高中數學核心素養之數學抽象能力的培養

周金強

【摘 要】 數學抽象是數學核心素養中重要的素養之一，在高中數學教學中，教師不僅要注重對學生理論知識的傳授，還要強化學生數學抽象能力的形成和發展.本文從數學抽象能力的內涵和意義出發，簡要論述了數學抽象的認知過程，以及基于核心素養大背景，提出了培養學生數學抽象能力的有效策略，旨在促進學生數學抽象能力的養成，為學生核心素養和綜合能力的發展奠定基礎.

【關鍵詞】 高中數學;核心素養;抽象能力

1 前言

核心素養的提出加快了教育改革的步伐，同時給高中數學教學提出了新要求.數學抽象既是數學的基本思想，也是數學思維形成和發展的根本.因此，培養學生數學抽象能力具有重要意義，需要教師根據數學抽象的認知過程，采取行之有效的策略，以促進學生數學抽象能力的培養與發展.

2 數學抽象能力的內涵和意義

2.1 數學抽象的內涵

能力從心理學角度來說是對活動效果能夠產生影響的心理特征，可以說是一種滿足活動要求的本領，而數學能力則是可以相對容易且徹底的掌握數學知識、方法以及習慣的特殊心理特征.數學抽象能力作為數學能力中最主要的核心部分之一，是人腦在對具體實例進行觀察、分析、整合的過程中將探究對象的本質屬性進行抽象化，并針對大量材料進行相應概括得出結論，最終將其推廣和應用于解決實際問題或做出論斷的過程.

2.2 培養數學抽象能力對數學學習的意義

高度抽象性是數學學科特點之一，正是由于數學學科的高度抽象性，使得學生對數學內容不易理解和應用，學生極易對數學學科產生抵觸情緒，這就要求學生具備相應的抽象思維能力.在高中數學實際教學過程中，教師要運用行之有效的方法以提高學生的積極主動性，培養學生的數學抽象能力，靈活數學知識解決遇到的難題的能力，既從整體上促進學生數學學習能力的提升，又有效培養學生的數學核心素養.

3 數學抽象的認知過程

數學的學習過程一般是經由概念引入內涵，系統性的獲得理論知識，然后形成自身技能，從而發展思維，最終理論與實踐相結合并靈活運用于實踐當中.數學抽象大致可分為三個階段：

第一，情境認識階段，認識階段是學習者對數學內容中的概念和數學方法初步了解的階段.在高中數學實際教學中，為使學生加強對理論知識的認識，教師會將抽象的理論具象化，結合學生已有的理解能力和認知水平建立具體化的情境，情境認識階段就是由抽象到具象的過程.

第二，消化適應階段，在課堂教學中，通過教師的講授或學生的自主閱讀，運用自己的方法經驗對所學內容進行消化理解，將新知識與已經內化的舊知識進行關聯性比較，將新知識的關鍵要素、應用條件以及適用范圍進行解析，并在這一過程中將新知識進行抽象化處理，從而融入自己已有的知識體系當中.消化適應階段，會使新舊知識有聯系、有沖突，同時也會觸發自己知識體系的盲區，這些有助于學生對新知識的理解，消化適應階段指的是從具體轉為抽象的過程.

第三，轉化實踐階段數學教學的最終目標是為了利用數學能力解決實際問題.學生在實際生活中遇見問題首先應將具體問題進行抽象化轉換，然后在已有認知的基礎上進行判斷，從自己知識框架中進行調配適合相關情境的知識內容.在轉換應用階段，要經過具體到抽象，再由抽象到具體的過程，在抽象與具體的反復轉化中達到解決問題的目的.

4 培養學生數學抽象能力的有效策略

4.1 加強數學概念教學

數學概念是最能反映事物本質的理論，也是對事物的高度抽象和概括.但是，在高中數學實際教學中，有些教師可能不太注重概念的教學，覺得概念是一段文字的論述，只做簡單的介紹而沒有花費時間重點剖析，這樣就會造成學生對概念的理解不透徹.因此，教師在教學中要加強對數學概念的教學，引導學生體驗對事物本質經過抽象概括從而提煉形成概念的，教師要設置有啟發性的問題以符合學生的現有水平和潛在發展能力，促使學生將新舊知識相互聯系，從而探索數學學習內容的本質.

教師在概念教學時，可以提倡學生進行自主學習，讓學生經過獨立思考對概念有初步的認識，或設置問題引導學生思考或是通過小組合作的形式進行討論加強對概念的理解，教師還可以讓學生通過自己的語言來說明對概念理解的過程和結論.這種多元化的學習過程，能夠促進學生抽象概括能力的形成，從而達到事半功倍的教學效果.

4.2 搭建知識與知識之間的橋梁

培養學生的數學抽象能力要貫穿于整個數學教學內容中.數學學科各個章節其實都存在著聯系，教師在教學時要挖掘各個章節知識點之間的聯系，將知識點之間的關系進行串聯以提高數學抽象能力.在這一過程中，教師還要側重于學生自主總結能力的養成，使學生在總結時尋找規律、發現規律，以達到鍛煉學生數學抽象能力的目的.

教師要引導學生對數學本質和數學規律進行挖掘和總結，并從中得出結論.

在三角函數誘導公式的教學過程中，教材（蘇教版必修第一冊7.2.3）給出了六組誘導公式，以正弦為例分別是：

sin（α+2kπ）=sinα（k∈Z）（公式一）;

sin（-α）=-sinα（公式二）;

sin（π-α）=sinα（公式三）;

sin（π+α）=-sinα（公式四）;

sin（π2-α）=cosα（公式五）;

sin（π2+α）=cosα（公式六）;

教師在講解了這六組誘導公式以后，可以進一步引導學生歸納探究sin（kπ2±α）與sinα的關系，從六組誘導公式歸納抽象得到“奇變偶不變，符號看象限”的一般性結論，使學生能夠更好的理解、記憶和運用誘導公式.

4.3 在應用中提高學生的數學抽象概括能力

廣泛應用性是數學學科的又一特點，數學學科的實踐應用可以有效提高學生數學綜合能力學生在實踐過程中，把新問題、新情境和自身已有的知識體系搭建關系，將實際的問題抽象為數學模型從而使新問題得以解決.為提高學生數學抽象概括能力，教師可以在開放性問題、數學建模和變式練習中來構建相關應用情境.

開放型問題：也就是具有探索和探究性的問題，這種類型的問題對學生核心素養的培養有很大的促進作用.教師設置相關開放型題目，學生通過對已知條件的觀察、探究、想象進行推理，并進行最后的驗證.寫出一個同時具有性質對任意0<x1<x2， 都有f（x1）>f（x2）;f（1）=1的函數f（x）=?? . 這類問題需要學生抓住題目的抽象條件，具象出滿足條件的數學模型.所以，解決開放型問題能對學生的數學思維進行有效的訓練，也是對學生抽象概括能力的培養.

數學建模：這里所說的數學建模與一般意義上的數學建模不同，一方面要對數學解題模型進行總結，建立同類型題目解答的典型模板.這需要學生針對足夠多的題目進行解決，然后在問題有效解決后總結出通用的方法步驟，并形成相應題目解決的模型，在應用這類模型中，要明確模式中的變量和不變量，明確哪些內容是核心內容.

另一方面，將學生在實際生活中遇到的問題抽象成數學建模，學生可以根據個人差異，選擇自己擅長或感興趣的內容，結合自己所處的環境，選擇探究的對象進行問題的提煉、分析和解決.遇到具體問題轉化為數學模型的過程，也就數學抽象進行應用實踐的過程.

學生在所建立的抽象模型下，運用數學知識來解決實際問題時，可能涉及的不只數學學科的單個章節和知識點，運用多種個知識點同時來解決問題時，也是對學生抽象根據能力的鞏固，同時也可以促進學生創新和探究能力的發展.

變式練習：教師可以在學生已有認知的基礎上做變式訓練，讓學生對知識內容進行再認識、再思考，以鞏固提高學生的認知能力.在數學理論中，教師可以對概念的特征、內涵或者對象加以改變，讓學生進行辨析，從而學生對數學理論知識的認識和理解;在習題中，教師可以轉換相關條件，讓學生在類似的情境下體會題意的主旨，以選擇適合的模型來解決問題.

教師還可以引導學生從不同角度和思路來認識問題，從而達到一題多解，也可以在多題一解中培養學生歸納和概括的能力.

例如 已知log0.5a<1，則實數a的取值范圍為_________.

本題還可作如下變式：

變式1已知log0.5a<1，則實數a的取值范圍為_________.

變式2已知log0.5a>1，則實數a的取值范圍為_________.

變式3已知log2a<1，則實數a的取值范圍為_________.

變式4已知loga0.5<1，則實數a的取值范圍為_________.

通過變式練習，學生的學習興趣得到激發，解題思維得到訓練，解題能力得到提升.

4.4 強化學生抽象與具體的轉化能力

從抽象到具體，能夠使抽象物得到確認和鞏固，是在已有知識體系中建立與新的抽象物之間聯系的過程，這一過程，可以培養學生的數學思維能力.從具體到抽象，是對所學內容的認識和深化的過程，是通過問題看到本質的過程，是發展數學抽象能力的過程.抽象與具體是相對的，每一個抽象物在思維訓練之后，相對于新的抽象物變換成具體，可見，抽象和具體的相互轉化，是促進學生抽象能力進一步發展的重要手段，因此，教師要強化學生抽象與具體的轉化能力.

教師從具體到抽象時要基于具體但不能被具體所限，在具體中抽象進行本質屬性的概括，促進學生數學抽象能力的培養.同時，教師在知識內容講解完畢后，需要從抽象到具體，使抽象物滲透進學生的知識體系，與學生已有知識結構相互融合或滲透.

例如 已知f（x-2）=x2-3x+2，x∈R，求f（x）.

本題給出的是一個具體函數，但是我們需要了解本題實質是已知復合函數及其內函數解析式，求外函數的解析式，即已知y=f（g（x）），求y=f（x）.我們只有掌握了這種抽象復合函數求解析式的方法，才能在具體問題中應用換元法或湊配法解決問題.

在對具體函數問題訓練的過程中，加深學生對函數概念的理解，學生在已有的知識結構中能夠對抽象的函數概念進行同化，在抽象與具體的轉化過程中，既是對原有知識體系的鞏固，又是對學生數學抽象能力的培養.

5 結語

綜上所述，核心素養大背景，要將培養學生的數學抽象能力作為數學教學的重點，學生數學抽象能力的培養是一個長期的過程，教師要以學生數學抽象認知過程為依據，實施有效的策略對學生數學抽象能力加以培養，以達到學生整體數學素養的提升，為學生成為社會所需的綜合人才提供保障.

參考文獻：

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