打造數學語言工匠藝術

［摘? 要］ 浙江省的高考數學自主命題即將進入尾聲，平面向量作為往年填空壓軸題（最后一題）的常客，如何入手是文章研究的重點，也是常考常新的內容.

［關鍵詞］ 翻譯；轉化；高考；語言藝術

數學解題過程其實有時候也是一項“翻譯”過程，而解題者就像一個個“翻譯官”，“翻譯官”自身掌握的專業知識決定了他解題的水平.如同中英文翻譯，知識儲備豐富的“翻譯官”可以保留中華民族博大精深的文字魅力，而專業知識匱乏的“翻譯官”，就只能把優美的詩詞變成晦澀難懂的符號.平面向量以填空壓軸題的身份出現時，往往讓“翻譯官”感到頭痛，如能在代數和幾何之間切換自如，那么解題過程將會是一個享受的過程. 如下面的這道平面向量題出自浙江省某名校高考模擬第16題.由于浙江省今年仍是自主命題，意味著這是一道中高難度的考題. 原題如下：

已知平面向量a，b，c，滿足a=b=3，c=2，且（a+b）·c=a·b+4，則a-b的取值范圍是________.

初步分析條件，顯然可以觀察到：在平面直角坐標系中，若把向量的起點放在原點，a和b的終點軌跡是以3為半徑的圓，c的終點軌跡是以2為半徑的圓，但是受到（a+b）·c=a·b+4這個條件的限制，顯然這三個向量不在任意位置.于是翻譯（a+b）·c=a·b+4這個條件成了解決本題的關鍵.但是這個條件對于找向量a，b，c之間的關系還不夠明朗，既然想到了它們的終點軌跡，在此不妨嘗試用向量的坐標進行運算.

方法1顯然是把條件中的等量關系“翻譯”成了向量的另一種表示——坐標表示，再利用三角函數的運算得出向量模長的取值范圍.

不過，當我們做到（6cosθ+6）cosα+6sinθsinα=9cosθ+4這一步時，可能首先想到的是把6cosθcosα+6sinθsinα還原成6cos（θ－α），為了方便計算，在此換成另一種方法.

如果說以上兩種方法結合了向量的代數與幾何兩種運算的話，那么是否能找到更直觀的幾何關系來表示題中的條件呢？在這樣的思考下，第三種“翻譯”應運而生.

方法3相較于前面兩種方法，達到了前面所講的比較“高級”的“翻譯”效果，省去了較多煩瑣的計算. 此題還可以從極化恒等式這個角度進行思考.

以上是以向量為例在高中數學解題過程中對條件進行“翻譯”的幾種途徑，數學領域廣泛，每個知識點都有待挖掘的文字藝術，只要我們幫助學生找到了這個密鑰，相信一定能打開數學學習的求知大門.

作者簡介：馮亮（1982—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學工作，任浙江省寧波市慈湖中學數學教研組長，曾獲2015年度浙江省寧波市教育科研先進個人稱號.