高中數學教學中數學文化的融入

孫靜

摘要：結合《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》對數學文化的定義和汪曉勤教授對數學文化的分類，在高中數學教學中，可以從三個方面融入數學文化：追本溯源，凸顯數學文化的科學價值;建立模型，展現數學文化的應用價值;感受數學美，強化數學文化的審美價值。

關鍵詞：數學文化;高中數學;數學史;數學模型;數學美

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課標”）指出：“數學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。”“精選課程內容……注重數學文化的滲透。”②“教師應有意識地結合相應的教學內容，將數學文化滲透在日常教學中，引導學生了解數學的發展歷程，認識數學在科學技術、社會發展中的作用，感悟數學的價值，提升學生的科學精神、應用意識和人文素養;將數學文化融入教學活動，還有利于激發學生的數學學習興趣，有利于學生進一步理解數學，有利于開拓學生視野、提升數學學科核心素養。”③筆者所在學校為藝術特色高中，學生數學學習的興趣不高、能力較弱。因此，筆者在數學教學中，格外重視滲透、融入數學文化。

課標還指出：“數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展;還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動。”④由此，汪曉勤教授將數學教學中數學文化的內涵分成知識源流、學科聯系、社會角色、審美娛樂和多元文化五個維度。其中，“知識源流”是指某個知識點的歷史發展過程以及相關的人物、事件、思想等;“學科聯系”是指數學與其他知識領域（科學技術、社會科學、人文藝術等）之間的關聯;“社會角色”是指數學對人類文明進步、社會發展所起的重要作用;“審美娛樂”是指數學的美和趣味;“多元文化”是指不同文明、不同地域在同一數學課題上的成就和貢獻。結合課標定義的整體包容性和汪教授分類的具體指向性，筆者參考課標給出的數學的三大價值（科學價值、應用價值和審美價值），在教學實踐中，從三個方面融入數學文化。

一、追本溯源，凸顯數學文化的科學價值

數學的發展歷程是數學文化的基本方面。數學教學中，教師可以基于（本質上是一種重構）數學史，引導學生追本溯源，經歷體驗（不是簡單講授或告知，而是引發思考與實踐）知識產生的過程，從而凸顯數學文化的科學價值，幫助學生理解數學知識，同時提振學習信心，培養探索精神。

例如，教學《數系的擴充——復數的概念》一課時，筆者首先出示圖1，讓學生談一談對數系擴充的認識。學生回顧數的發展過程，認識到現實需要推動著數系不斷擴充。接著，筆者讓學生在特定范圍內解方程：（1）x+2=0，x∈N;（2）3x-2=0，x∈Z;（3）x2-2=0，x∈Q。學生進一步回顧數的發展過程，認識到數學需要（保持逆運算的封閉性）推動著數系不斷擴充。然后，筆者請學生幫助數學家卡爾丹解決“將10分成兩部分，使兩者乘積為40”這一問題，使學生形成與數學家一樣的認知沖突，從而為數系再次擴充做好鋪墊。

這里，基于數學史追本溯源地思考，讓學生經歷了復數概念的產生過程，理解了復數的內涵本質和基本價值，并為進一步學習復數的重要性質和更多作用打下基礎。

再如，教學《基本不等式》一課時，引出問題“兩個正數a、b的算術平均數和幾何平均數有怎樣的大小關系”后，筆者引導學生基于a、b的幾何意義，即長度分別為a、b的線段，尋找a+b2、ab的幾何意義。學生一開始沒有頭緒，后來聯系射影定理，構造出下頁圖2，從而發現a+b2≥ab（當且僅當a=b時，等號成立）。這時，筆者介紹：這樣的構圖方法源于古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》卷6命題13中給出的兩條已知線段的幾何中項的作法。然后，筆者引導學生升次，得到a2+b22≥ab，再引導學生尋找a2+b22、ab的幾何意義。學生一開始構造了面積分別為a2、b2的正方形和面積為ab的長方形，但是得不到a2+b22和ab的大小關系。后來聯系勾股定理，構造出下頁圖3，從而發現a2+b22≥ab（當且僅當a=b時，等號成立）。這時，筆者介紹：“這樣的構圖就是我國古代數學家趙爽用來證明勾股定理的‘弦圖。它不僅有豐富的內涵，而且很漂亮，像一個風車，因而被在北京召開的第24屆國際數學家大會選為會標圖案。”

數學史上，人們對代數關系的認識往往源于幾何圖形，因為“很多事情單憑抽象思維不易明白，加上直觀形象便清晰得多了”。因此，這里利用幾何意義展開的探究，其實也是一種基于數學史的追本溯源（同時呈現了多元文化的碰撞），讓學生經歷了基本不等式的發現過程，使學生更好地理解基本不等式的本質，并培養了探索精神和邏輯推理、直觀想象等核心素養。

二、建立模型，展現數學文化的應用價值

建立數學模型解決實際問題（包括其他學科問題），是數學文化內涵的學科聯系維度和社會角色維度的集中體現。數學教學中，教師應努力跨越時空和領域，拓寬視野，尋找各種素材，創設問題情境，引導學生建立數學模型解決實際問題，從而展現數學文化的應用價值，讓學生體會數學在科學技術、社會發展中的作用。

例如，教學人教A版高中數學必修第一冊《函數模型的應用（二）》一節時，筆者改造例題并整合活動素材，引導學生通過已知數量關系或實驗數據（或科學理論），建立函數模型，解決實際問題。

筆者首先出示教材例5：“假設你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一，每天回報40元;方案二，第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元;方案三，第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番。請問：你會選擇哪種投資方案？”引導學生由三種方案中天數與當天的回報的關系建立三個函數模型：y=40（x∈N*），y=10x（x∈N*），y=0.4×2x-1（x∈N*）。由此作圖（或列表）分析三個函數模型的增長情況，發現初始值小的函數增長速度快。進而列表計算前若干天累計的回報，得到在不同的投資天數限制下選擇不同的投資方案的結果。

筆者接著出示教材例6的情境：“某公司為了實現1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售利潤x （單位：萬元）的增加而增加，但獎金不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%。”引導學生分析哪種類型的函數可能符合情境中的建模要求，幫助學生充分認識已學的各種類型的函數及其簡單組合的基本性質（主要是增減和范圍情況）。

筆者最后出示教材數學建模活動的問題：“中國茶文化博大精深。茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關。經驗表明，某種綠茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60 ℃時飲用，可以產生最佳口感。那么，在25 ℃室溫下，剛泡好的茶水大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感？”引導學生發現，需要建立茶水溫度隨時間變化的函數模型解決問題。由此，筆者引導學生分析這里的建模與前面的有什么不同：沒有給出精確的或大致的數量關系（也沒有已知的科學理論可以運用），只能通過實驗收集數據，再利用數據建立（擬合）模型（也即建立科學理論）。然后，筆者引導學生設計實驗方案：制作85 ℃的茶水，每隔1分鐘測量一次水溫;將收集的數據制成散點圖;觀察散點圖并考慮茶水溫度降到室溫就不再降的事實，選擇可以擬合數據的函數類型;由收集的數據，通過待定系數法，確定函數的解析式（有關系數可以先利用多組數據求出多個值，再取平均值，以減小誤差）。

再如，教學人教A版高中數學必修第二冊《事件的相互獨立性》一節時，筆者選取《三國演義》中的一些故事作為素材，引導學生基于經驗假設建立概率模型，解釋有關現象。

首先，筆者介紹背景并描述現象：“《三國演義》中有很多神射的表現，如呂布轅門射戟，但是打不贏就放亂箭的例子也比比皆是。孫堅武藝高強，但最終卻死于亂箭之中。”讓學生解釋原因。學生討論覺得是孫堅運氣不好（即遇到小概率事件）或力戰疲憊所致。筆者引導學生運用概率知識計算到底是不是小概率事件：一般士兵的射箭技術肯定沒有神射手好，假設其單次射中的概率為0.1，那么其單次不中的概率是0.9;由相互獨立事件概率的乘法公式，其連續兩次射不中的概率是0.9×0.9=0.81;以此類推，其連續100次射不中的概率為09100≈0.00003，那么其連續100次至少射中1次的概率約為1-0.00003=99.997%;即使要求至少射中3次，概率依然有1-C3100×0.13×0.997≈99.41%。對于這一計算結果，學生感覺震驚，發現冷兵器時代與其費力培養神射手，不如讓一般士兵亂箭齊發——當然，真實的情況下，也要考慮弓箭是否夠用。

在此基礎上，筆者讓學生聯想《三國演義》中其他與射箭有關的經典故事。很多學生馬上想到諸葛亮草船借箭。筆者順勢描述現象并提出問題：從《三國演義》中的描寫看，當時江上大霧彌漫，士兵放箭只能聞聲而去，你能試著計算概率，回答“諸葛亮能否如書中所說的借到10萬箭”這一問題嗎？學生相互討論，普遍認為，當時環境惡劣，單次射中的概率估計比01還要低很多;要借到10萬支箭，起碼要射100萬支箭;當時只有1萬名弓箭手，每人起碼要射100支箭;無論是總箭數，還是每人射的箭數，恐怕都很難實現。進而，通過具體計算，明確結果為小概率事件。

三、感受數學美，強化數學文化的審美價值

數學不僅有實用價值，而且有審美和激趣的價值，能給人以感官和智力上的享受。數學美和趣味是數學文化中最能打動人、最具有魅力的方面。廣義的數學美包括數學趣味（能給人帶來愉悅），可分為簡潔美、統一美、對稱美、和諧美、奇異美等。數學教學中，教師應努力引導學生從感性到理性，發現和創造數學美，并運用數學美解決問題，從而展現數學文化的審美價值，激發學生的學習興趣，提升學生的數學直覺。

比如，教學“基本不等式”時，讓學生感受“和”“積”“平方和”結構的和諧美;教學“二項式定理”時，讓學生感受二項式系數排布的對稱美，并引入高爾頓釘板，讓學生感受二項式系數和概率分布之間聯系的和諧美;教學“平面向量”時，讓學生感受向量表示的簡潔美;教學“正、余弦定理”時，讓學生感受邊角關系結構的輪換對稱美;教學“球的體積”時，讓學生感受圓柱體積、球的體積、圓錐體積之間關系的和諧美;教學立體幾何時，引入繪畫中的悖論（如埃舍爾的作品），讓學生感受以二維視覺效果呈現三維不可能現象的奇異美;教學“函數的奇偶性”時，讓學生體驗函數圖像的對稱美，并且展示、設計更多具有對稱性的事物、圖案;教學“函數的周期性”時，融合單調性，讓學生體驗螺旋曲線的和諧美，并且展示、設計更多具有螺旋特征的事物、圖案;教學“雙曲線”時，引入詩歌《悲傷的雙曲線》，讓學生感受數學與文學結合所產生的奇異美;教學“圓錐曲線”時，讓學生感受正多邊形、圓、橢圓、雙曲線、拋物線漸變的和諧美;教學“斐波那契數列”時，可以發掘黃金分割比例，介紹其廣泛的存在和應用，讓學生充分感受數學的和諧美。

特別值得一提的是，教學函數或數列的內容時，可以引入或強化迭代或遞推的概念，引導學生由此創作具有自相似特征的分形圖案，從而感受數學的奇異美。例如，筆者引導學生利用幾何畫板，從一根豎直的線段出發，進行一次縮放、平移、旋轉并一分為二的變換，創作出一個簡單的丫形結構（如圖4所示）;重復進行類似的變換，瞬間創作出一棵規則的樹形結構（如圖5所示）。

然后，筆者提問：如何讓這一美術作品不那么機械、呆板，而更加生動、富于變化呢？在學生自由嘗試的過程中，展示自然生長的蕨樹（如圖6所示）和風中搖曳的小樹（如圖7所示）等作品，引導學生發現其中的創作方法，從而基于迭代的數學規則，通過改變規則樹形的初始結構（如比例關系、位置、角度等），嘗試創作自己的作品。

同時，也可通過“現場創作+原理解析”的方式，讓學生領略音樂作品中的數學美。實際上，用數學方法的譜曲就是用等比法則定義12個數，讓這12個數對應于不同頻率的聲音，再將這12個音按一定的規律組合編排的過程;而將適當編排的曲子在計算機上演奏，便會產生美妙動聽的音樂。

上述做法實際上是把數學和美術、音樂等藝術結合起來，融入數學文化，讓學生充分感受數學美。這樣的思路實際上大有可為，如引導學生充分探究如何基于數學知識作畫、創作音樂，且對藝術特色高中的學生尤其適用。

此外，還要引導學生運用數學美的直覺解決問題。例如：求sin220°+cos250°+sin 20°·cos 50°的值。對此，可以引導學生由對稱美的直覺，構造對稱式cos220°+sin250°+cos 20°·sin 50°，進而發現：前式加后式等于2+sin 70°，前式減后式等于-12-sin 70°。從而很快得到前式等于34。這一解法非常巧妙，正是數學美激發思維的表現。