二次函數背景下面積最值問題的解題方法與課堂教學設計

程冬蕊

【摘要】本文分別從不同的角度介紹二次函數背景下面積最大值的求解思路，其中切線法，靠軸三角形的運用使得解題技巧獨到精巧，綜合對比求解思路的基礎上，給出在課堂教學中進行變式訓練的教學設計，創設問題情境，用系列課題組引導學生學會解題，對教學也有啟發意義.

【關鍵詞】最值問題；割補法；切線法

1典型例題及解法

例題已知拋物線y=－x2－2x+3交x軸于點A（-3，0）和點B（1，0），交y軸于點C，點P是直線AC上方的拋物線上的動點，試求△ACP面積的最大值.

思路一如圖2，由點P向x軸作垂線PD，垂足為D.

S△PAC=S△PDA+S梯形ODPC－S△AOC

=12PD·AD+12（PD+OC）·OD-12OA·OC

=12PD×（AD+OD）12OC×（OA-OD）

=12PD·OA-12AD·OC.

思路二 如圖3，由點P向x軸作垂線PD，垂足為D.并連接CD，作CE⊥PD，垂足為E.

S△PAC=S△PDA+S△DPC－S△ADC

=12PD·AD+12PD·CE-12AD·OC

=12PD·OA-12AD·OC.

思路三如圖4，由點P向x軸作垂線PD，垂足為D.由點P向y軸作垂線PE，垂足為E.再連接OP.

S△PAC=S△POA+S△OPC－S△AOC

=12PD·OA+12OC·PE-12OA·OC

=12PD·OA－12（OA－PE）·OC

=12PD·OA-12AD·OC.

思路四如圖5，由點P向x軸作垂線PD，垂足為D.PD、AC相交于點F，再作PD的垂線CE.

S△PAC=S△PFA+S△PFC

=12PF·AD+12PF·CE

=12PF·AD+CE

=12PF·OA.

思路四詳細解答過程：

如圖5，由點P向x軸作垂線PD，垂足為D.

PD、AC相交于點F，再作PD的垂線CE.

設D點坐標為（t，0），其中-3<t<0，

則點P坐標為t，－t2－2t+3

S△PAC=S△PFA+S△PFC

=12PF·AD+12PF·CE

=12PF·AD+CE

=12PF·OA.

因為C（0，3），

所以設直線AC解析式為y=kx+3，

因為A（-3，0）在直線AC上，

所以-3k+3=0，

所以k=1，

所以直線AC解析式為y=x+3，

所以F（t，t+3），

所以PF=xP－xF=（－t2－2t+3）-（t+3）=－t2－3t，

所以S△PAC=12PF·OA

=12（－t2－3t）×3

=-32（t2+3t）

=-32（t+32）2+278，

所以S△PAC的最大值為278.

思路五設直線AC解析式為 y = kx +3，

因為 A （-3，0）在直線 AC 上，

所以-3k +3=0，k =1，

所以直線AC解析式為y = x +3.

如圖6，過P作一條平行于 AC的直線 y = x + m ，交y軸于Q，

由y=x+m

y=－x2－2x+3，

得x2+3x+m－3=0

當兩條直線間距離達到最大值時，S△ACP 最大，此時直線與拋物線相切，

Δ=32－4m－3=0，

解得m=214.

連接 AQ ，

因為 PQ∥AC，

所以S△PAC=S△QAC=CQ×OA2

=214－3×3×12=278.

2解題反思

我們從不規則三角形向可求面積的規則圖形轉化的過程是主要解題方法，割補思路可謂精妙，但基本是都是著眼于靜態圖形的面積的轉化，而忽略了動點運動變化的本質，僅從數的角度給出證明，用二次函數最大值的配方法和公式法格式化求解，不能算是最完美的解題思路，運動變化的本質就是點在曲邊圖形的一條邊上運動，必然影響到豎直方向的鉛垂高度，面積表達式的建立，必然依賴于割補法，即使水平方向截距不變，只要鉛垂高有最值，△ACP的面積就必然有最值，而這一鉛垂高度是由兩點的縱坐標之差決定的，這樣就有了整體的解題思路，割與補的方法多樣性是這一類題目解法多樣性的根本原因.

思路四就是傳說中的“鉛垂高乘以水平寬除以2”的解法表達式，雖然表示簡單也算精妙，但計算量不亞于前三個，因為必須先求F這個點的坐標和用待定系數法確定AC的解析式，為了展現此題解題過程的完整性，展現數學運算之美.

思路五直接將動點P與直線AC間的距離當做三角形的高，由于動點P在曲線線段AC上運動，所以點P到AC的距離會發生改變，直接運用面積公式S△ACP=AC×PG2，PG越大，面積就越大，PG取什么值時候面積最大呢？就是當它運動到直線PQ與拋物線相切的切點處時，怎樣刻畫直線相切？又轉到構建方程組，并轉化為一元二次方程根的判別式的應用問題上，“相切”等價于“Δ=0”，用轉化思想及判別式法巧求m這一解題過程顯然高大上，拋棄經典解法割補法運用了非常巧妙的切線法，最后得出m的值的方法更是巧妙至極，直接將三角形等積化，用和它的面積相等的△ACQ代替，它是可求面積的靠軸三角形，兩條平行線間同底等高三角形的一個等量代換代替了復雜的配方和公式法，學生看到此，會感到出乎意料，創新意味爆棚！

3課堂教學設計

我們從動點運動軌跡來看，點P的縱坐標的絕對值就是它到x軸的距離，因此我們便有了下面的教學建議，在解題中發現題目的多個考察點，發現多種解法.教學中卻常常困住學生，限制學生思維，沒有架設好上樹的梯子又怎能摘到香甜可口的果子？讓學生生搬硬套，直接給他一個公式“鉛錘高乘水平寬除以2”了事？學生莫名其妙，課堂效果怎么好？為了讓孩子自己摘到果子，我們就應該設計恰當的問題串.

問題1如圖2，過點P作PD垂直于x軸，垂足為D，線段PD的長度是否有變化？什么時候PD的值最大？PD的值和二次函數y=-x2-2x+3的最值有何關系？（設計思路：點P到x軸的距離就是二次函數最值，通過這一簡單問題滲透數形結合思想.垂線段PD的長度就是最值的幾何直觀，讓學生深刻理解二次函數最值的幾何意義）

問題2如圖2，你能求出拋物線與x軸交點坐標嗎？連接PA，PB，你能求出△PAB面積最大值嗎？（設計思路：讓學生知道△PAB面積最大值受高PD最值的直接影響，它是前面一個問題的直接運用并為割補法做鋪墊）

問題3? 如圖2，你能求出直線AC的解析式嗎？若在直線AC上存在一個動點E，作EF垂直于x軸，垂足為F，垂線段EF的長度如何表示？它與直線AC的解析式有何關系？（設計思路：掌握EF的長度與動點E的坐標的關系，發現垂線段EF長度的本質就是E的縱坐標這一變量.）

問題4如圖2，如果E是PD與AC的交點線段，PE將如何表示？你能求得最值嗎？（設計思路：引導用點P和點E兩點縱坐標之差來表達兩點間的距離.）

問題5? 如圖5，在此基礎上連接PA，PC，得到△PAC，你想用什么方法表達△PAC的面積呢？你能用分割的方法來做這道題嗎？（設計思路：引導學生將△PAC轉化成△PAF與△PCF的面積之和.）

問題6你還有其他表示△PAC面積的割補方法嗎？請設計出用割補法表達△PAC面積的不同思路？（設計思路：引導學生尋求不同于第一分格方法的割補思路.）

問題7我們在以上的討論中使用了割補法，列出了△PAC面積的表達式，你認為其中最關鍵的一步是什么？哪一條線段特別重要？表示這條線段你用到了哪些知識？（設計思路：引導學生歸納割補法的本質，一步步地形成“鉛垂高”和“水平寬”的概念得出面積的簡單表達式.）

問題8? 如圖6，拋開以上思路，另辟新思路，我們由點P向AC作垂線段PG，PG和△PAC有什么關系？PG的長度是變化的嗎？它是怎樣變化的？它有最大值嗎？當點P運動到哪里時？會使PG的長度最大？（設計思路：引導學生分析得出PG越大，三角形面積就越大.）

問題9? 用幾何畫板設計動畫展示，追蹤點P移動到切點的過程，觀察面積最大時的點P的位置.然后再問學生，我們不用幾何畫板，用什么好辦法直接找到這個點呢？緊接著飛入直線PQ，借助這條和AC平行的直線能確定點P嗎？（設計思路：當PQ向上平移的過程中，總會出現與拋物線相切的情況，引導學生去發現.）

問題10? 我們得到了能使三角形的高PG最大的點P，你將怎樣去求△PAC的最大值呢？（設計思路引導學生用判別式，判別式法求m的值.）

問題11如圖6，連接AQ ，△APC 和△AQC是夾在兩條平行線之間的兩個三角形，這兩個三角形的底和高分別有什么關系？它們的面積相等嗎？為什么？（設計思路：引導學生用△AQC的面積來代替△APC的面積去求△PAC面積的最值.）

通過以上問題串的設計，引導學生去發現兩類解法的思路，體現解題策略的生成過程，以割補法為鋪墊，多種割補法發散性地訓練學生的發散思維抽象歸納為一個完整的鉛錘高乘以水平寬的過程，這正是新課標所要求的.

參考文獻：

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