基于實例提升高中數學教師本原思維素養的實踐研究

［摘? 要］ 教師的思維方式決定了教學方式，而教學方式又決定了學生的發展. 文章從本原思維的理論基礎出發，結合“五位一體”模型對“指數函數”進行教學設計. 具體從“應然標準，思維起點”“分析差距，確定問題”“橫縱分析，剖析原因”“應然考慮，擬定方案”“實然考慮，最終定案”五方面揭示教師教學設計的思維歷程.

［關鍵詞］ 本原思維；指數函數；教學設計

《中學教師專業標準》對教師的思維能力提出了兩點要求：①主動搜集并分析信息，在反思中改進教育教學方式；②針對教育教學工作的實際需要與存在的問題，實施必要的探索研究. 從本質上來看，學校教育需要的是“反思型教師”. 確實，會研究、善思考、能探索的教師是充滿智慧與能量的教師，是適應時代發展需求的教師.

在教言教. 數學教學中，該如何基于實例提升教師本原思維素養呢？這是一個亟須研究的現實問題.

本原思維的理論基礎

本原思維屬于一種思維的范式. 一般情況下，具有一定的先后順序，即達成前一個步驟，才能進入下一個思維環節，這個中間無法跨越，亦不可隨意調換順序［1］. 當然，特殊情況另當別論，有時根據實際需要可暫時簡化或省略一些步驟. 如圖1所示，本原思維分為五個環節，簡稱“五位一體”模型.

提升本原思維素養的措施

1. 應然標準，思維起點

教學設計時，先要確定一個應然標準. 所謂的應然，是指應該有的樣子，實則是指實際情況，這里所說的應然標準實則為教學目標. 確定應然標準是實施教學設計的前提，必須具備以下三個特征：①正確性. 正確的標準具有正確的導向性，可讓學生對知識本質獲得正確的認識. ②高且適度. 高標準是實現高成效的基礎，但過高的標準又令人望塵莫及，因此又要講究一個“度”，高且適度則恰如其分，否則過猶不及. ③清晰性. 目標明確，才能清晰教學思路.

本節課的教學目標，筆者結合學生的原有認知結構和最近發展區，以及指數函數的特點，經過慎重考慮而制定，主要為：帶領學生研究指數函數圖像，將獲得的指數函數性質類比歐拉著作中的結論，讓學生經歷類比猜想、歸納總結的過程，提煉出相應的數學思想方法，從本質上掌握并理解指數函數的概念、圖像與性質，并能利用所學內容解決簡單問題.

教學重點：指數函數的概念與性質.

教學難點：指數函數的概念、性質的建構與研究過程.

本節課的教學目標是圍繞問題的發現、提出與解決規律制定的，包括培養學生對知識的實際應用能力與數學思想方法的提煉等. 目標是思維的起點，一旦明確了教學目標，接下來的教學工作就有了明確的方向，任何教學活動的開展，都基于教學目標而實施. 不論課堂中發生怎樣的“意外”，最終都會朝著目標前進.

2. 分析差距，確定問題

根據本原思維發展的規律，標準一旦確定，接下來就到了“分析差距，確定問題”的階段，差距的本質就是目標與現狀的距離. 想要發現差距，就要對學生現有的認知水平有一個準確、客觀的了解. 若找不出實然狀態與應然狀態的差距，教學則無法進行. 若差距過大，則需要回歸到上一個環節，反思所制定的教學目標（應然標準）是否適度. 必要時還要對問題主次進行分析，只有找出根源，才能解決問題.

問題1：指數運算法則中的指數取值，是否可以從有理數推廣到實數的范圍？

設計意圖：學生在本節課之前已經接觸axay=ax+y，（ax）y=axy，（ab）x=axbx（x，y∈Q）這部分內容. 此問的目的在于勾起學生回憶，以便教師及時、準確地觀察到學生現有的實際認知水平.

從學生對此問的反饋情況來看，整體形勢不容樂觀. 雖然學生對這部分知識有一定的認知基礎，但要說清楚這個問題卻存在較大的障礙. 由此，筆者確定此問即當前學生需要解決的問題之一.

3. 橫縱分析，剖析原因

一般情況下，教師遇到教學障礙時會先思考如何解決這個問題，而非查找問題的根本原因. 這是一種本末倒置的處理方式. 想要從真正意義上解決問題，先要追根溯源，只有對問題進行全面、深入地分析，才能獲得解決問題的對策［2］. 從問題的縱橫兩個方面，雙管齊下地進行分析，或借助一些工具探尋問題的本原都是行之有效的方法.

那么，學生實際認知水平與當前教學目標之間究竟存在多大的距離呢？該如何不著痕跡地處理好中間的差距呢？

學生探索問題1時，呈現出了如下思維歷程：

已知指數冪ax中的a是常數，x是變量，那么指數x就可以是任何確定的數.

第一步，令指數x的取值為正整數，如1，2，3，…，則有a1，a2，a3，a4，a5，a6，…；如果x=0，那么a0=1.

第二步，令指數x的取值為負整數，如-1，-2，-3，…，可得，，，，…. 此時a≠0.

第三步，令指數x的取值為分數，如，，，，，…，則有a，a，a，a，a，…. 此時a>0.

若指數x是無理數，雖然思考方法與以上類似，但學生理解起來確實存在較大的障礙，如a的值位于a2與a3之間.

結合學生的思維歷程，筆者認為學生雖然對于axay=ax+y，（ax）y=axy，（ab）x=axbx（x，y∈Q）有所了解，但那還是初中階段所學內容，奈何時間久遠，出現遺忘現象純屬正常. 同時，從學生的心理來看，他們對指數函數內容有一種畏懼感，覺得這部分內容過于抽象，在思考問題時出現了畏懼現象.

4. 應然考慮，擬定方案

只要知道問題的根源，則可“對癥下藥”. 想要從根本上解決以上問題，就要找出“一針見血”的化解方法. 在方法的選擇上，應立足以下兩個原則：①明確應然標準，清晰解決問題的目標是什么；②立足學生的認知水平，基于學生的最近發展區組織教學.

結合應然標準與學生的最近發展區，筆者經過慎重思考，認為可在本節課利用“HMN（數學史與數學關系）思想”拉近學生與知識的距離，即將歐拉關于指數冪的研究內容滲透在此處，能起到降低思維起點、鋪設臺階、激發興趣、啟發思維等作用.

設計意圖：數學史的引入首先激發了學生的探究欲，讓學生體驗到了知識的發展歷程，同時還為學生的思維鋪設了臺階，讓學生對問題1有了進一步的認識. “HMN思想”的應用，不論是在學生知識層面還是在心理層面都有了新的進展，因此這是一個成功的應用.

5. 實然考慮，最終定案

應然方案一般是教師經過深思熟慮而制定的解決問題的理想方案，踐行應然方案之前，需要考慮：①能否順利解決問題，達成應然標準，完成教學目標？②若沒有順利解決問題，衍生出了新的問題該怎么辦？此時需要回歸到圖1中的②③步驟——反思問題、確定問題，橫縱分析問題形成的原因；若經過分析，此處確實沒有問題，則需要回歸到圖1中的④步驟——反思擬定的教學方案是否存在不合理的地方，并及時調整.

（1）指數函數教學

①某種細胞分裂，由一個細胞會分裂成2個細胞，2個細胞又分裂成4個，以此類推，此類細胞分裂x次后，細胞個數y和分裂次數x的函數關系式是什么？

②古人云“一尺之椎，日取之半，萬世不竭”，取x次后，椎的剩余量y和x的函數關系式是什么？

學生經獨立思考與合作交流，獲得結論：①y=2x（x∈N）；②y=

x（x∈N）. 若將其定義域更換為R，可得函數分別為：①y=2x（x∈R）；②y=

（x∈R）.

問題2：這兩個函數屬于冪函數嗎？若不是，它們與冪函數存在什么區別？

問題3：若用a替代以上兩個函數的底數，可得y=ax（x∈R），若此為一個函數，那么底數a能取所有實數嗎？（要求學生合作交流，探討這個問題）

設計意圖：古今結合的情境導入，有效驅動了學生的研究熱情. 兩個情境的共同點為：底數均為常數，指數為變量x. 問題2，將指數函數類比冪函數，強化學生對知識的認識；問題3，對底數a的規定是教學難點，采取合作交流的方式，能促進學生深度思考：當定義域為R，a的取值范圍是什么？若a為0或負數時會出現什么情況？隨著問題的解決，可得a∈（0，+∞）.

值得注意的是，問題3的討論，并沒有排除a=1的情況，這為引出指數函數的定義奠定了基礎.

問題4：結合冪函數的研究過程，想一想研究一個新的函數可以應用哪些數學思想方法.（數形結合、特殊到一般等）

問題5：請用描點法作出y=ax中，a的值分別為1，2，3時的圖像.

問題6：思考函數y=f（x），y=f（-x）的圖像之間存在什么聯系.

問題7：思考函數y=2x，y=

的圖像之間存在什么聯系；函數y=3x，y=

x的圖像之間又存在哪些聯系.

設計意圖：這幾個問題意在引導學生感知數形結合與特殊到一般的數學思想方法在研究函數圖像時的應用. 問題7，由于在指數函數教學前，學生已經接觸過“函數圖像的變換”等內容，因此函數y=

x，y=

x的圖像，在不描點的情況下也是可以獲得的，這里涉及對稱變換的內容.

（2）知識建構

帶領學生觀察在同一坐標系中，以下幾類函數圖像的形狀：①y=2x；②y=3x；③y=

x；④y=

x；⑤y=1x.

顯而易見，y=1x的圖像與眾不同，只有這一函數圖像為一條直線，其余幾個函數圖像均是曲線. 根據這個特征以及以上問題的解決，輕松獲得指數函數的概念——函數y=ax（a>0且a≠1）稱為指數函數，x為自變量，R為定義域.

問題8：類比冪函數的研究過程，現在可以從什么角度來探索指數函數？（奇偶性、單調性、定義域、值域、定點等）

設計意圖：在獲得指數函數定義的基礎上，類比冪函數的研究方法，明確后續待研究的主題. 類比過程，既是研究方法的回顧，又是新知建構的基礎，同時還明晰了后續研究的方向.

接下來，師生共同將本節課的教學內容與歐拉在《無窮分析引論》中所記載的指數函數進行類比分析：

分析函數y=2x，y=3x的圖像特征，不難獲得指數函數y=ax（a>1）的性質；分析函數y=

x，y=

x的圖像特征，可以獲得指數函數y=ax（0

歐拉在《無窮分析引論》中記有：

ax的取值依賴常數a的取值. ①若a=1，不論x的取值如何，均能獲得ax=1；②若a>1，ax的取值則會隨著x取值的變大而變大，若x無窮大，趨向于+∞時，則ax也趨向無窮大；若x=0，則ax=1；若x<0，則01，如果記=b，那么ax=b-x，因此01的情形推導而來.

繼續觀察歐拉的研究，發現如下內容：

令y=ax（a>0且a≠1），若a>1，在x>0時，則y>1；在x=0時，則y=1；在x<0時，則00時，則01.

從歐拉的研究分析來看，不難獲得指數函數的性質（見表1）.

設計意圖：教學的最高層次就是知識的重構. 教師在此帶領學生一起追溯指數函數的歷史起源，不僅通過歐拉研究激發了學生的學習動機，還基于學生的認知基礎重構了知識的發生和發展過程，讓學生從根源上理解并掌握了指數函數的本質.

縱觀本節課的教學設計，不論是教學目標的制定，還是“問題串”的設置，抑或“HMN思想”的應用，無不體現出教師超高的本原思維素養. 借鑒冪函數的研究方法，借助歐拉研究指數函數的過程，不僅凸顯了教師的智慧，還讓學生在寓教于樂中感受數學文化的博大精深，強化學生的數學學習興趣.

參考文獻：

［1］? 約翰·杜威. 我們怎樣思維·經驗與教育［M］. 姜文閔，譯. 北京：人民教育出版社，2005.

［2］? 朱智賢，林崇德. 思維發展心理學［M］. 北京：北京師范大學出版社，2002.

基金項目：南通市教育科學“十三五”規劃專項課題“基于實例提升高中數學教師本原思維素養的實踐研究”（FZ2020012），主持人為成倩文.

作者簡介：成倩文（1989—），本科學歷，中學二級教師，從事高中數學教學工作.