高中數學教學過程最優化的實踐探究

摘 要：教師在開展課堂教學時，除了要注重教學效果，還應當重視教學過程。數學教學過程的最優化，就是從投入與產出兩個角度出發，讓教師以盡可能少的時間、精力投入，獲取盡可能好的教學效果。由于數學在高考中所占的比重較大，而且教材容量較大，難度較高，因此數學課堂教學尤其要重視最優化，以減輕教師和學生的負擔。文章以“雙曲線及其標準方程”教學設計為例，論述制訂符合學生發展規劃的教學方案的必要性，并分析如何在較短的教學時間內達到最優的教學效果。

關鍵詞：高中數學；教學過程；教學設計

作者簡介：薛晶晶（1982—），女，江蘇省泰州市第二中學。

在實際教學中，教師若想要達到事半功倍的教學效果，在精力支出及時間成本方面，教師制訂的教學方案既要符合整體規劃，又要符合學生的實際學情，避免學生過度疲勞；在教學質量及效果方面，教師的教學內容以及結構應當與新課改要求相符合。此外，教師在教學中還要積極調動學生的主觀能動性，全面提高學生的思維能力及知識水平。

如何實現教學過程的最優化？下面筆者結合自身的高中數學教學經驗，以“雙曲線及其標準方程”這一節校級公開課的教學設計為例，對實現高中數學教學過程的最優化進行一系列的思考與總結。

一、設計準備

以“雙曲線及其標準方程”的教學設計為例，教師可以做以下準備。

（一）對教材進行分析

“雙曲線及其標準方程”是蘇教版高中數學選擇性必修第一冊第三章第二節的內容，雙曲線是解析幾何中的重要部分，該節的教學目標是讓學生鞏固解析幾何知識，對解析幾何有進一步的認識，從而構建高質量的解析幾何思維［1］。由于學生是先學習橢圓再學習雙曲線的，因此教師可通過類比橢圓部分的內容，降低學習的難度，便于學生理解。本節內容分兩個課時講授，文章介紹的是第一課時。本節課的主要內容：（1）探求雙曲線軌跡的生成過程；（2）了解雙曲線的定義；（3）推導雙曲線的標準方程并能簡單應用。

（二）確定學科核心素養

首先，引導學生了解雙曲線的定義，類比橢圓標準方程的推導方法，讓學生根據相應的條件推導出雙曲線標準方程，培養學生的邏輯推理素養。其次，引導學生掌握求曲線方程的一般步驟以及由已知幾何圖形建立直角坐標系的基本原則，提升學生分析問題、解決問題的能力。最后，在指導學生解決雙曲線方程問題的過程中，培養學生的數學運算和數學建模思維。

（三）確定教學重難點，建構教學整體思路

教學重點：雙曲線的定義、標準方程及其簡單應用。教學難點：雙曲線定義中的絕對值及2a＜2c的理解。教學整體思路：借助多媒體課件及GeoGebra數學軟件動態演示，以問題鏈的形式貫穿課堂，學生分小組探討，師生共同協作。

二、過程安排

（一）復習回顧

問題1：前面我們研究了橢圓，已經學習了哪些內容？（定義、方程、性質。）

問題2：什么是橢圓？（應留意的幾個關鍵點。）

問題3：橢圓的方程是如何推導的？［第一步，利用對稱性建立直角坐標系，標記F1，F2的坐標，設動點坐標為（x，y）；第二步，將坐標代入定義關系式（坐標化處理）；第三步，化簡，移項，兩邊平方去根號；第四步，整理成最簡形式，得軌跡方程；第五步，檢驗滿足方程的解是否都在曲線上（有時可以省略這一步）。］

教師通過指導學生回顧及分析橢圓的相關知識，類比橢圓標準方程思想及方法，對于后續雙曲線的學習有積極的意義。

（二）引入新課

探求軌跡問題，以問題鏈的形式展開，并借助多媒體課件和GeoGebra數學軟件，層層遞進完成新課的引入。學生經歷知識點的生成過程，體會推導過程，能加深對概念和公式的理解和記憶，以實現教學過程的最優化。

問題1：取一條拉鏈打開，一側固定在F1點，另一側將一點（FF2長為2a）固定在F2處，記拉鏈頭對應的點為P（如圖1），此時PF1與PF2滿足什么關系？（PF1-PF2=2a。）

問題2：拉動拉鏈頭，在拉鏈齒咬合的過程中，PF1與PF2長度有怎樣的改變？它們之間的差會改變嗎？（GeoGebra數學軟件演示。）

問題3：觀察P點的生成軌跡，僅得到雙曲線的一支，如何得到另一支？（交換兩側固定點的位置即可，如圖2。）

問題4：仿照橢圓的定義，是否能給出雙曲線的定義？［PF1-PF2=2a或|PF1-PF2|=2a且2a

問題5：能否去掉“常數小于兩定點間距離”這個條件？（教師使用GeoGebra軟件演示，學生不難發現，若2a=2c，P點只能在線段F1F2的延長線上或其反向延長線上運動；若2a>2c，則不生成任何軌跡。）

問題6：類比橢圓的標準方程的推導過程，能否嘗試推導雙曲線的標準方程？（考慮到本節課的時長，建坐標系和設點的過程均可由師生合作完成，學生主要關注方程式的化簡和兩個根號的去法。教師可以將推導過程投影到屏幕上，讓學生了解推導的步驟及結果。無理方程的化簡是教學的難點，教師要讓學生理解無理方程的兩次移項、平方、整理等過程。最終得到結論：焦點在x軸上的雙曲線標準方程為-=1，其中b2=c2-a2。）

問題7：焦點是否會落在y軸上？能否給出其標準方程？（用運動的觀點分析問題，類比橢圓，我們不難發現，將焦點在x軸上的雙曲線繞原點逆時針旋轉90度，焦點即落在y軸上，此時兩個圖象關于直線y=x對稱。所以，交換x與y的位置，得焦點在y軸上的雙曲線方程為-=1，其中b2=c2-a2。）

問題8：對比上面的兩種方程，你有什么樣的發現？（嘗試通過表格的形式引導學生從方程及其圖象、焦點坐標、變量前面系數的正負進行對比，生成結論。為強化學生的認知，教師應及時布置隨堂練習。）

（三）例題講解

由于本節課是雙曲線部分的第一節新授課，側重點在知識的生成，所以例題較少，主要為了強化學生對本節課內容的認知。

例：求c=5，且經過點（3，4），焦點在x軸上的雙曲線的標準方程。

變式：去掉“焦點在x軸上”這個條件。

選取這道例題的目的是強化學生對雙曲線的標準方程的記憶，讓學生能從數和形兩個方向入手解決問題。從代數層面入手，用待定系數法先設方程，然后聯立方程組。此過程中，教師應再次提醒學生注意a，b，c之間的關系，即a2=b2-c2。由于此方程組包含分式方程，因此教師必須板書其化簡過程。

從幾何層面入手，引導學生先作圖分析，發現由c可以先標記出焦點坐標，將點（3，4）記為P，由雙曲線的定義可以直接求出2a，此方法顯然更為簡便。變式由學生獨立完成，當焦點位置不確定時，教師應引導學生注意思維的完備性，分類討論完成此題，使學生養成“焦點位置優先考察”這一規范的解題習慣。

（四）課堂小結

課堂最后，教師小結本節課的內容，同時預留問題，讓學生在課后從定義、變量之間的關系、方程三個方面，把本節課所學的雙曲線與橢圓進行對比和分析，有效強化對本節課的知識點的認識，同時鞏固橢圓部分的知識，從而達到更好的教學效果。

哲學家雅斯貝爾斯曾提出：“教學不能簡化為固定的形式。”部分教師選擇用固化的教學模式，但這些“流程式”的教學并不適用于每一節課，也不適用于不同基礎的學生。所以，教師需要有針對性地為不同層次的學生優化每一節課的教學內容。雙曲線部分在以往高考中的要求并不高，一般為基礎題，內容以漸近線方程為主。自2021年江蘇高考采用新高考Ⅰ卷以后，2021年和2022年高考的雙曲線部分以解答題的形式出現。2021年高考雙曲線的解答題第一問考查雙曲線的定義和方程，令人可惜的是，有的學生由于對定義的掌握不足，因此沒有拿到全部分數。所以，針對新授課和定義引入的第一節課，筆者認為還是得放慢節奏，讓學生經歷認識概念、理解概念、領會概念的過程。此外，教師在實際教學過程當中，應當分析在課堂上可能出現的各種問題，使教學擁有充足的時間和空間，使教學設計的內容更加自由，為提高學生的創新能力創造基礎條件，全面發揮教學的互動性及靈動性。同時，在教學過程中，教師應充分調動學生的數學學習熱情，全面提升數學教學質量。

筆者認為，探究教學過程的最優化，能引發教師對自身教學的思考，更好地促進數學課堂教學的多樣化。教師在備課時，不僅要走進教材，還要從教材中走出來，基于教材，但不局限于教材，不盲從任何固定單一的教學模式。數學教師應該將課堂教學與學生的學習實際相結合，因材施教，尋找兩者之間的連接點，突破教學過程的“習慣性操作”與“固有模式”。在實際教學中，教師應當根據本班學生當前的知識水平進行充分分析，以此開展教學活動，保障教學過程循序漸進以及符合因材施教的策略，讓每一個學生融入其中［2］。教師若能根據各班級的實際情況，使用多媒體、GeoGebra數學軟件等工具，無疑能更好地加強師生之間的互動，提升教學效果，展現最優化的數學課堂。

三、策略分析

（一）教材分析最優化

一名成熟的數學教師，應對數學教材的內容、考點分布、每學期的教學任務爛熟于心。如何合理地使用教材，并根據高考的要求結合教材進行適當拓展，是每一個數學教師都需要反復思考的問題。對于教材知識的研究，教師需要真正做到深入淺出，幫助學生更好地理解和消化教材的內容。

（二）教學目標最優化

新課改背景下的高中數學教學目標應當包含三部分：數學知識與技能、過程與方法、數學學習情感態度與價值觀。高中數學教師應當認識每個單元的教學要求和每個課時的特點，使教學更具針對性。由于教學目標具有導向作用，是教學內容的起點，也是教學過程的終點，因此，通過教學目標的達成情況，教師可以判斷教學是否成功，是否符合相應的標準。

（三）師生互動最優化

不管采用何種教學方式，數學教師都需要有敏銳的洞察力，在充分了解學生對基礎知識的掌握程度、思維能力和思維習慣的基礎上，設置循序漸進的活動環節，兼顧學生實際學習情況和不同的發展需求，提高每一個學生的參與度和學習的積極性。

（四）重難點把握最優化

發現知識的生長點和關聯點，是突出重難點的前提。教師要根據學生的實際認知能力，充分分析學生的知識掌握情況，有針對性地準備教學內容。在實際的教學中，教師要明確不同學生的認知結構，在學生的最近發展區內開展教學，從而為后續的教學打好基礎。

（五）教學工具最優化

借助多媒體演示課件教學，既能減少教師課堂講授的時間和板書時間，又能更為直觀地講授某一數學知識點，有效吸引學生的注意力［3］。用幾何畫板或GeoGebra作圖軟件動態數學，不僅能精準地作出平面圖形和立體圖形，還能進行動圖演示，生成運動軌跡，將抽象的數學問題直觀化，更利于學生進行知識的探究。

（六）教學反饋最優化

教學反饋分為兩個方面：學生的反饋和教師的反饋。要想讓學生的反饋達到教師的預期要求，關鍵是教師在課堂教學中的各個環節的設置達到最優化。教師的反饋，可以理解為教師對每節課所教內容的理解與反思，以及教師上完每一節課之后的自我評價與反思。教師對每一個知識點的思考和理解，都有助于教師日后在課堂上更易于被學生接受。

結語

綜上所述，高中數學課堂教學最優化是一個可持續發展的過程，教師應在不斷提升自身素質的同時，拓寬教學視野，時刻關注教育改革的方向，關注教學過程中的各個環節，以生為本，呈現更多精彩而高效的數學課堂。

［參考文獻］

錢江.優化高中數學教學過程 促進高中學生思維發展［J］.數學教學通訊，2022（18）：73-74.

吳飛飛.問題提出策略在高中數學教學中的應用實踐探究［J］.數理化解題研究，2021（21）：4-5.

馬延軍.基于核心素養的高中數學優效課堂的基本特征［J］.高考，2020（6）：7.