HPM視角下的學歷案課例開發對策研究

摘 要：在新教材新課標不斷推進的環境下，傳統的教案、學案教學已經較難適應新時代學生的學習需求，學歷案應運而生。基于HPM（數學與教學史教育）視角下的學歷案從學生的角度出發，更加尊重學生的認知習慣，能夠幫助學生構建所學知識的框架體系，針對性和可操作性強，能極大地提高學生學習的自主性，真正地提高學生的數學核心素養。

關鍵詞：學歷案；HPM教學法；高中數學

中圖分類號：G633.6?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1673-8918（2022）43-0099-04

教無定法，但教應有常法，構建以學生的學為中心的課堂教學模式，從學生學的角度，為學生的學習設計一種方案是必須的，筆者認為在課堂教學中采用學歷案是一種很值得關注和研究的課堂教學模式。這種教學模式符合人本主義學習理論，教師課堂教有教案，學生學有學歷案，體現了高中數學課堂教學中師為主導、學為主體的教學原則，在課堂建立起學與教的橋梁，還學生數學課堂的主體地位。

學歷案是指教師在班級教學背景下，圍繞一個具體的學習單位（主題、課文或單元）從期望“學會什么”出發，設計并展示“學生何以學會的過程”，以便于學生自主建構或社會建構經驗或知識的專業方案。這個角度是以學生為本，教師自己設計學生從哪些方面來學會東西，并有相應的評價任務。

高質量的學歷案設計能夠引導學生確立正確地學習目標，增強學生學習的主動性和積極性，培養學生的主動探索精神和自主學習能力，真正讓數學課堂動起來并能最終提高學習效率和教學效果，達到落實數學核心素養的教學目的。如何培養學生的主動探索精神，幫助學生自主建構知識或經驗？數學與教學史教育（HPM）案例就是學歷案學習的好素材。因為任何數學知識都是人類對數學不斷進行實踐、思考、總結，從簡單到復雜，從直觀到抽象，從經驗概括到形式構造，經歷了漫長的歷史過程，是若干代數學家對數學進行獨特而深邃的思考形成的成果。而這，正好與學歷案的教育理念不謀而合，讓學生在學習中經歷知識發生的過程，將知識逐漸內化為自身的學習經驗，形成知識的脈絡和認知地圖，真正地提高學生的數學抽象、邏輯推理、直觀想象等高中數學核心素養。下面以“冪函數的概念”為例談學歷案的實踐與思考。

一、 “冪函數的概念”的學歷案的課堂教學實踐

（一）學習主題與課時

學習主題為“冪函數的概念”，選自《普通高中數學教科書·數學》（上海教育出版社）必修1第四章第一節。設計1課時完成教學任務。

（二）課標要求和學習目標

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》對本節提出了以下要求：“以簡單冪函數為例，研究它們的性質，體驗研究函數性質的過程與方法，能根據不同問題靈活的用列表法、圖像法來表示變量之間的關系和研究函數性質，領悟數形結合的思想。”基于以上內容，制定學習目標，形成原有教學目標與新制定學習目標對照表，如表1所示。

（三）評價任務

評價任務是指為檢測學生的學習目標達成情況而設計的檢測項目。有效的評價任務必須符合三條標準：與目標匹配、看得明白、實施可行。對已有的5個學習目標，均采取“一對一”的設計方法，從評價形式、任務內容兩方面進行考量，設置5個針對性任務。

1. 完成探究1，回答思考2、3，完成考察。（檢測目標1）

2. 回答思考3，完成例1、探究2。（檢測目標2）

3. 完成知識應用。（檢測目標3）

4. 完成探究3，回答思考4、5。（檢測目標4）

5. 完成例2。（檢測目標5）

（四）學習過程

1. 課前準備

回顧之前在初中學習過哪些初等函數，并上網查閱有關冪函數的數學發展史。預習《普通高中數學教科書·數學》必修第一冊第82～87頁。

完成探究一：

嘉定人杰地靈，物阜民豐。嘉定馬陸的葡萄更是聞名遐邇，請同學們閱讀以下材料并思考問題：

問題1：如果李阿姨購買了價格為1元的葡萄包裝盒x個，那么她支付的錢數y=________________________（元）。

問題2：如果一個正方形的葡萄園邊長為x米，那么葡萄園的面積y=________________________（平方米）。

問題3：如果正方體的葡萄包裝盒棱長為x厘米，那么包裝盒的體積y=________________________（立方厘米）。

問題4：如果正方形葡萄園的面積為x平方米，那么葡萄園的邊長y=________________________（米）。

問題5：如果李阿姨去買葡萄，經過x秒騎車行進了1千米，那么她騎車的平均速度y=?? （千米/秒）。

2. 課堂學習

（1）課題引入

共同探討探究1相關問題的答案。

問題1：以上函數有何共同的特征？

生：底數是自變量，指數是常數，冪的系數為1。

師：我們把具有這種形式的函數叫作冪函數。

最早把“函數”（function）一詞用作數學術語的是萊布尼茲，當時，萊布尼茲用“函數”（function）一詞表示冪。同學們不妨一試，把它作為一個研究性課題進行研究，了解我們今天學習冪函數的意義。

（2）冪函數的概念

問題2：冪函數的定義是什么？

生：一般地，當指數a固定，等式y=xa確定了變量y隨變量x變化的規律，稱為指數為a的冪函數（power function）。

考查：1. 判斷下列函數哪些是冪函數。

（1）y=x4；（2）y=4x；（3）y=x0（x≠0）；（4）y=1x2；（5）y=（x-1）2；（6）y=3x2+1。

生：（1）、（3）、（4）是冪函數。

2. 如果函數f（x）=（m2-m-1）xm是冪函數，求實數m的值。

生：由冪函數定義得m2-m-1=1，解得：m=2或-1。

思考1：已對冪函數的概念有了些比較深刻的認識，根據前面所學經歷，我們該如何繼續研究？

生：圖像和性質。

師：為了更好地研究冪函數的性質，我們還需要了解一下冪函數的定義域這個概念。

思考2：冪函數的定義域是什么？

生：使得y=xa有意義的x的取值范圍，稱為此冪函數的定義域。冪函數的定義域是不同的，它和指數a有關。

問題3：指數冪的相關運算性質有哪些？

生：amn=（am）1n=nam，a-mn=1amn=1nam（a>0，m，n∈N*，n>1）。

【例1】 求下列函數的定義域。

（1）y=x3；（2）y=x12；（3）y=x13；（4）y=x-12；（5）y=x-23

生：（1）定義域為R。（2）定義域為［0，+∞）。（3）定義域為R。（4）定義域為（0，+∞）。（5）定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）。

（3）幾個常見冪函數的圖像和性質

德國數學家萊布尼茨在1673年的一篇手稿里指出：像曲線上的點變動而變動的幾何量，如點的橫、縱坐標，切線的長度，法線的長度等都稱為函數，并強調這條曲線是一方程式給出的。這種用函數表示幾何量，被后人稱為“函數概念的幾何起源”，是函數圖像表示法定義之始。

問題4：作函數圖像的步驟？

生：列表，描點，連線。

探究二：在同一坐標系內畫出函數y=x13和y=x-12的圖像并探究冪函數的圖像和性質。

師：請以四位同學為一小組，畫出函數y=x3、y=x13、y=x12、y=x-12的大致圖像。（幾何畫板展示）

思考3：能否根據它們的圖像的形狀，更細分一下，從而找出它們的共同特點呢？

生：（1）當a<0時，

①過點（1，1）；

②在第一象限內，圖像向上與y軸無限接近，向右與x軸無限接近。

當a=0時，函數為y=x0（x≠0），圖像為兩條以（0，1）點為端點的分別平行于x軸正半軸和負半軸方向的射線。

當a>0時，

①只有a>0時，圖像才與坐標軸相交，且交點一定為原點。

②當0<a<1時，函數在第一象限的圖像上升幅度較小；

③當a>1時，函數在第一象限的圖像上升幅度較大；

④當a=1時，圖像是一、三象限的角平分線。

（2）圖像一定會出現在第一象限，一定不會出現在第四象限。

（3）冪函數的圖像在y軸和直線x=1之間時，指數越大，圖像越低，指數越小，圖像越高；而在直線x=1右側，情況正好相反。

探究三：通過對上述函數圖像的分析發現冪函數的圖像存在對稱性，冪函數圖像的對稱性是什么？

思考4：點（x0，y0）關于原點對稱得到的點為________________________，點（x0，y0）關于y軸對稱得到的點為________________________。

生：點（x0，y0）關于原點對稱得到的點為（-x0，-y0），關于y軸對稱得到的點為（-x0，y0）。

思考5：若點（2，8）在冪函數y=x3的圖像上，則點________________________在冪函數y=x3的圖像上。

問題5：冪函數y=x3的圖像對稱性是什么？

生：冪函數y=x3的圖像關于原點成中心對稱。

思考6：若點（2，4）在冪函數y=x2的圖像上，則點________________________在冪函數y=x2的圖像上。

問題6：冪函數y=x2的圖像對稱性是什么？

生：冪函數y=x2的圖像關于y軸成軸對稱。

師：1727年，年輕的瑞士數學家歐拉在提交給圣彼得堡科學院的一篇論文中，就通過我們剛剛使用的方法來研究冪函數，并且提出了一個新的數學概念——“奇、偶函數”，也因為此慢慢地發展出函數的一個非常重要的性質——奇偶性。

歐拉在文中提到若用-x代替x，函數不變，則稱這樣的函數為偶函數；偶函數的圖像關于y軸對稱。若用-x代替x，函數變號，則稱這樣的函數為奇函數；奇函數的圖像關于原點對稱。

師：下面我們就試著循著偉人的足跡，利用函數的對稱性，來試著解決一下有關于冪函數的圖像問題。

【例2】 作出冪函數y=x-23的大致圖像。

請學生上黑板畫出函數y=x-23的圖像。（幾何畫板展示）

問題7：能否判斷一下冪函數y=x-23的圖像上的點關于什么對稱呢？

生：冪函數y=x-23的圖像關于y軸成軸對稱。

師：我們通過觀察一些簡單的冪函數，得到了冪函數的性質。而在學習數學中，猜測是需要經過嚴密的證明的，這個有待于通過后面的學習來完成。

（4）知識應用：把下列函數圖像與函數表達式配對

①y=x23 ②y=x-12 ③y=x32 ④y=x-3 ⑤y=x ⑥y=x13 ⑦y=x53 ⑧y=x12 ⑨y=x43 ⑩y=x-2

（5）學后反思

請梳理本堂課知識內容并嘗試自己畫出本節課的思維導圖。你覺得還有哪些內容比較難以掌握？需要老師提供哪些幫助？你還有什么好的心得體會可以分享給大家？

二、 高中數學課堂HPM視角下學歷案實踐的思考

（一）學歷案的特點與創新點

首先，學歷案體現了“以生為本”的教育理念。學歷案從學生的角度出發，通過對學習者個體的關注，充分尊重學生的學習特征、學習需求，以學生發展為最高目標，從整體上建構師生學習共同使用的文本。學歷案的設計是把“促進學生發展”作為教學的出發點和落腳點，遵循主體性、探究性、層次性和針對性四大原則，以學生立場為所有教學行為的原點，讓學生在探究性學習中感受到學習的快樂，以學生發展為最高目標。其次，學歷案建立了科學又實用的教學體系，即“教—學—評”。學歷案在設計過程中強調基于學習目標設計學習過程，學習活動逐條對標學習目標。針對學習目標設計問題，引導學生在學習過程中完成相應的評價任務，預設主導性問題，作為學習的引擎，引領學生圍繞核心概念深入思考、實踐，想自始至終貫穿于整個學歷案，為實現課堂的有效教學奠定基礎。

（二）HPM教學可以與學歷案教學有機融合

HPM教學法將數學史融進課堂教學，通過借鑒歷史、重構歷史，以學生為主體設計學習路徑和問題，讓學生親身經歷思維發展的過程，教師及時指導學生越過學習障礙。從歷史的角度談知識產生的過程，可以讓學生領悟知識形成的必要性，提高學生學習的主觀能動性；從歷史的角度談知識發展的過程，可以讓學生產生身臨其境的感覺去不斷深入學習，從而促進知識遷移，提升學生的思維品質，培養學生的核心素養；從歷史的角度談知識發展過程中不斷碰到的難題，可以讓學生明白現在學習上的困難在歷史上也有過，有助于培養學生學習的自信心，提升學生的意志品質。而學歷案的精髓就是要讓學生經歷知識發生的過程，并能夠從中自主建構知識脈絡，掌握相關知識。在“課前準備”環節中，讓學生明白“為什么學”；在“課題引入”環節中，讓學生明白“學會什么”；在“概念學習”環節中，讓學生明白“何以學會”；在“知識應用”和“課后反思”環節中，讓學生明白“反思源于實踐”。

由此可見，HPM教學法可以完美地融入學歷案教學中，將兩者有機結合在一起，既可以提高教學的趣味性，又可以提高學生學習的積極性，教學的有效性和針對性、學生學習的自主性和針對性也大大增加，是學歷案學習與HPM視角下的課堂教學相結合的一次有益嘗試。

參考文獻：

［1］盧明，崔允漷.教案的革命：基于課程標準的學歷案［M］.上海：華東師范大學出版社，2016.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］周葉文.評價任務的設計與實施［Z］.內部資料，2014.

［4］孟南昆.理論助力成長，教案變身學歷案：“萬有引力定律”教學設計反思［J］.物理教學探討，2021（12）：72-76.

作者簡介：耿幸（1982～），男，漢族，上海人，上海市嘉定區第二中學，研究方向：教育教學。