立足學生認知，彰顯知識本色

施家貴

【摘要】學生的認知發(fā)展是數學教學活動的基礎，立足學生認知的教學才是有效的.筆者以對《復數的三角表示》的教學為例，分析學生的認知基礎與認知難點，以四元五環(huán)的教學模式展開設計，通過設計合理的問題情境，引領學生經歷知識發(fā)生與發(fā)展的過程，力求凸顯知識的本質，以提高學生的思維水平.

【關鍵詞】高中數學;復數;問題情境

1 問題提出

新課標指出，數學教學活動必須建立在學生認知發(fā)展和已有知識經驗的基礎之上[1].有效的教學是要先了解學生原有知識的掌握情況，然后根據學生的知識儲備還原學生在學習新知識時的心理建構，使學生能夠自發(fā)產生學習新知識的驅動力.因此，在數學課堂教學中，教師要靈活地使用教材，創(chuàng)設合適的教學情境，從學生的認知起始點出發(fā)，將課堂的教學內容轉化為具體的學習任務，時刻關注學生的課堂生成，幫助學生實現對教學內容的感知、抽象、概括、辨析、深化;設計相應的學習活動，讓學生能夠在課堂上不斷積累活動經驗，從而使學生的認知邏輯與學科知識邏輯可以達到統一，從而提升學生數學素養(yǎng).

在新課標改革過程中，雖然很多教師加強對改革理念的學習，并努力嘗試在日常的課堂教學中滲透新理念.但在實際課堂中，由于課時的限制以及應試的要求，課堂上教師更注重講授，忽略了學生的學習和課堂的生成.這一現象的存在，本質上就是因為教師對新課標理念的把握不到位，未能做到以學生為中心、以活動為中心進行教學.教師在教學活動中尊重學生個體，鼓勵學生參與課堂，培養(yǎng)學生學習數學的興趣和習慣，促進教師能夠在遵循學生認知規(guī)律的基礎上更好地進行課堂教學活動，從而實現高效的數學課堂.本文以新教材增加的“復數的三角表示”為例進行基于學生認知的教學設計探究.

2 教學分析

2.1 教材變化

課程標準對課程內容進行了調整，原來復數是選修模塊，新教材中復數被調整到必修模塊，可見復數在高中數學新教材中的地位得到了提高.在新舊教材中復數涵蓋的知識點基本上是相同的，但是在新人教A版中增加了“復數的三角表示”這塊內容.復數的三角表示具有比較顯著的幾何特征，可以幫助學生在掌握復數的表示與運算本質的同時，滲透數形結合的思想.新教材有意按先三角函數、后向量、最后復數的順序將三者結合在一起，促使學生體會到數與形之間的緊密關系，因此復數的三角表示對提升學生的抽象素養(yǎng)起到了不可小覷的作用[2].

復數的三角形式作為高中數學的選學模塊，在學生的知識內容考查上不做硬性的要求，但是這塊內容可以給學習能力好的學生做知識拓展，也是培養(yǎng)學生數學素養(yǎng)的典型載體.但是筆者認為教師應該將復數的三角表示當成必修模塊進行教學，利用復數的三角表示進行一些復數的乘法和除法運算非常方便，能起到簡化計算的作用;另外，在解決平面向量、平面幾何和三角公式推導等相關問題時，復數的三角表示也能發(fā)揮它的重要輔助作用.基于此，筆者認為教師應重視復數的三角表示的教學，盡量讓所有學生都進行系統的學習.在復數的三角表示教學過程中，教師應該從學生的認知視角出發(fā)，不斷強化復數與向量、三角的聯系，完善學生的認知建構，助力提升學生的直觀想象、邏輯推理和數學運算等素養(yǎng).

2.2? 學生的認知分析

2.2.1 學生的認知基礎

學生在學習復數的三角形式之前，已經掌握了平面向量、三角函數以及復數等基本內容，一方面能夠正確處理復數與復平面上的點以及向量之間的一一對應關系，教師可以在此基礎上從復數的幾何意義入手引入復數的三角表示;另一方面學生已經學習了三角函數的定義及基本的三角恒等變換，為學生探究復數的三角表示奠定了扎實的基礎.

2.2.2 學生的認知難點

高一年級學生經過一個學期的學習，抽象思維能力有了一定的提升，但是在學習過程中學生對知識的整合能力不強，缺乏應用意識和創(chuàng)造意識，在利用幾何圖形與三角之間的關系推導復數的三角形式時考慮得不夠完善，只是將這種表示形式當成結論記下來，對問題的本質理解得不夠透徹，無法靈活地使用復數的三角表示解決問題，主要體現在以下兩點：一是復數的三角表示形式較為抽象，學生對復數三角表示的理解往往流于形式，學生沒有從形的角度去理解抽象復數的三角表示，導致三角表示的形式已發(fā)生混淆，對基本元素的把握容易發(fā)生偏差;二是在進行復數代數式轉化為復數三角式時，學生只是按部就班地套用公式，不能真正體會復數三角形式的內涵，遇到比較靈活的題目，學生就會無法剖析題目的本質，難以下手.

3 基于學生認知的教學設計

考慮到學生的認知特點，教師從學生的舊有知識出發(fā)，用問題情境引領學生經歷知識發(fā)生、發(fā)展的過程，采用四元五環(huán)的教學模式進行《復數的三角表示》教學設計.

3.1 數學情境，感知復數的三角表示背景

問題1 我們之前學習了復數的概念與幾何意義，那么我們能不能從復數的幾何意義進一步來研究復數的其他表示形式？

追問1 復數a+bi（a，b∈R）的幾何表示方法有哪些？

復數z=a+bi（a，b∈R）可以用有序實數對（a，b）唯一確定，與平面向量OZ=（a，b）一一對應.

追問2 既然復數可以用向量表示，而向量可以由它的大小和方向唯一確定，那么，我們能否借助向量的大小和方向這兩個要素來表示復數呢？

設計意圖 在該教學環(huán)節(jié)中，教師圍繞著復數的幾何意義設置了三個具有啟發(fā)性的問題，其中前兩個問題設置的是舊知情境，從復數的幾何表示方法出發(fā)，讓學生回顧了復數的概念和幾何意義，加強學生所學的復數的三角表示與幾何圖形之間的聯系，為新知識起到鋪墊或導引作用.接著教師基于學生知識起點設置了問題3，學生無法直接回答從而引發(fā)認知沖突，激發(fā)學生學習知識的熱情，也讓學生獲得對復數的三角表示的最初感知.

3.2 數學探究，抽象復數的三角表示特征

問題2 向量的大小可以用模表示，那么向量的方向如何表示呢？

由圖1看出，向量的方向可以借助角θ也就是以x軸的非負半軸為始邊，以向量OZ所在射線（射線OZ）為終邊的角來表示向量OZ的方向.

問題3 如何用向量的模和角來表示復數？為什么？

由圖1可知，在直角三角形中，a=rcosθ，b=rsinθ，

所以a+bi=rcosθ+irsinθ=r（cosθ+isinθ）.

追問1 若這個角是任意角，這個結論還成立嗎？

由三角函數的定義可知，當這個角為任意角時，這個結論仍然成立.

其中r=a2+b2，cosθ=ar，sinθ=br.

追問2 大家能不能用上面的結論來表示點Z在實軸或虛軸上對應的復數？

學生活動：

z=1=1（cos0+isin0）z

=-1=1（cosπ+isinπ），

z=i=1（cosπ2+isinπ2）z

=-i=1（cos3π2+isin3π2）.

設計意圖 復數的三角表示特征的探究過程始終圍繞著學生的知識起點——復數的幾何意義展開，教師在課堂抓住提問的生成資源點進行追問，通過不斷完善復數的三角表達形式來進行新知識的建構，讓學生能夠充分理解復數三角表示的內涵，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性.接著學生用推導出的結論表示特殊位置上的復數，初步感知復數的三角表達形式，這樣既尊重學生的認知規(guī)律，也使學生在這個活動過程中反復利用幾何圖形探究復數的三角形式，促使學生養(yǎng)成數形結合的思維習慣.整個教學過程中，教師不以自我傳授和教師的經驗作為教學的中心，而是用問題作為載體，啟發(fā)學生學會學習，真正考慮到學生的思維發(fā)展.

3.3 數學體悟，概括復數的三角表示要義

問題4 所有的復數都可以表示為z=

r（cosθ+isinθ）嗎？

所有的復數都有唯一向量與它相對應，故所有的復數都可以表示為z=r（cosθ+isinθ）.

問題5 這種表示形式中r表示什么？其范圍呢？

r表示復數z的模，因此r≥0

問題6 θ的幾何意義又是什么？

θ表示以x軸的非負半軸為始邊，以向量OZ所在射線（射線OZ）為終邊的角.

問題7 那現在大家一起來總結其結構特征，概括復數的這種表示形式？

一般地，任何一個復數z=a+bi（a，b∈R）都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式.其中，r是復數z的模;θ是以x軸的非負半軸為始邊，向量OZ所在射線（射線OZ）為終邊的角，叫做復數z=a+bi（a，b∈R）的輻角.r（cosθ+isinθ）叫做復數z=a+bi（a，b∈R）的三角表示式，簡稱三角形式.為了與三角形式區(qū)分開來，a+bi（a，b∈R）叫做復數的代數表示式，簡稱代數形式[3].

師生活動 教師引導學生概括復數的三角形式要義，得出嚴謹的定義.

設計意圖 教師通過問題4引導學生認識到所有的復數都能用復數的三角形式來表示，體會復數三角表示的普適性;通過問題5、6強化r和θ的幾何意義，促使學生更深刻地把握復數的三角形式的基本要素;通過問題7讓學生從結構形式上把握事物的本質，概括出簡約的文字語言.教師在課堂上留給學生足夠的時間去體悟、歸納復數的三角表示的要義，讓新知識通過學生的理解納入認知結構中，而沒有直接將結論拋給學生進行記憶，提高學生對知識的探索和理解能力，培養(yǎng)了數學核心素養(yǎng).

3.4 數學應用，深化復數的三角表示理解

例1 分別指出下列復數的模和一個輻角，畫出它們對應的向量，并把這些復數表示成代數形式：

cosπ+isinπ;（2）6（cos11π6+isin11π6）.

例2 畫出下列復數對應的向量，并把這些復數表示成三角形式：

12+32i;（2）1-i.

師生活動 總結復數的代數式與三角式互相轉化的方法與步驟.

共同點：畫出對應的向量;

三角式轉代數式：熟練掌握特殊角的三角函數值求解.

代數式轉三角式：結合三角函數定義，

①利用公式r=a2+b2，求出復數的模;

②利用cosθ=ar，或sinθ=br，結合復數對應點所在位置確定復數的一個輻角.

設計意圖 經歷前面環(huán)節(jié)的學習后，學生對復數的兩種表示方式的基本要素和結構已經有了較為深入的理解，此時教師根據學生的認知水平設置這兩道例題，讓學生抓住表示形式的基本要素進行思路探尋，經歷并總結復數的兩種表示式之間的互化，認識到兩種結構形式既有各自的特征又相互聯系，并再次感受復數的三角表示的產生發(fā)展及應用過程，加深對復數三角表示的再認知.

總之，在課堂教學中需要教師以學生認知作為教學的起點，設計合理的問題情境，不斷地用問題驅動促使學生進行積極的思考，彰顯知識本色，提高學生的數學抽象水平.

參考文獻：

[1]張春莉.學習者視角下的學習歷程分析[M].北京：北京師范大學出版社，2019，11.

[2]閏洪德.基于數學抽象過程中的問題驅動探析——以“復數的三角表示（第一課時）”教學設計為例[J].數學通訊，2020（8）：19-21.

[3]課程教材研究所.普通高中教科書 數學必修第二冊A版[M].北京：人民教育出版社，2020.