數學探究引導課的教學設計

唐忠杰,王凱

摘 要：通過觀察學生的課堂參與度、討論質量及解題過程中的思維活動，對學生的學習情況進行評估.引導學生嘗試使用向量法研究其他幾何問題，如平行四邊形、正方形等的性質.鼓勵學生主動查詢相關學科知識，了解三角形性質在實際生活中的應用.

關鍵詞：向量法；三角形；教學設計

1 問題緣起

2019人教A版教材在必修第二冊第六章《平面向量及其應用》結束后，安排了3課時的數學探究活動《用向量法研究三角形的性質》.這個數學探究活動與必修一第四章《指數函數與對數函數》結束后的數學建模有所區別.數學探究活動是運用數學知識解決數學問題的一類綜合活動，而數學建模則是基于數學思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動，即數學探究活動是解決數學內部的問題，數學建?；顒邮怯脭祵W解決實際問題，也可以認為是數學外部的問題.

2017版《普通高中數學課程標準》對數學探究活動的定位是：圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究、合作探究并最終解決問題的過程.數學探究活動具體表現為：發現和提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數學結論.［1］所以這個探究活動既不是向量學完之后的復習課，也不是數學建模課，更不是習題課，它是重在研究、貴在探究的新課，意圖讓學生用平面向量學習過程中獲得的方法和工具來研究三角形的性質，讓數學理論走向數學應用，即把初中需要用邏輯推理證明的幾何用向量工具來運算，進而讓學生獲得研究幾何的一個范式，積累“研究一個幾何對象”的活動經驗，讓學生在數學探究的過程中“學會學習”，讓學習能真正地“生長”.

整個數學探究活動應該分為三個部分：第一部分是數學探究引導課，即教師引路，學生探路，為學生研究給出一個范式；第二部分是數學探究實踐環節，即學生探究，教師協助，學生根據教師給出的研究策略和方向進行自主和合作探究；第三部分是數學探究成果展示環節，即學生匯報，教師小結，這個環節不僅讓學生梳理了實踐環節的成果、思考和反思，也鍛煉了學生的表達能力，培養了其學術研究的能力.

俗話說：良好的開端是成功的一半，所以如何上好引導課是高質量完成數學探究的關鍵.本文以筆者的課堂實踐來談一下如何對數學探究引導課進行教學設計.

2 教學方法的選擇

如何讓學生用自己已有的知識和方法去引領其思考？這是本節課的重點.筆者從回顧知識、梳理方法，到同構問題，疑難解決，到最后的放手探究，讓學生經歷一個數學探究的過程，感知用平面向量研究幾何問題的范式，體會向量的代數運算相比于平面幾何的邏輯推理的優勢.筆者將數學思維的發生和發展過程充分地暴露在學生面前，吸引學生積極參與知識的再創造和發展的過程［2］.

3 課堂實錄

3.1 回顧知識、梳理方法

師：同學們，我們在第六章系統地學習了平面向量，它是代數和幾何的一個完美結合，今天我們嘗試用其研究平面幾何問題，如余弦定理、正弦定理（投出圖1），又或是三角形中位線的性質和平行四邊形兩條對角線和四邊的關系（投出圖2）.

【設計意圖】帶領學生回顧這些重要結論和習題解決的過程，不僅復習了向量的基本知識（余弦定理：三角形回路；正弦定理：數量積運算；例1：向量的數形二重性；例2：a2=|a|2的應用，即向量長度的刻畫），更重要的是和學生一起回顧用向量方法解決平面幾何問題的一般步驟（三步曲）：問題的向量表示→選擇合適的向量運算→結果譯回幾何.目的是讓學生從原有的知識結構入手，著眼于學生的最近發展區，這是學生數學知識發生發展的起點，更是數學思維的發生和發展的起點.

3.2 同構問題、牛刀小試

引問：直角三角形的三邊存在怎么樣的關系？同學們是否還記得初中我們是如何證明這個結論的？

義務教育教科書數學八年級上冊（浙江教育出版社）對勾股定理的證明采用的是圖形重構法，有學生還知道可以利用趙爽弦圖證明和美國第二十任總統加菲爾德的“總統”證法（每種方法都投影給學生看一下）.但對于勾股定理的幾何證明，無論是哪種方法，都需要變換圖形技巧，這是學生在解決問題時難以想到的.

問題：那么你是否可以用平面向量的相關知識和運算來證明勾股定理？

針對這個問題，學生主要會使用以下三個策略來證明.

策略一：如圖3，在△ABC中，∠C=π2，利用三角形回路AB=AC+CB，兩邊平方得AB2=AC2+BC2+2AC·CB，因為∠C=π2，所以AC·CB=0，那么有AB2=AC2+BC2，即AB2=BC2+AC2.

策略二：利用三角形回路AC=AB+BC，兩邊同時乘BC，由數量積的運算可得AB·BC=-BC2，然后同策略一兩邊平方可得AC2=AB2-BC2，也可以獲得最終結論.

策略三：由AB=CB-CA（即余弦定理推導過程中的結構和方法）出發得到AB2=BC2+AC2.

【設計意圖】帶領學生解決這個問題的目的是讓學生在回顧梳理的基礎上實踐操作，鼓勵學生用不同的方式來處理問題（可以直接從圖中的向量回路出發，也可以從現有的結論出發）不僅使學生對之前回顧的三步曲有了更好的體會，也感受到了勾股定理的向量法要優于幾何法的證明.讓學生有了用向量法“研究一個幾何對象”的體驗，初步感受用向量程序化研究幾何，具備“算”幾何的意識.

3.3 疑難解決、嘗試說理

師：在初二，我們曾經學過三角形的中線，知道“三角形的三條中線相交于一點，這個交點叫作三角形的重心”.那我們是否嚴格證明過三條中線交于一點？我們今天能否從向量的角度來證明這個結論？

師：如何說明三角形三條中線交于一點？

生：如圖4，假定兩條中線一定交于一點（比如BE和CF交于點G），接下來我們去證明AD經過點G.

師：那么如何說明A，G，D三點共線？

生：嘗試得到AG=λAD，即向量共線來說明.

師：非常好，請大家嘗試證明你們的想法.

【設計意圖】以問題鏈的方式帶領學生思考，培養其“學會學習”意識，為其實現“生長”學習奠定基礎.這個階段一定要給學生充分的時間去實踐.如果學生選定AB和AC作為基底的話，可以得到AG=13AB+13AC（學生有兩種方式得到該結論：第一是算兩次，用系數相等；第二是利用共線結論（6.3.1《平面向量基本定理》例1）），AD=12AB+12AC.

師：大家得到了什么結論？

生：AG=23AD.

師：翻譯回幾何的結果是什么？

生：向量AG和AD共線，且共點于A，所以A，G，D三點共線；|AG|=23|AD|，這說明G是AD上靠近點D的一個三等分點，這也是我們初中已經知道的一個結論.

【設計意圖】把得到的向量結果回譯到幾何問題，不僅從理論上解決了初中遺留的問題，也再一次讓學生感受到了向量法在說理過程中的優勢，感受到了“有了運算，向量的力量無限”（這里用了向量的線性運算，之前的勾股定理用的是線性運算和數量積運算）［3］.我們此時已經為學生打開了一個研究幾何對象的窗口，接下來就要給他們更多自由發揮的空間.

3.4 范例拓展、探究起步

師：剛才我們用向量法證明初中的兩個結論，本質就是將傳統幾何邏輯演繹系統下的幾何證明變成了基于向量運算系統下的幾何運算（不僅可以獲得位置關系，還可以得到數量關系），而且不需要太多的變換技巧，更容易發現和證明一些優美的結論.關于重心，大家能否用我們已有的運算嘗試得到一些新的結果，最好能嘗試解釋一下其幾何意義.

【設計意圖】這個環節可以讓學生以小組的形式進行，教師一定要鼓勵學生嘗試用向量運算來獲取新結果，鼓勵其嘗試解釋獲得結果的幾何意義（有些結果可能并不太好解釋），這個過程重在讓學生去用向量“玩”（研究）數學、讓探究的火種在其內心點燃.

學生可能得到的結果：

① GA+GB+GC=0;

② GD+GE+GF=0;

③ 若點P為平面在△ABC內任意一點，則PA+PB+PC=3PG;

④ 若點P為平面在△ABC內任意一點，則PD+PE+PF=3PG;

⑤ 若點P為平面在△ABC內任意一點，則PA+PB+PC=PD+PE+PF;

⑥ AB2+AC2+BC2AD2+BE2+CF2=43；

⑦ 若點P為平面在△ABC內任意一點，當點P在重心G時，PA2+PB2+PC2取到最小值;

⑧若點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則重心Gx1+x2+x33，y1+y2+y33.

3.5 歸納成果、制定方案

對于不同的個人和小組，上面的結論獲得程度可以會有比較大的差異，但我們希望學生通過上面的教學環節，讓學生有研究問題的“術”、有探究問題的“渴望”.教師給出《用向量法研究三角形性質》研究報告的參考形式（表1）.

表1

1. 本課題組的成員姓名.

2. 發現的數學結論及發現過程概述.

三角形三條中線交于一點.

從嚴謹性角度看，第三條中線是否經過前兩條中線的交點有待證明.

3. 證明思路及其形成過程描述.

利用向量的基底思想，借助向量共線證明三點共線.

4. 結論的證明或否定.

5. 用向量方法探索幾何圖形性質的一般步驟.

問題的向量表示→選擇合適的向量運算→結果譯回幾何.

6. 收獲與體會.

【設計意圖】教師引路，讓學生用平面向量學習過程中獲得的方法和工具來研究平面幾何的三角形，讓數學理論走向數學應用.學生探路，重在研究、貴在探究，獲得程序化研究幾何的一個方法，積累“研究一個幾何對象”的活動經驗，也為其接下來小組研究奠定了基礎，讓學習“生長”.

4 課后反思

數學探究課是為了探究一個具體的、具有一定綜合性、復雜性的數學問題，這與數學建模活動的內容（解決一個現實問題）是不一樣的.作為引導課，筆者試圖通過學生已有的知識和方法，引導他們學習如何“學以致用”，培養“思考”力，最終讓“學會學習”這一目標得以實現.這也是《普通高中數學課程標準》刻意強調的，是數學課堂改革的一個方向.

本節課的教學活動主要是運用向量知識解釋一些疑難問題，發現、提出數學問題并解決問題.要注意的是，這里的活動不同于常規地解答一個習題，是具有一定的數學研究味道的創新性綜合實踐活動.本節引導課在對經典問題（勾股定理）重現和疑難問題（三條中線交于一點）證明的基礎上，進行了開放式的教學，對學生分析問題、解決問題的能力進行了培養，有助于提升學生的數學核心素養.

所以數學探究引導課首先要低起點，即落腳點是基本的知識和方法；重思維，即重視如何打開學生的思維，鼓勵學生發散思維；有突破，即要鼓勵學生突破自己的思維定勢，探索屬于自己的結論.教學探究引導課作為當今課堂教學的一種新課型，必須在新課程實施過程中給予高度重視.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 王凱，蘇有生.基于“兩個過程”合理性思考下的課堂教學設計——以“空間向量的正交分解及其坐標表示”為例［J］.中學數學教學參考，2018（6）：38-40.

［3］ 中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書數學必修第二冊［M］.北京：人民教育出版社，2020.