遵循思維規律 提升思維能力

司徒超旋 趙銀倉

[摘? 要] 發展學生數學素養離不開學生數學思維能力的提升，因而務必要讓學生學會思考. 學生思考數學問題的過程，就是體驗對數學問題的抽象分析過程、將復雜問題轉化為易于解決的問題的過程、開展數學運算推理的過程和數學想象的過程，就是發展學生的數學核心素養的過程. 運用思維策略能發展學生的思維能力，提升學生的思維品質，進而提升學生的數學核心素養.

[關鍵詞] 學會思考;數學思維;思維策略;數學素養

有位數學家曾經說過，“學生在中學階段所接受的數學知識，進入社會后，沒有機會直接應用，唯有數學精神、思維方法和策略等，使他們終身受益.”可見數學思維會影響學生終身發展. 要發展學生的數學思維，就要讓學生學會思考，只要學會思考，并能深度思考，才能發展數學核心素養.

[?] 讓學生學會思考，才能促進素養的落實

數學素養的內涵和要求是多方面的，在教育教學的過程中讓學生學會思考，就是讓學生理解數學問題，廣泛聯系相關的數學知識，深度探究解決問題的路徑，無疑是非常重要的一個方面. 學生思考解決問題的過程中，體驗對數學問題的抽象分析過程，發展抽象素養;在找到問題中量之間的關系使復雜問題轉化為易于解決的問題的過程中，鍛煉學生數學建模能力和邏輯推理能力，提升數學建模素養和邏輯推理素養;數學推理離不開數學運算，數學抽象離不開數學想象，這必然發展數學運算素養和直觀想象素養. 因此，讓學生學會思考，并能深度思考，一定能極大地提升學生的數學思維品質，進而提升學生的數學核心素養，促進學生全面發展，終身受益.

[?] 遵循數學思維策略，促使學生學會思考

數學思維能力的提升，要遵循數學思維的原則、規律，使思維過程少走彎路. 文章擬就探討數學思維應遵循的基本策略，并舉例說明其應用.

1. 簡單化策略

在數學中，往往是未知與已知、高次與低次、空間與平面等問題互相聯系、互相轉化. 從解決問題的思維過程來看，通常是化繁為簡. 主要途徑是：（1）分解為簡單問題的組合. 從已有的認知結構出發，設法將較繁的問題分解為按一定方式相聯系的簡單問題，分步解決. （2）分解為若干同類的子問題. 根據某一本質屬性的差異，分為不同的種類，分類解決. （3）抽象為基本問題的推廣. 對于抽象復雜的問題，從同類特殊情形中尋找可推廣的結論和方法，迂回解決原問題. 這里將復雜問題轉化為某個簡單問題或幾個簡單問題的組合. 找到這個（這些）簡單問題，將它（它們）解決掉，原有的復雜問題也就迎刃而解了.

簡單化策略是指這種化陌生為熟悉、化高級為低級、化復雜為簡單的思想方法. 這種對問題的簡單化體現著要理清問題中各種量及其關系、概念間的聯系、問題間的邏輯關系，有助于發展學生的數學抽象素養和邏輯推理素養.

例1 設復數z=3cosθ+i2sinθ，并設復數z的輻角為α，求函數y=tan（θ-α）0<θ

<的最大值以及對應的θ值.

分析：此問題可分解為：

（1）求α的正切值. 由0<θ<知tanθ>0，且tanα==tanθ.

（2）將tan（θ-α）表為θ的函數，即y=tan（θ-α）==.

（3）求最大值及相應的θ值. 因為+2tanθ≥2，所以y≤，當且僅當=2tanθ

0<θ<

時，即tanθ=時，上式取等號.所以當θ=arctan時，函數y取得最大值.

這種分解與組合，使得復雜問題變得簡單，思維自然流暢，邏輯關系清晰，條理性強. 對于數學基礎較弱的學生，可以幫助他們找到解題的思路、成功的體驗，能喚醒學生學習數學的興趣與信心，發展學生的數學運算素養和邏輯推理素養.

2. 等價變換策略

如果命題A成立當且僅當命題B成立，那么就稱A和B為等價命題，記為A?B. 能使變換前和變換后的命題等價的變換叫做等價變換. 等價變換的主要途徑有：

（1）數學語言間的互譯. 靈活地進行語言形態的變換，發揮它們各自的優勢，發散思維，開闊思路;不同形態的數學語言（文字語言、符號語言、圖形語言）的互譯，往往能全方位、多角度地審視題目，簡縮思維過程，擺脫思維受阻的困境，有利于培養思維的廣闊性.

（2）引入輔助（變）量. 引入新的（變）量，促使原問題的形式結構向易于理解和解決的方向轉化.

（3）恒等變形. 通過與已知問題結構的對比，找出異同，變異為同.

（4）數形轉換. 將幾何的直觀和代數的靈活相結合，靈活地進行數形轉化，不斷優化解題的思維過程.

（5）圖形變換. 利用某種變換手段恰當地進行圖形變換，創造新的問題情境，尋求簡明快捷的解題途徑.

等價變換的過程就是不斷地聯想類比與變形推理的過程，能夠豐富學生的想象力，增強推理能力，發展學生的直觀想象素養和邏輯推理素養.

例2 設a，a，…，a都是正數，證明：不等式++…++≥a+a+…+a成立.

分析1：原不等式?

+a

+

+a

+…+

+a

+

+a

≥2a+2a+…+2a. 由+b≥2a（a>0，b>0）成立知原不等式成立.

分析2：原不等式?

-a1

+

-a2

+…+

-an-1

+

-an

≥（a-a）+（a-a）+…+（a-a）+（a-a）. 由-a≥a-b（a>0，b>0）成立知原不等式成立.

分析3：原不等式?

++…++

（a+a…+a+a）≥（a+a+…+a）2，由柯西不等式知原不等式成立.

對于某些問題，從其形式結構出發，與原有的認知結構聯想類比，找出其異同，利用它們結構的相似性，進行恒等變形，應用已有結論導出新的結論.這種思維策略有助于培養學生思維的想象力，靈活性與深刻性，引導學生尋找疑難問題的數學本源，能促進學生邏輯推理素養的提升.

3. 映射反演策略

如果兩個命題或系統的內容、形式、結構之間存在某種相似性，那么設法在它們之間建立一種對應關系，把原問題映射到其他領域中去解決，然后反演回原來的領域中求得問題的解答. 這種解決數學問題的方法叫做映射反演原則. 這里“映射”指實現命題轉換的某種對應方法或變換手段，而“反演”指將變換后求得的解答轉換成原問題的解答.

實施映射反演，就是一種構造的方法，通過類比聯想，利用映射構造新的問題，使原來困難的問題轉化為易于解決的問題，解決問題的思維中包含著聯想、構造、抽象與推理等思維要素，能發展學生的直觀想象、數學抽象、邏輯推理與數學運算等素養.

例3 求sin220°+cos280°+sin20°·cos80°的值.

分析：對于每個給定的x∈R，在sinx，cosx之間建立對立關系，產生對偶式可幫助解題. 于是設a=sin220°+cos280°+sin20°cos80°，b=cos220°+sin280°+cos20°sin80°，則a+b=2+sin100°，a-b=-cos10°-，相加得a=.

例4 集合S={1，2，…，18}的五元子集S={a，a，a，a，a}中，任何兩元素之差不為1，這樣的子集S有多少個？

分析1：若分類考慮，明顯太煩. 由于S中的每個元素都在S中且任何兩個元素之差不為1，作子集S′={a，a-1，a-2，a-3，a-4}，則S′與S一一對應，而S′是{1，2，3，…，14}的五元子集，故共有C個.

分析2：原問題可轉化為18名學生中有5名女生，要排成一排，其中任何兩名女生不得相鄰，問共有多少種不同的排法？

在解題過程中，采用輔助手段如對偶、換元、排序、賦值、分割、投影、放縮等，尋求與原問題相關的對應元素、情境和新問題，進行遷移和移植，使難題巧解，這種方法能夠培養學生思維的發散性、深刻性和靈活性. 促進數學運算、數學抽象與邏輯推理等素養的形成.

4. 猜想驗證策略

猜想驗證原則指對某個數學問題通過實驗與觀察分析，提出該問題具有某種可能結果的猜想，然后多次驗證，以逐步認識并找出該問題的解決方法.猜想指對某個新命題結論的猜想，也指對解題方向的猜想. 當結論是關于自然數的命題時，通常用數學歸納法證明.

這是一種由特殊到一般的思維方法，學生在長期的學習中形成了一般到特殊的思維定式，也就是習慣演繹推理，不熟悉使用合理推理解決問題的路徑，培養學生用猜想驗證解決問題能使思維更加全面靈活，使得邏輯推理素養進一步落實.

例5 求和S=arctan+arctan+arctan+…+arctan.

分析：對于該題，求和既無現成公式可用，也不知往何處簡化. 但聯想到S=++…+可使用錯位相消法求和，因此猜想arctan=arctanα-arctanβ，若能找到這樣的α與β，問題便迎刃而解了.不難驗證α=2m+1，β=2m-1滿足要求，于是可得S=arctan（2n+1）-.

猜想驗證是探求問題結論的有效方法，它有利于培養思維的靈活性、縝密性、創造性，能綜合提高數學素質.

5. 辯證轉化策略

數學中充滿著矛盾，如已知和未知、常量和變量、相等和不等、有限和無限、運動和靜止、合并和分解等. 矛盾的雙方既對立又統一，在一定的條件下，互相轉化、互相制約. 當直接解決某數學問題有困難時，可轉向探索與該問題相聯的另一個相對的數學問題，再利用兩者之間的依賴關系解決原問題. 稱這種運用辯證思維策略來探索數學問題的方法為辯證轉化原則.

辯證轉化這一思維方式能使學生學會從正反兩個方面考慮問題，證明一個問題的不成立性，從正面解決不好表達，難于下手. 要說明一個問題的不成立性，只要找到一個合適的反例即可，這也是研究數學問題常用的方法. 對于正面解決有困難的問題，可以轉化為它的逆否命題，即假設結論不成立，找出與已知或事實矛盾的結果. 這能夠培養學生思維的靈活性與深刻性，提升數學抽象、數學運算和邏輯推理等素養.

例6 已知數列{an}，{bn}滿足a=a+b，b=a+λb，且a=b=1，λ為常數. 設c=a+b，n=1，2，3，…，求證：λ≠時，{c}不可能是等差數列.

分析：用反證法解答. 設{c}是等差數列，則c=a+b=a+b+λ

-b=c+λ

-b，即{c}的公差d=λ

-b為常數，所以λ=或b=b=1. 因為λ≠，故b=1. 由b=a+λb，得a=1-λ也為常數;再由a=a+b，b=1及a=a為常數，導出1-λ=，得λ=，與λ≠矛盾. 故得證.

順向推導有困難時就逆向推導，直接證明有困難時就間接證明. 這種正難則反的辯證思維策略往往使解題易于入手，有利于培養思維的靈活性.

例7 試求橢圓+=1的內接三角形面積的最大值.

分析：由面積射影定理聯想到橢圓為一圓柱的截面，因此，橢圓內接△ABC在圓柱底面上的射影為圓內接△ABC，且當△ABC為正三角形時，橢圓內接△ABC的面積最大，易知截面與底面夾角的余弦值為，從而求得橢圓內接三角形面積的最大值為.

在平面上解決該問題，會陷入僵局，無計可施，利用“升”維變換到空間，茅塞頓開，淺顯易見. 從問題的結構特點出發，靈活使用“次數”“維數”升降的辯證關系，改變思維角度，另辟蹊徑，可擺脫思維受阻，走出困境. 數學中處處滲透著辯證法，數學科學也離不開辯證思維. 辯證思維的形式是多樣的，在數學教學中，靈活應用這些辯證思維的策略，可優化學生的思維品質，提高思維的深刻性與全面性，促進數學抽象素養與邏輯推理素養的發展.

[?] 結語

通過對所屬學校的高中學生數學學習情況的調研和訪談發現，現在的高中數學學習形成了一定的學習習慣和學習方法的定式，課堂上聽課模仿做題，課后參考答案做題，相當多的學生沒有答案搜答案，依賴答案完成作業，沒有答案沒法學習. 可見，讓學生學會思考是培養學生數學核心素養刻不容緩的一項重要任務，讓學生養成良好的思考習慣，形成一定的思考能力，有助于學生靈活運用數學思維策略去分析問題和解決問題. 只有學會思考，并能深度思考，才能發展學生的思維能力，遇到問題時才能獨立思考并尋找解決方法，改變過去靠記憶和模仿學習數學的習慣;只有學會思考，學生才能感受到數學的內在美，感染和熏陶學生在心底由衷地喜歡數學，鉆研數學，才能在教學中落實數學素養.