“三角函數的圖像與性質”的課堂教學設計與比較反思

鄧迎春

[摘? 要] 新一輪的課改使一線教師面臨了更多選擇和思考，針對“三角函數的圖像與性質（第一課時）”這節課，在不同的教材版本、不同的主題背景下，教師進行了個性化的教學演繹，研究者對其進行了整理、比較、反思.

[關鍵詞] 教學設計;主題教學;比較反思

2019年11月21日，筆者應邀參加常州市北郊高級中學開展的以“聚焦課堂追問，提升教學效能”為主題的四校同題同構課堂教學展示活動，執教“三角函數的圖像與性質（第一課時）”，采用的是蘇教版必修4教材. 無獨有偶，筆者在2020年12月3日首屆江蘇省宜興中學“大概念教學”公開教研活動中聆聽了南師大二附中張曉飛老師開設的公開課“正弦函數、余弦函數的圖像”，又在2020年12月17日江陰市高級中學舉辦的對外公開教學活動中聆聽了江蘇省宜興中學張海強老師開設的公開課“三角函數的圖像與性質（第一課時）”，這兩位張老師采用的均是人教A版新教材，主題背景都是“大概念教學”. 聽完兩位張老師的課，筆者心潮澎湃，對同一節課在不同的教材版本和不同的主題背景下進行的教學演繹也產生了一些思考. 在此不禁把自己的教學設計和課后反思整理如下，與同行共勉.

[?] 教學設計思路

通過“類比—探究—類比（化歸）”得到正弦函數和余弦函數的圖像與性質. 在“聚焦課堂追問，提升教學效能”的主題背景下，通過類比初中的一次函數、二次函數、反比例函數以及高中的指數函數、對數函數、冪函數的學習，不斷設問，層層遞進，尋得研究函數的一般思路，探究出正弦函數的圖像與性質;再通過類比（化歸）正弦函數的學習，得到余弦函數的圖像與性質. 整個過程能很好地培養學生的數學抽象、直觀想象和邏輯推理等核心素養.

1. 教材分析

三角函數是中學數學的重要內容之一，是描述周期現象的數學模型，也是一種基本初等函數，既是解決生產實際問題的工具，又是進一步學習的基礎，在數學和其他領域中具有重要的作用.

三角函數的定義是研究三角函數的基礎，單位圓中的三角函數線是研究三角函數的重要工具，而三角函數的性質則貫穿了全章教材，三角函數的圖像與性質是本章的重點內容也是難點內容.

2. 學情分析

本節課是針對常州北郊高級中學的平行班學生開設的，經了解，學生已做了一定的預習.

3. 教學任務

本節課的核心任務，從宏觀上看，是歸納研究函數的一般方法;從中觀上看，是突出研究的數學思想——數形結合思想;從微觀上看，是會作出正弦函數和余弦函數的圖像. 整節課以問題為驅動，學生為主體，探究為主線，數學核心素養為主位，充分展示學生自主學習和合作討論，讓學生感受、理解、思考、運用、探究、拓展，并激發學生的興趣，提高思維水平，鍛煉意志品質.

4. 教學目標

（1）能借助于正弦線畫出正弦函數的圖像，并在此基礎上分別用類比思想與化歸思想畫出余弦函數的圖像.

（2）能利用“五點法”作出正弦函數和余弦函數的圖像.

（3）理解數形結合思想在研究函數時的重要作用.

（4）在探究過程中，滲透數學抽象和邏輯推理等數學核心素養.

5. 教學重難點、教學方法

教學重點：正弦函數圖像、余弦函數圖像的探究過程.

教學難點：用單位圓中的正弦線畫出正弦函數的圖像.

教學方法：自主探究和合作學習.

[?] 教學過程設計

根據本節課的主題背景“聚焦課堂追問，提升教學效能”，結合本節課的學習內容和學生的學習特點，以“問題串”的形式，用10個問題貫穿本節課的課堂.具體問題和設計意圖如下：

問題1：怎么研究三角函數的圖像與性質？

設計意圖：通過回憶和歸納初中的一次函數、二次函數和反比例函數，以及高中前面的指數函數、對數函數和冪函數的學習過程，將學生零散的、碎片化的研究經驗加以提煉，抽象出研究函數的一般方法，幫助學生將知識、方法系統化，再學以致用，研究本節課的正弦函數、余弦函數. 在此過程中培養學生數學抽象素養，將討論總結出來的經驗當堂用于實踐，充分調動學生的主動性和積極性.

問題2：作函數圖像最原始的方法是什么？

設計意圖：此問題應該可以說在所有學生的能力范圍內，從“小而易”的問題出發有助于充分加強全班學生的注意力和提升他們的自信心.

問題3：用“描點法”作出函數圖像的主要步驟是怎樣的？

設計意圖：提出此問題，是想抽象出一個經常容易被學生忽視的問題，那就是圖像都是由點構成的，要想得到宏觀上的函數圖像，可以先研究好圖像微觀上的每一個點，再得到宏觀上的圖像.這從宏觀到微觀再到宏觀的研究思路也是筆者在探究一個新問題時常用的方法.

問題4：如何作出點C

，sin

？

設計意圖：“描點法”是作函數圖像的基本方法. 在初中，學生用的都是“代數描點法”，但在作點C

，sin

時，學生發現大家作出的點都不太一樣，原因就是點C的橫坐標和縱坐標都是無理數，只能估計它的大致位置，作微觀上的一個點都不準確，那么最后由這些點構成的宏觀上的圖像就會產生很大的偏差. 那怎樣才能解決這個問題呢？從而引出了問題5.

問題5：上述作法中所取的各點的縱坐標都是通過計算得到的數值，不易描出對應點的精確位置，因此作出的圖像不夠準確. 是否有其他方法來描點呢？比如是否有其他方法在平面直角坐標系中描出點C

，sin

？

設計意圖：這是本節課的難點，由初中的代數描點發展到高中的幾何描點（如圖1所示），引導學生合作探究出三角函數“形”的定義：三角函數線.體現數形結合思想，培養學生直觀想象素養.

問題6：能否借用作C

，sin

的方法，作出函數y=sinx（x∈[0，2π]）的圖像呢？

設計意圖：知道如何作出函數y=sinx圖像上的一個點，就可以作出一系列的點. 給學生充分的時間，讓學生自主探究，作出函數y=sinx（x∈[0，2π]）的圖像（如圖2所示），讓學生親身經歷知識的產生過程，增強學生的自信心和學習熱情. 在此可以借助于“網絡畫板”，讓學生觀看連續動畫過程，增強視覺效果和心理沖擊.

問題7：已經畫出了y=sinx（x∈[0，2π]）的圖像，那么如何畫出y=sinx（x∈R）的圖像呢？

設計意圖：引導學生利用三角函數的周期性，將y=sinx（x∈[0，2π]）的圖像向左、右平移（每次2π個單位），就可以得到正弦函數y=sinx（x∈R）的圖像. 在此還可以利用圖形計算器、計算機來作正弦曲線，給學生展現一個從部分到整體、從有限到無限的擴充過程，培養學生直觀想象素養.

問題8：已經畫出了正弦函數的圖像（正弦曲線），那么在此基礎上，能畫出余弦函數的圖像嗎？

設計意圖：正弦函數與余弦函數之間有著密切關系，借助于正弦函數圖像可以先想象一下余弦函數的大致圖像，再利用嚴格的邏輯推理來作余弦函數的圖像. 首先，學生同理利用“幾何描點法”，通過三角函數線描點作圖，區別就是余弦線是水平的，可以通過函數y=x將水平的轉化為豎直的，再作出點;其次，學生先想到的是同角三角函數關系sin2x+cos2x=1，從數的角度由正弦值求余弦值，后發現行不通，進而轉化，利用誘導公式中正弦與余弦的關系cosx=sin

+x

和cosx=sin

-x

，從形的角度通過圖像變換由正弦函數圖像得到余弦函數圖像，但是這兩個誘導公式各有優劣，需要選擇. 這兩種方案分別體現了類比和化歸兩種思想，又能很好地培養學生邏輯推理素養和直觀想象素養，是本節課的一個重點.

問題9：在精確度要求不太高時，如何快捷地畫出正（余）弦函數的圖像？

設計意圖：在已知正弦函數圖像大致趨勢的基礎上，通過觀察圖像，可以發現圖像上起關鍵作用的有五個點：（0，0），

，1，（π，0），

π，-1，（2π，0）. 事實上，描出這五點后，正弦函數y=sinx（x∈[0，2π]）的圖像的形狀就基本確定了.因此在精確度要求不太高時，可以引導學生先找出這五個關鍵點，然后用光滑的曲線將它們連接起來，就得到了正弦函數y=sinx（x∈[0，2π]）的簡圖（如圖3①所示）. 同理，找出余弦函數圖像上的五個關鍵點，也可以得到余弦函數y=cosx（x∈[0，2π]）的簡圖（如圖3②所示）.在此，訓練學生在處理問題時可以看重點、找關鍵點、抓主要矛盾，培養學生直觀想象素養和邏輯推理素養.

例題：分別作出下列函數的簡圖（用“五點作圖法”）：（1）y=2sinx，x∈[0，2π]，（2）y=cos2x，x∈[0，π].

學生作圖，投影展示;教師板演規范作答，并用計算機模擬標準圖像. 鞏固已有的教學成果，并思考y=2sinx，y=cos2x的圖像分別與正弦曲線和余弦曲線之間的關系，為后面的教學作鋪墊.

問題10：試著回顧本節課的探究過程，從知識、思想、方法以及數學核心素養的角度出發.

設計意圖：回顧反思，提升感悟.讓學生回顧整節課的流程，在回顧過程中找到自己的切身感受，再分別從知識、思想、方法和核心素養幾個角度來總結反思，得到提升.

[?] 教學反思

1. 基于不同教材的教學設計的反思

從2019年9月到2021年7月，新高考已經實施，但新教材還沒有出版，處于“三新一舊”的過渡時期. 筆者是2019年11月上的課，當時常州北郊高級中學用的仍然是之前的蘇教版教材，對于“三角函數的圖像與性質”這節課，蘇教版必修4教材是直接先作出三角函數的圖像再直觀研究三角函數性質的，筆者的教學設計主要是基于該教材的;兩位張老師是2020年12月份開設的公開課，當時兩所中學采用的都是人教A版新教材，對于“三角函數的圖像與性質”這節課，在人教A版新教材中是通過三角函數的定義和解析式y=sinx描述正弦函數圖像的特征的——圍繞定義域、值域、周期性、奇偶性、單調性等部分性質展開，并指出這些性質對研究函數圖像的作用：定義域決定圖像橫向的范圍，值域決定圖像縱向的范圍，周期性決定圖像每隔一個周期都會重復出現（因此可以先只研究一個周期的圖像），奇偶性決定y軸左右圖像的對稱關系. 所以這樣看來，對于正弦函數的圖像，只需要重點研究其在x∈[0，π]這一段即可. 這時再來看單調性，利用三角函數線得到y=sinx（x∈[0，π]）的單調性，粗略地描述圖像的大致走向，有助于學生直觀想象三角函數圖像的整體特征.在兩位張老師的課堂上，學生就是這樣自主和合作探究的，這里摘取兩位學生的課堂實錄（如圖4所示）：

其實，最后學生對正弦函數圖像已有了很大程度的認識，只是對圖像的凹凸性把握不準，這時再通過描點作圖（手工較為準確地作出圖像和計算機極其精確地作出圖像），彌補學生直觀想象上的不足，以達到邏輯推理的嚴密性，具體過程和筆者的教學設計差不多.

一個新函數的研究方案常規有兩種：方案一，從下到上的研究. 即從函數的定義域、值域、單調性、奇偶性（對稱性）、周期性、凹凸性、極限等一系列的數的特征出發，可以得到函數的圖像;方案二，從上至下的研究. 即先作出函數的圖像，再“看圖說話”得到函數的性質，并給以嚴格的邏輯證明.這里對正弦函數的研究，兩本不同的教材實際上采用的就是這兩種不同的方案，但有時在具體實踐中，兩種方案往往穿插而行，互相補充.

2021年高三很多模擬考試有一類題，如下：

（單選題）函數f（x）=（x∈[-π，0）∪（0，π]）的大致圖像為（? ）

[-π][π][x][y][O][-π][x][π][O][y] [-π][π][x][y][O][-π][π][x][y][O][A][B][C][D]

解決此類題就要用到方案一.

還有一類題，如下：

（多選題）定義曲線Γ：+=1為橢圓C：+=1（a>b>0）的伴隨曲線，則（? ）

A. 曲線Γ有對稱軸

B. 曲線Γ沒有對稱軸

C. 曲線Γ有且僅有四個對角線

D. 曲線Γ和橢圓C有公共點

曲線Γ的圖像雖然不是函數圖像，但是需要用到這類思想，即將方案一和方案二結合運用.

所以在以后的教學中，可以多看看不同版本的教材，結合眾家之長，對同一課題進行不同的教學設計. 比如針對這節課，可以放手讓學生提供研究方案，再分組進行研究，最后比較研究思路和研究結果，讓學生真正地參與學習過程，提升學習動力，主動學習數學基礎知識、基本技能，自覺感悟數學基本思想，不斷積累數學活動經驗，提升數學抽象、邏輯推理、數學運算、數據分析等核心素養，并逐步學會用數學眼光觀察世界、用數學思維思考世界、用數學語言表達世界.

2. 基于不同主題背景的教學設計的反思

主題教學是指以內容為載體，以文本的內涵為主體所進行的一種語言教學活動.圍繞有意義的主題進行教學可以加速學生對新內容的內化及長期記憶.但主題教學要與課程知識點緊密耦合，主題完成的同時也要完成知識點的教學，同時推動主題深入. 筆者在常州北郊高級中學上課的主題是“聚焦課堂追問，提升教學效能”，圍繞這個主題，筆者是以“問題串”的形式進行的教學設計，使學生在一個接一個的問題中層層遞進地進行思考、探究，從而掌握知識、思想和方法. 整個教學過程的邏輯性、層次性很強，能很好地培養學生的邏輯推理素養.兩位張老師上課的主題背景都是“大概念教學”，大概念教學是指在一個學科領域中最精華、最有價值的學科內容.開展大概念教學要跳出知識點的慣性思維，考察各知識點的本質聯系，從而把大概念提取出來. 兩位張老師的課中都涉及了兩個大概念：（1）函數是現代數學最基本的概念，是描述客觀世界中變量關系和規律的最為基本的數學語言和工具;（2）函數作圖要關注圖像的基本形狀（描大量的點）和具體位置（抓關鍵的點）.

同一節課在不同的主題背景下，學生所學到的知識、思想、方法等是大致相同的，但過程中學生所需要的精力有點差別，最后的效果還有待考證. 比如這節課，在“聚焦課堂追問，提升教學效能”主題背景下設計的問題串聯的課堂，學生學習相對輕松一點，給出問題、思考問題、解決問題即可;而在“大概念教學”主題背景下的課堂，學生要么能主動地、要么在教師的引導下被動地抽象出本節課所蘊含的大概念，基礎稍微弱一點的學生就有點吃力，但是如果能長期堅持下去，學生的數學抽象、直觀想象等數學核心素養會提升很多. 因此，在以后平時的教學中，要多關注主題教學，而不是僅僅在公開課中才拿來說事，要常態化，打持久戰.