之間的相互關系，并且在每一習題的設立中都需要學生深入理解函數的單調性與函數導數之間的關系，才可以發現解題的關鍵，解決問題，在高考考查中較為簡單。如例一

例一：若函數f（x）=kx-lnx在區間（1，+∞）單調遞增，則x的取值范圍是什么？

解析：由于已知導數與函數單調性之間的關系，因此先求f（x）=kx-lnx的導函數為k-1/x，由題可知當f′（x）>0時在x∈（1，+∞）恒成立，所以f′（x）>0，又因為x>0，所以，最后可以求得k的取值范圍為[1，+∞）。

4.加大培養學生的綜合能力

任何一門學科的學習，都是對學生諸多能力的一個歷練。不記憶各種數據和公式，就無法正確迅速地演算；不透徹理解數學概念，就無法找到正確的解題路徑；不善于推理、沒有空間想象，也無法選取合理的方法，無法對不正確的結果加以糾正。因此，就需要教師在進行一定的教學之后，鼓勵學生進行知識結構的構建，將導數的應用或者與導數有關的內容進行知識結構的遷移。

例：若假設f（x）與g（x）是定義在定義域R中的奇函數與偶函數，并且x<0時，f（x）g′（x）+f′（x）g（x）>0，并且當x=-3時，g（x）=0，那么使得f（x）g（x）<0成立的x的范圍是什么？

解析：在這道習題中應先利用f（x）、g（x）的奇偶性確定f（x）g（x）的奇偶性，并且根據其中所給予的信息當x=-3時，g（x）=0，判斷f（x）g（x）經過點（-3，0）與（3，0）。同時確定f（x）g（x）在定義域內的增減性，畫出函數的大致圖像，運用數形結合，從而解決問題。

導數是高中數學教學內容的重要組成部分，其中蘊含了多元化的邏輯思維，能夠讓學生豐富和創新解題思路，更便捷地進行題目解答，提升學習效率。但是要想充分發揮導數的價值和作用，學生必須加深對導數知識點的理解，熟練掌握導數知識、其變換形式以及使用技巧，加強相關題目的練習，真正做到活學活用，以提升自身的解題效率。

參考文獻：

[1]林動.高中數學導數解題方法探究[J].商品與質量，2018（50）：292.

[2]蔣妍雯.高中數學導數解題典型性應用[J].當代旅游，2017（8）：247.

（作者單位：湖北省老河口市高級中學441800）