運用構造法解決高中數學試題

摘 要：高中數學試題具有復雜性和抽象性，學生不易找到解決的方法，這就要求教師既要注重培養學生善于觀察試題的能力，也要注重培養學生的思維能力，依據試題的特點構造出典型的模型，從而有效地解決試題.構造法的運用，既有助于啟發學生的創新思維，又有助于培養學生的數學思想意識，教師需引導學生嘗試運用構造法解決復雜數學問題，靈活地構造出已知模型，順利解決高中數學問題.文章將以具體的試題為例，闡述構造法的具體運用，旨在幫助學生學會運用構造法解題的技巧.

關鍵詞：高中數學；構造法；解題策略

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）21-0005-03

收稿日期：2023-04-25

作者簡介：劉明花（1978.11-），女，甘肅省慶陽環縣人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

數學知識通常具有較強的抽象性與復雜性，尤其是綜合性試題，常常會使學生陷入解題困境.當正向的解題思路不能迅速求解出數學問題時，就需靈活運用逆向思維，通過構造法分析問題，挖掘數學試題中的顯性與隱性信息，迅速地找出問題求解時必備的解題條件，構造成已知的數學模型，簡化試題的求解過程，高效解決問題，提高學生的解題能力.

1 構造法概念及其作用

1.1 構造法的概念

構造法主要是指依據數學題中已知條件與所求結論之間的關系、特征和性質，運用新的角度去分析和觀察研究對象，以反映問題條件與結論之間的內在聯系為主線，靈活地運用問題的坐標、數據和外形等方面的特征，通過試題中給出的已知條件，運用已有的數學關系式或是理論工具構造成滿足試題條件或結論的數學對象，這樣就能夠通過構造新對象的方法將試題中的隱含條件和關系展現出來，并通過新構造的對象高效、簡便地解決復雜的數學問題.對于構造法而言，其主要的優勢就是幫助學生更加簡潔地分析數學試題，迅速構建具體解題思路，以促使學生迅速、有效地解決相關數學試題［1］.

1.2 構造法在解決高中數學試題中的作用

構造法主要是依據題設條件或者是結論之間所具備的性質、特征，構造與條件或者結論相符的數學模型或對象，并通過構造新的數學模型或對象有效地解決數學問題.將構造法運用于解高中數學試題中，通常有著重要作用，具體表現為：

第一，有利于提高學生的解題能力.構造法是解決復雜數學試題的一種重要方法，學生只有掌握了構造法在試題問題解決中的運用技巧，才能實現學生解題能力的提升.

第二，有利于提高學生的思維能力.數學學科通常對學生的思維能力有著較高的要求，學生在學習數學知識時，不僅需掌握數學的概念、公式，而且還需具備思維意識.而構造法的應用，就能使學生形成主動探索的創新思維，通過類比、歸納、轉化等數學思想，實現數學模型或對象的構造，實現高效解題的目的.

第三，有利于提高學生的聯想能力.在解決高中數學試題中運用構造法的前提就是學生要具備一定的聯想能力，通過試題中圖形或數量的特征展開聯想，引入相應的數學模型或對象，從而運用已有的方法和經驗解決問題.因此，數學解題的教學中，教師需引導學生積極聯想，從問題的結構和特征聯想到類似的已知問題，構造一個類似的簡單問題進行分析和研究，從而使學生形成相應創新能力［2］.

第四，有利于提高學生命題轉化的能力.高中階段的數學學科有許多的知識點，大多數學生在實際學習中，容易忽視各個知識點之間的關聯，導致其掌握的數學知識缺乏關聯性與完整性.

2 構造法運用于高中數學的教學策略

2.1 培養學生的構造理念

構造法的運用，通常能夠提高學生的解題正確率與效率.高中數學的題量、難度都比較大，想要使學生能夠主動地掌握數學知識，激發學生的解題積極性，教師需引導學生嘗試在數學問題中運用構造法進行分析和解決，以幫助學生更好地掌握構造法的解題技巧，并為后期的練習奠定基礎，形成應用構造法解題的意識，能夠運用特殊情形構造、聯想構造、命題轉化、間接構造等方法分析和解決問題，使學生充分理解構造法的同時，實現高效解題.因此，在數學教學中，教師需以具體的問題為載體，積極地滲透構造的思想與方法，以此使學生有效了解到運用構造法進行數學試題解答的優勢，突破常規的解題模式，簡化解題步驟，提高解題能力.

2.2 培養學生的發散思維

以往，教師常常依據常規的方法引導學生對問題實施分析和解決，而學生依據教師的方法和步驟開展解題活動，導致思維活躍度不高.對此，數學教師在課堂教學當中，要引導學生從不同的角度和層面進行問題的分析，嘗試運用不同的方法構造已知條件與結論之間的內在聯系，開闊學生的解題思路，發散學生的思維，提高學生解決數學問題的能力.由此可知，想要使學生運用構造法有效解決數學試題，學生自身的思維培養也是極其重要的.

2.3 與多種解題法結合

就構造法來說，因為其能夠幫助學生迅速找出解題思路，實現解題效率與正確率有效提高而被廣泛運用.但是，構造法并不能適用于所有的數學試題.因此，學生在進行數學題解答時，只有依據試題的特征熟練應用各種解題方法，才能實現高效解題.例如，函數問題是高中數學較為常見的試題，在實施解題的時候，可通過函數的極值思想進行解題，此時，構造法就不再適用，又或者學生通過兩邊平方進行方程題解決時，構造法的運用也是不合適的.對此，構造法的運用目的主要是幫助學生形成一定的聯想與關聯能力，讓學生通過教師所講解的理論知識，盡量迅速地掌握更多的解題方法，這樣學生在具體解題時，才能夠充分了解到構造法具備的優勢與不足，并形成數學思維，能夠在具體問題中正確地運用構造法高效解題，提高學生的數學綜合水平.

3 運用構造法解決高中數學試題的策略

3.1 運用已知條件構造函數

構造法在數學解題中的運用，主要是引導學生依據數學試題已知條件與結論之間具備的特性進行分析，構造能夠直觀體現試題條件與結論內在聯系的數學對象或模型，從而有效解決問題.學生在解題的時候，不僅能形成清晰的思路，而且還能發現數學知識的本質規律，通過數學試題的已知條件，構造相關的函數內容，有效解決問題.例如，在“解不等式”的教學時，大多數學生在面對問題的時候，會通過傳統思維的方式解題，雖然這樣也能夠獲得答案，但是解題的整個過程較為復雜，運算量比較大，學生容易出現錯誤.因此，為了防止該類情況出現，數學教師就需引導學生通過構造法對“不等式”試題的條件和結論之間的特征實施分析，通過已知的條件進行函數構造，利用函數的單調性和圖形，對論證的過程實施深化.

例題1 已知x、y、z都位于區間（0，1）中，求證：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1.

分析 試題只給出了x、y、z的定義域，看似和求證內容并沒有太多聯系，學生沒有直接證明的思路.通過觀察試題的結論，發現其可以變形為（1-y-z）x+（y-yz+z-1）<0，因此可以嘗試構造關于x的函數f（x）=（1-y-z）x+（y-yz+z-1）.

3.2 運用等量關系構造方程式

在面對相對復雜、抽象的數學問題時，通常會出現多個因變量或自變量，這就需要學生充分掌握數學基本概念.數學教師以此作為基礎，指導學生依據變量的特征和數量關系進行方程式構造，不論是一元二次的方程式，還是二元二次的方程式，在具體解題中，都需將未知量的解決作為解題目的，在面對定量關系的時候，業可依據等量關系進行方程式的構造.

例題2 已知a>b>c，a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求a+b的取值范圍.

分析 試題中并沒有給出取值范圍，a，b，c之間也沒有明顯的區別，通過觀察，發現構造方程，利用方程的定義、系數之間的關系能夠建立起已知條件與結論之間的關系，有效地解答a+b的取值范圍.a+b+c=1可以變形為a+b=1-c；兩邊平方：（a+b）2=（1-c）2，代入a2+b2+c2=1得：ab=c2-c.因此，可以構造兩個實根為a、b的方程式：

x2+（c-1）x+c2-c=0.

3.3 運用題設特征構造數列

等差數列、等比數列是高中數學知識體系中的重要內容，數列有許多的性質，也是高考的必考內容.在對數列問題進行解決時，可通過構造法的運用，將不規則的數列轉化為規則的等比或等差數列，從而運用數列的概念和公式解決問題.在構造法的具體運用中，教師需指導學生進行題設特征分析，以聯想或等效替代的方式進行等差數列或等比數列的構造，明確數學問題的具體求解要點，化繁為簡，從而使學生實現高效解題.

例題3 已知在數列{an}中，a1=1，并且an+1=2an+1，求數列{an}的通項an.

分析 通過觀察，數列{an}中，前后兩項之間的關系既不符合等比數列的要求，也不符合等差數列的要求，{an}是一個特殊的數列，這就使得其通項an難以用等比數列或等差數列的性質求出.因此，通過觀察an+1=2an+1，進行變形an+1+1=2an+2，構造一個等比數列{an+1+1}，問題就迎刃而解.

3.4 運用數形結合思想構造圖像

高中數學教學中，數形結合思想是解決問題的有效方法，在一些不易直接求解的代數問題中，可以借助問題的條件構造圖像，將代數問題轉化為直觀的圖像，通過圖像直觀、準確地解決問題.

例題4 求函數f（x）=cosxsinx-2的值域.

分析 對函數f（x）=cosxsinx-2的值域進行求解的時候，如果按照傳統的課堂教學模式下，學生在復雜的計算過程中，不僅浪費了大量的時間，還容易出現錯誤，無法保證答案的正確性.據此，就可以引導學生運用sinx2+cosx2=1這一性質，將sinx、cosx看作是圓sinx2+cosx2=1上的一點，構造圖像（如圖1）（單位圓圖），則原問題就轉化為求圓上任意一點與（2，0）連線斜率的問題，借助圖像的觀察，對其值域進行正確求解.

綜上所述，構造法是解決復雜數學問題的有效方法.但是，即便學生已經熟練地掌握了構造法的內涵，在運用其解決具體的問題時仍然具有較大的難度.因此，教師需引導學生觀察復雜數學問題的特征，嘗試通過構造函數、方程式、數列等方法進行問題的解決，幫助學生掌握數學構造思想，提高學生的解題效率.

參考文獻：

［1］ 李逾洹.高中數學解題中“構造法”的應用［J］.新教育時代電子雜志（學生版），2017（19）：150.

［2］ 高慧明.割補法、構造法、特值法應用綜述：高中數學解題基本方法系列講座（9）［J］.廣東教育（高中版），2018（3）：20-22.

［責任編輯：李 璟］