數(shù)形結(jié)合——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一把金鑰匙

【摘要】對(duì)學(xué)生而言，掌握抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)并不容易，因此教師可以在教學(xué)方法上進(jìn)行更多的嘗試和改變，以此來(lái)降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣，提高教學(xué)質(zhì)量。基于此，文章分析了數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)過(guò)程中的實(shí)際應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；小學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)應(yīng)用

作者簡(jiǎn)介：蘇麗（1973—），女，江蘇省鎮(zhèn)江市宜城小學(xué)。

抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)很容易使小學(xué)生出現(xiàn)學(xué)習(xí)困難而使學(xué)習(xí)進(jìn)度停滯不前，影響學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心和積極性。當(dāng)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)碰上小學(xué)生以形象思維為主這一特質(zhì)，就需要小學(xué)數(shù)學(xué)教師轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，在教育教學(xué)方法上做更多思考和改變，不僅要向?qū)W生系統(tǒng)傳授基礎(chǔ)知識(shí)，還要努力培養(yǎng)和不斷加強(qiáng)學(xué)生的邏輯思維能力和實(shí)踐能力。小學(xué)數(shù)學(xué)教師可在教學(xué)中結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想，提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率，促進(jìn)學(xué)生的整體發(fā)展。

一、借用數(shù)形結(jié)合思想，尋找解題思路

在實(shí)際數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師可巧妙借用數(shù)形結(jié)合思想幫助學(xué)生找到解題思路，使學(xué)生更好地掌握解決問(wèn)題的方法。

例如，“雞兔同籠”問(wèn)題是小學(xué)常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這種類型的題目相對(duì)來(lái)說(shuō)較為抽象，學(xué)生解決此類問(wèn)題時(shí)通常會(huì)存在一定困難，常常無(wú)從下手，沒(méi)有思路，難得其法，甚至是畏難退縮，選擇逃避。

對(duì)此，教師可以通過(guò)使用數(shù)形結(jié)合的思維模式來(lái)更有效地幫助學(xué)生理清思維，借助畫圖形來(lái)幫助學(xué)生尋找解題的思路。比如，“兔和雞共9個(gè)頭，26只腳，問(wèn)：兔和雞各是多少只？”解題時(shí)，可以先畫9個(gè)圓圈，一個(gè)圓圈表示一個(gè)頭，再在圓圈下畫線，一條線表示一只腳，假設(shè)它們都是雞，每個(gè)圓圈下畫兩條線表示兩只腳，這樣就能畫出18只腳（見(jiàn)右上圖）。

但是，題干中有26只腳，那么可以再?gòu)暮笸敖o圓圈添上“2只腳”，使它們成為“兔”，這樣每個(gè)圓圈添補(bǔ)兩只腳直到剛好有26只腳，此時(shí)通過(guò)圖就能直觀數(shù)出到底有幾只雞、幾只兔了（見(jiàn)下圖）。

由此，教師可讓學(xué)生感受到圖形對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的幫助，引導(dǎo)學(xué)生借助圖形找到其中的規(guī)律，幫助學(xué)生找到解決問(wèn)題的方法思路，并能夠舉一反三，找到解決其他同類題型的思路，以此提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

再比如這道題目：“三輪車和自行車一共有10輛，數(shù)一數(shù)，他們的輪子共有27個(gè)。三輪車有多少輛？自行車有多少輛？”解題思路如下圖。

二、借助數(shù)形結(jié)合思想，降低理解難度

在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，借助圖形能使隱藏的數(shù)量關(guān)系變得更加顯而易見(jiàn)。因此，教師在課堂教學(xué)中可以借助畫圖來(lái)幫助學(xué)生理解題目的實(shí)際意義，降低學(xué)生的理解難度，使學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)規(guī)律，快速解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

比如，行程問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的題目類型：兩輛不同的車子從兩地同時(shí)相向而行，在經(jīng)過(guò)若干時(shí)間之后快車會(huì)在超過(guò)中點(diǎn)多少千米的地方與另外的車相遇，已知相遇時(shí)某輛車行駛的路程，求另一輛車的路程。

此類行程問(wèn)題比較抽象，難理解，容易出錯(cuò)的地方在于學(xué)生會(huì)誤以為快車多行的路就是相遇點(diǎn)離中點(diǎn)的距離。對(duì)此，教師可以借助圖形表示出其中的條件，幫助學(xué)生理解。

先畫一條線段表示一段路，插一桿小旗標(biāo)在中點(diǎn)位置，再標(biāo)出快車超過(guò)中點(diǎn)處與另一輛車的相遇地點(diǎn)，借助圖能明顯看出各車走的是哪一段路，誰(shuí)走得多誰(shuí)走得少。如果用手擋住圖上中點(diǎn)與相遇地點(diǎn)的距離，就會(huì)發(fā)現(xiàn)快車走的路比一個(gè)中點(diǎn)與相遇地點(diǎn)的距離還要多，這樣觀察就比較容易看出，原來(lái)兩輛車相差的路程是兩個(gè)相遇點(diǎn)離中點(diǎn)的距離。

畫圖能夠有效降低學(xué)生的理解難度，如題目：“客車和貨車從兩地同時(shí)相向而行，4小時(shí)后客車在超過(guò)中點(diǎn)16千米的地方與貨車相遇，已知相遇時(shí)客車行了164千米，貨車行了多少千米？”

借助畫圖就能清楚地看出客車和貨車行駛的路程相差了兩個(gè)16千米，用164千米減去兩個(gè)16千米，就能得到貨車行駛的路程是132千米。

同理，已知行程問(wèn)題里任意兩個(gè)量，求另外的量，都可以借助畫圖降低理解難度，幫助學(xué)生理解。比如題目：“一輛客車和一輛貨車分別從相距568千米的甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，2小時(shí)后兩車還相距108千米，已知客車每小時(shí)行駛120千米，求貨車行駛的速度。”通過(guò)在圖上進(jìn)行標(biāo)示，學(xué)生能夠看出總路程568千米是由客車和貨車2小時(shí)總共走的路程和108千米組成的，從而可以列出方程式：2（120＋x）＋108=568，求出貨車的速度。畫圖大大降低了問(wèn)題理解的難度，方便學(xué)生找到正確的解題思路。

通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想解決比較復(fù)雜的題目，往往能夠直觀、清晰地看出其中暗藏的對(duì)應(yīng)數(shù)量之間的關(guān)系，從而順利解決實(shí)際問(wèn)題，提高解題正確率。

三、借助數(shù)形結(jié)合思想，突破教學(xué)難點(diǎn)

對(duì)于一些抽象的、學(xué)生較難理解的知識(shí)點(diǎn)，借助數(shù)形結(jié)合思想直觀地展示往往能有效突破教學(xué)難點(diǎn)，起到將數(shù)學(xué)知識(shí)深植于學(xué)生腦中的作用，也能使學(xué)生思維更靈活，從而達(dá)到訓(xùn)練思維能力的目的。

對(duì)于幾種幾何圖形周長(zhǎng)相等、比較面積，以及面積相等、比較周長(zhǎng)這樣的問(wèn)題，學(xué)生在五年級(jí)學(xué)了平行四邊形和圓的知識(shí)點(diǎn)之后就經(jīng)常會(huì)碰到，此類題型目的在于鞏固基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)訓(xùn)練學(xué)生的思維能力。但如果學(xué)生未深入理解的話，不僅不容易掌握這部分知識(shí)點(diǎn)，反而會(huì)混淆題目。

比如，長(zhǎng)方形和平行四邊形在周長(zhǎng)相等的情況下，誰(shuí)的面積大？長(zhǎng)方形和平行四邊形面積相等的情況下，又是誰(shuí)的周長(zhǎng)長(zhǎng)呢？筆者是這樣讓學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想去理解的，讓學(xué)生用手勢(shì)比劃出動(dòng)態(tài)圖形—雙手大拇指和食指配合擺出一個(gè)長(zhǎng)方形圖，然后慢慢把面積擠壓，手指自然傾斜，形成了一個(gè)平行四邊形（如下圖）。

在此過(guò)程中，學(xué)生感受到手指的長(zhǎng)短顯然是不會(huì)變化的，也就是兩個(gè)圖形周長(zhǎng)相等，那面積自然是長(zhǎng)方形的面積大，因?yàn)樵诎验L(zhǎng)方形變成平行四邊形的過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)動(dòng)態(tài)變化圖就能觀察到，面積受到了擠壓，再壓下去平行四邊形的面積會(huì)越來(lái)越小，甚至擠壓成一道縫了。

這樣學(xué)生就能夠通過(guò)動(dòng)態(tài)圖形直觀地得到結(jié)論：兩個(gè)圖形周長(zhǎng)相等時(shí)，長(zhǎng)方形的面積大。同時(shí)，他們還能通過(guò)圖形的動(dòng)態(tài)變化追問(wèn)思考：“要想平行四邊形的面積變得和長(zhǎng)方形面積一樣大，要做怎樣的努力？”學(xué)生很快就知道周長(zhǎng)要變長(zhǎng)。教師引導(dǎo)學(xué)生把雙手的食指和拇指適當(dāng)分開(kāi)做擴(kuò)大平行四邊形面積的動(dòng)作，學(xué)生就能得到結(jié)論：面積相等時(shí)，平行四邊形的周長(zhǎng)長(zhǎng)。整個(gè)過(guò)程中，學(xué)生依靠動(dòng)態(tài)圖形完成對(duì)知識(shí)的理解，能夠?qū)χR(shí)印象深刻。

學(xué)習(xí)與方向有關(guān)的知識(shí)時(shí)，這部分內(nèi)容對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是學(xué)習(xí)難點(diǎn)，教師可以借助圖形將原來(lái)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀清晰，從而突破教學(xué)難點(diǎn)。

如這道“認(rèn)識(shí)方向”的題目：當(dāng)你放學(xué)回家面朝太陽(yáng)時(shí)，你的后面是（ ）面，你的左面是（ ）面。

這道題目可以通過(guò)畫圖來(lái)解決（如P34左上圖）：畫一個(gè)“斜十字”，為了與圖上方向（上北下南左西右東）區(qū)別，把一條豎線畫成斜豎線，三角符號(hào)表示人在橫豎交叉處。先確定前方，根據(jù)題意“放學(xué)回家面朝太陽(yáng)”，得出前方為“西”，接著按東、南、西、北的方向順序，依順時(shí)針?lè)较驑?biāo)出其他三個(gè)方向，就可根據(jù)圖得出答案：“你的后面是（東），你的左面是（南）。”

四、借助數(shù)形結(jié)合思想，幫助辨析記憶

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，有些概念“長(zhǎng)得”實(shí)在是太像了，很多學(xué)生難以分辨，學(xué)生理解時(shí)就容易產(chǎn)生混淆，此時(shí)借助數(shù)形結(jié)合思想，就能夠達(dá)到明確辨別的效果。

比如，學(xué)習(xí)“圓的認(rèn)識(shí)”這部分內(nèi)容時(shí)，辨別“圓周長(zhǎng)的一半”和“半圓的周長(zhǎng)”這兩個(gè)概念時(shí)，教師就可以借助畫圖幫助學(xué)生辨析并記憶。

筆者是這樣指導(dǎo)學(xué)生的。

先畫出一個(gè)整圓，然后擦掉一半周長(zhǎng)，就剩下上圖的樣子，就是圓周長(zhǎng)的一半，它的實(shí)質(zhì)也就是一段弧了。通過(guò)這番操作，學(xué)生腦海中已經(jīng)深植圓周長(zhǎng)的一半這一概念。對(duì)于 “半圓的周長(zhǎng)”，筆者讓學(xué)生先把一個(gè)圓形紙片對(duì)折，得到一個(gè)半圓，然后沿著這個(gè)半圓的邊描出它的周長(zhǎng)，就得到右圖的樣子，也就是半圓的周長(zhǎng)。

借助圖形生成的過(guò)程來(lái)比較這兩幅圖的差別，學(xué)生就能直觀體會(huì)到圓周長(zhǎng)的一半比半圓的周長(zhǎng)少一條直徑。在圖形的生成和對(duì)比過(guò)程中，學(xué)生就能夠清楚辨析較易混淆的數(shù)學(xué)概念。

五、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)思維能力

教師可將數(shù)形結(jié)合思想引入學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)活動(dòng)和具體數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中來(lái)，使用針對(duì)性教學(xué)方式，使抽象和復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變成簡(jiǎn)單而具體的數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生更好地參與學(xué)習(xí)和深入理解，培養(yǎng)提高學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象力，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中體驗(yàn)到樂(lè)趣，這樣不僅可以充分提升學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，同時(shí)還能充分培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)自主性和學(xué)習(xí)思維能力［1］。

例如，學(xué)生要用轉(zhuǎn)化策略計(jì)算這道題目：“++++++等于多少？”這里每個(gè)分?jǐn)?shù)加數(shù)之間存在一定的關(guān)系，它們都是分?jǐn)?shù)單位，分母從2開(kāi)始，后面依次每一個(gè)分母是前一個(gè)分母的2倍。

對(duì)于這道題目，學(xué)生可以用通分的方法解題，但是利用數(shù)形結(jié)合思想，依靠畫圖的方式，能夠一步得出答案，同時(shí)也能解決更多同類型的題目，拓展學(xué)生的思維。

教師可以引導(dǎo)學(xué)生先畫一個(gè)正方形并且把它看作單位“1”，然后依次平均分這個(gè)單位為“1”的正方形，在圖形中找到算式中的分?jǐn)?shù)并標(biāo)注出來(lái)，學(xué)生借助圖形可以發(fā)現(xiàn)，上面所有的分?jǐn)?shù)加起來(lái)的和就比單位“1”這個(gè)正方形少了最后的一小塊，也就是最后一個(gè)加數(shù)的大小，只要用1減去最后一個(gè)加數(shù)就能得出這道加法算式的答案（見(jiàn)下圖）。

借助圖形可以將這么復(fù)雜的一道分?jǐn)?shù)連加算式轉(zhuǎn)化成一步得出結(jié)果的減法算式，學(xué)生自然會(huì)收獲學(xué)習(xí)的成就感，邏輯思維能力也能夠得到拓展。

數(shù)形結(jié)合思想還可以幫助學(xué)生記憶，例如將單位之間的換算通過(guò)網(wǎng)絡(luò)圖表的形式表示出來(lái)，就能夠記住它們之間的進(jìn)率（如下圖）。

【參考文獻(xiàn)】

［1］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.