數學建模在高中數學教學中的實踐探究

蔡志祥

摘 要：在高中數學教學中建模思維直接影響學生的數學學習能力以及未來發展，在實際數學教學過程中存在過分關注學生考試成績的現象，忽略了培養學生建模思維，導致學生在短時間內提升了考試成績，卻難以提升數學學習能力。因此，教師必須要探索多元化教學模式，引導學生主動開展獨立探索和分析，強化學生的數學思維。本文主要對數學建模思想在高中數學教學中的應用價值做簡要分析，并探討了數學建模在高中數學教學中的應用現狀，提出了幾點數學建模在高中數學教學中的應用措施。

關鍵詞：數學建模；高中數學；教學模式

【中圖分類號】G633.6? ? ? ? ? ?【文獻標識碼】A? ? ? ? ? ? ?【文章編號】2097-2539（2023）14-0114-04

數學是學生學習生涯中的主要科目，對初中數學而言，高中數學知識明顯提升，抽象類知識占比也明顯偏高。學生在學習過程中很難掌握課堂學習要點知識，也很難高效地完成知識點學習，甚至會影響學生的學習自信。因此，在高中數學教師應針對不同學生的學情合理安排課程教學內容，通過應用數學建模思想督促學生主動參與自主探索和學習。合理運用數學建模，不僅能夠提升教學效率，也能培養學生數學自信，充分發揮建模的作用，提升高中數學教學質量。

1.在高中數學教學中應用數學建模的現實意義

（1）培養學生邏輯思維

在高中數學教學中應用數學建模能夠有效提升課堂教學效率，通過應用數學建模思維，能夠幫助學生解決數學學習過程中遇到的復雜難題，使學生獨立完成數學探究活動，發展學生的創新意識。此外，數學建模本就具有極強的邏輯性，所以教師在引導學生運用數學建模思維解決數學問題時，也能夠提升推理能力和邏輯思維，進而幫助學生養成正確的學習習慣。

（2）提升學生創新思維

在傳統數學教學模式中，大部分學生往往被動接受教師所傳授的數學知識，學生很難積極參與到問題的解答中，甚至會逐步降低數學學習能力，限制學生綜合素養的提高。長此以往，不僅無法完成教材知識點的教學，還會導致學生產生厭學心理。而應用數學建模思維，教師要對學生進行全方位的分析和了解，深入把握學生實際學情與個性特征，合理選擇建模思想。只有立足學生學情才能實現數學建模思想的應用效果，使學生嘗試利用建模思想，解決難以理解的數學問題。

（3）提升學生數學學習能力

利用數學建模思維，能幫助學生梳理數學知識體系，以建模為切入點，使學生深入了解數學知識的應用價值，立足建模思維，幫助學生建立起數學知識體系，利用建模思維，嘗試解決原本難以理解的復雜知識，培養學生數學思維。

2.數學建模在高中數學教學中的應用現狀

在高中數學教學中應用數學建模普遍存在認知深度不足的問題，部分高中生依舊受高考的影響始終以高考作為學習的最終目的，如果在高考中并未對數學建模作出明確要求，那么學生將不會對數學建模案例給予重視。再加上部分高中生并未明確數學建模的含義以及應用步驟，也就導致學生對數學建模的認知能力不足。在數學教學過程中涉及的數學建模知識點相對較少，學生也并未表現出對數學建模的重視和興趣。在數學教學過程中存在應用化教學，將數學建模片面劃分為應用題類別，缺少對實際問題的深入剖析，也就導致學生很難實際應用數學建模解決數學問題。

3.數學建模在高中數學教學中的應用措施

（1）整合數學教學資源，滲透建模思維

在高中數學中，各個知識點之間有著十分密切的邏輯聯系。在課堂教學中教師不應割裂各個章節知識點之間的內在關系開展碎片化教學，而是引導學生主動整合各個數學知識形成完整的知識體系，幫助學生在整體觀的角度上形成建模思維，提升學生的建模能力。

第一，在高中數學教學中，教師可以利用思維導圖將原本碎片化的知識點聯系起來，利用思維導圖是學生更直觀清晰地了解數學知識點，幫助學生認識到各個數學知識點之間的邏輯關系，利用思維導圖，建立起完整的數學知識模型。整合數學知識的手段十分豐富，教師應立足于學生的實際學習能力以及課堂教學需求，合理選擇建模思維的應用方式，幫助學生順利解決數學難題。

例如，以等差數列和等比數列為例，教師可以在完成課堂程序后，組織學生利用思維導圖整合等差數列和等比數列之間的異同與聯系，不僅能夠幫助學生歸納整理課堂所學知識，同時也能夠為學生開展數學復習奠定基礎，同事在應用思維導圖整合知識點的過程中，學生也能夠逐步形成建模思維。在遇到與等差數列和等比數列相關的數學問題時，也能夠從建模的角度入手，迅速尋找解題突破口，提升學生的解題效率。又如，在學習三角函數時，教師可以讓學生對比歸納指數函數、對數函數等相關知識點，通過對各個不同函數之間的聯系和差異歸納，建立完整的函數體系導圖。通過思維導圖，不僅能減輕學生學習壓力，同時也能避免學生在學習復雜數學知識時出現混淆概念的問題，提升學生的學習效率與學習質量。在應用數據建模時，應幫助學生合理整合數學知識點，使學生在整體知識體系的基礎上完善知識架構，并促進學生形成數學學習能力。

第二，在數學教學中應用建模思維，必須要深入分析學生的實際學習能力以及數學基礎，開展針對性教學設計，為學生設置合理的學習目標，不僅能夠提升建模思維的應用效果，也能夠使學生選擇真正符合自己數學基礎的建模方式，在潛移默化中培養學生正確的學習思維與學習習慣，使學生在運用建模思維解決數學問題時，形成學習自信。目前，在高中教學中，部分學生都存在不知如何切入建模的問題，往往容易導致學生對建模式學習產生畏懼心理。因此，教師在利用建模思維開展教學的過程中，應當潛移默化地滲透建模思維，在學生興趣愛好的基礎上幫助學生建立建模思想，并在學習數學的過程中更加高效。

在高中數學中有這樣一道例題“Q男生在籃球訓練的過程中不小心扭傷了腳踝，醫生在對其進行檢查后為其開具了C類藥物，并叮囑Q每8個小時服用兩粒C藥，已知每粒C藥丸中共含有220毫克有效藥物，Q每8個小時藥物的吸收率為60%，那么Q連續服用C藥十天之后，他體內的藥物含量將是多少？”在解答這些問題時，教師可以幫助學生通過建模思維分析解決問題設定，Q男生在拿到藥物后每8個小時作為一個固定的時間段，Q在第一次服用C藥時體內的藥物共有440毫克，那么在8個小時后，它體內的藥物則是第一次的60%加上新服用的440毫克。以此類推，能夠設定an是Q在第n個時間段中體內的含藥量，那么an-1則是Q在第n-1（n≥2）時間段的含藥量。最后可以得出an=60%×an-1+440（n≥2）。學生在建模思維的引導下，也自然而然建立了與問題相關的數學模型，逐步獲得問題的答案。學生在數學學習的過程中初次接觸建模思維往往會覺得新奇，因此教師應當抓住學生在日常生活中感興趣的事物，嘗試利用建模激發學生的數學學習自信與內在學習動力。

（2）立足生活經驗，構建教學情境

數學與學生的日常生活之間有著較為密切的聯系，因此教師在利用建模思維開展日常教學時，應立足于學生的生活經驗與學習經驗，為學生構建數學情境，推動數學建模思維的應用。

第一，教師應抓住數學知識和生活經驗之間的聯系，幫助學生認識到日常生活中數學知識的應用意義，從而更主動地參與到數學建模過程中，以此提升學生的自主思考能力，拓展學生數學思維。以學習數列為例，教師可以利用生活中較為常見的銀行貸款或儲蓄作為例子，為學生提出問題“在當地有一家銀行設置了教育助學貸款的項目，在該助學貸款中一年以上的助學貸款每月需要均等額還本付息。假設李華共貸款了1萬元，如果他要分兩年還清這筆助學貸款，他的月利率為0.4575%。那么李華他每個月都應還多少錢？”在這道應用題中，教師應幫助學生順利理解有關貸款的數學知識，在這些題目中還款時需要償還本金與銀行的利息，引導學生建立數學模型，使學生在逐步深入計算的過程中得出李華每月所需要還款的金額。通過與實際生活有密切聯系的基礎知識，不僅能幫助學生了解數列的基本含義，同時也能使學生在解決數列相關知識時更加游刃有余。

第二，教師應不斷創新教育理念與教學手段。 在教學過程中選擇符合學生認知水平且適宜學生實際生活經驗的案例，通過學生容易理解和接受的生活問題，發揮建模思維的應用價值，幫助學生建立起數學知識與日常生活經驗之間的連接橋梁，在此基礎上培養學生自主思考和自主解決問題的能力，值得注意的是數學建模思想的應用，要求教師不僅要關注學生的學習基礎，更要幫助學生構建真實的數學情境。使學生在多元化教學手段的輔助下掌握數學解題技巧，并合理利用數學思維解決日常生活中常見的問題。比如，目前大部分高中生對旅游項目較為感興趣，因此教師則可以為學生設置與旅游相關的數學題。“有一名背包客在窮游時選擇乘坐火車從徐州出發到達了常州、北京、青島、洛陽、濟南、武漢、黃山、西安等8個城市，在該8個城市旅游后再回到出發點徐州。第一，你需要根據12306網站中的定價為這名背包客設計性價比最高的火車票費用行程表。第二，如果這名背包客旅游預算當中有關路費的預算為2000元，那么如果以上8個城市無法全部旅游，請為他設計一個盡可能多的旅游城市列表。”通過構建真實的旅游場景，使學生感受到數學學習的價值與樂趣，同時也能夠使學生嘗試獨立利用數學知識解決生活問題，在這一過程中學生的實踐能力得到了提升，同時也養成了運用建模思維解決問題的能力。情景的創設搭建了數學與現實生活之間的橋梁，同時也使學生將數學學習的視角轉移至現實生活中，利用具有新意且符合生活經驗的數學情境，不僅能激發學生的學習潛能同時也能在數學學習的過程中形成正確的學習思路。

（3）深挖教材內容，明確建模思路

在利用建模思維開展數學教學過程中，教師必須要深入挖掘教材內容，明確建模思路。通過對教材中的內容進行合理應用和轉化，使其成為數學建模問題。

第一，教師應遵循有效性、趣味性、科學性和可實現性的原則，轉變教材中的數學知識與數學問題，使其成為數學建模問題。比如，在某一個建筑施工工程中，住宅樓的窗戶面積必須要小于屋內的地板面積，根據實際采光需求必須要在20%的范圍內控制窗戶面積和地板面積。隨著比例大小的更改，住宅采光條件也會發生較大的轉變，而兩者之間的比例越高，采光效果將會越好。如果在相同的面積范圍內控制窗戶和地板的面積，采光將會如何？原因又是什么？這類問題思考的重點知識為如果窗戶與地板增加的面積相同，那么兩者之間的比例是增大還是減小。教師可以引導學生用A來表示住宅面積，用B表示窗戶的面積， A與B均用平方的單位表示，此后將M作為增加的面積，此問題就是比較A+M與A的大小。又如，在不等式教學中 ，Q和W是兩個當地較為著名的食品經銷商，他們的食品定價一致，在同一個廠家購入。如果食品每次的價格不一致，Q和W分三次購入食品，Q每次購入的貨量為1000千克，W有1000元。假設當時平均每千克的貨物需付款越低，最終購買價格就越低，而這兩者之間哪種進貨方式最為經濟優惠呢？通過這種問題能夠有效培養學生的數學思維，并對學生的自主學習情況進行考察。學生在自主探索的過程中能夠將數學知識與應用題相結合，在嘗試運用建模思維解決問題時，也能幫助學生在解決數學問題時，順利構建數學模型，運用數學模型合理應用數學基礎知識。

第二，數學建模本身就極為復雜且具有較強的系統性，因此教師在數學解題訓練中為幫助學生順利掌握數學建模方法并進行系統化練習，必須要保證學生明確數學建模思維以及建模方式。只有這樣學生才能夠正確完成整個建模過程，利用建模應用數學知識。教師在教學過程中必須要密切關注課堂教學質量與教學效率，確保學生能夠保質保量地學習建模思維。首先，教師要保證學生充分認識到了數學建模思維的本質和內涵，在此基礎上引導學生嘗試運用建模思維解決復雜難題。其次，在數學課堂上，教師應立足于數學建模思維，創設教學情境，保證學生都能夠順利接受課堂所學內容。最后，創設小組合作問題，通過小組之間的對話和溝通，推動思維碰撞，強化學生對建模思維的理解并嘗試將建模應用到實際問題的解決中，培養學生建模意識。比如，在學習集合時教師應在課前立足于數學建模思維，明確課堂教學目標合理規劃課堂教學，引導學生運用建模思維解決有關集合分類補集交集的數學知識，通過建模思維表達抽象簡單的數學符號，使學生在實踐操作的過程中加深對集合的認知，幫助學生更好地處理集合學習過程中所遇到的疑惑，不僅能提升學生的數學能力，還能使學生了解到在日常生活中數學知識的存在。

第三，在應用建模思維開展數學教學時必須要保證建模內容的精準性，合理整合課堂教學知識。教師與學生必須要明確不同的數學內容和教學階段所采用的教學方式也有所差異，這也就需要教師在教學數學知識時合理選擇數學問題，創新習題訓練模式。只有這樣才能夠提升數學教學效率，啟發學生總結課堂所學知識。值得注意的是，教師在課堂教學過程中也應避免盲目使用建模思維，并非所有數學知識都可以套用建模的思路開展教學。這也就需要教師在課前立足于課堂所學內容，確保建模思維能夠發揮其價值，并符合學生的數學基礎與認知能力，只有這樣才能夠充分調動學生的參與動力。通過合理控制建模難度與層次，才能激發學生的參與熱情，主動參與到數學課堂中。比如，在學習初步算法和概率這一部分內容時，教師可以在課前備課環節進行建模處理，保證在課堂上學生能夠更輕松地開展建模學習，通過建模思維展開概率和初步算法的學習，培養學生對數學基礎知識的認知。

（4）優化習題練習，提升建模意識

為保證數學建模思維的實際應用效果必須要重視學生的個性特征，運用適合學生的建模視角培養學生數學思維，幫助學生熟練掌握建模思路。

第一，從當前高中生建模思維的培養狀況來看，大部分學生在建模的過程中無法明確切入點，存在一定的恐懼心理，因此教師必須要高度重視教學方法的選擇。具體來說，教師應立足于習題訓練，根據習題內容使學生更深入地理解數學建模的內容與價值降低學生的解題難度，使學生充分發揮自主學習能力。比如，在應用指數函數模型訓練時，教師可以利用細菌增長類的練習題。如Ⅰ類細菌能夠在兩小時內增長為原數的兩倍。Ⅱ類細菌能夠在5小時內增長為原數量的4倍，那么在兩種細菌原數量一致的情況下，在多久之后Ⅱ類細菌的數量是Ⅰ內細菌的[12]呢？在教學過程中，教師可以立足于建模思維將細菌的數量假設為x，時間假設為h，引導學生列出公式，并得出 h的值。利用建模思維，簡化數學問題得出問題答案。

第二，數學建模的本質就在于使學生合理調動所學基礎知識，解決復雜難題。教師在運用建模思維開展數學教學時，應立足于以人為本的教育理念，將學生的實際情況作為核心，合理設置習題體系，培養學生建模能力，使學生在面對復雜的數學問題時，能夠運用數學建模思維解決問題。比如，在講解隱函數處理的相關知識點時，教師可以運用Matlab軟件開展課堂教學，運用ezplot繪制相關函數圖，為學生更直觀理解展示數學模型，使學生在智能設備的輔助下形成建模思維。教師也可以運用教學軟件與學生共同參與繪圖模擬和證明的數學過程，幫助學生熟練掌握有關隱函數的基礎知識，培養學生數學學習能力。

4.結語

在高中數學教學中應用建模思維需要教師轉變教育理念，充分分析學生的實際學習能力以及學習需求。通過優化教學方案，引導學生主動參與到課堂學習中。同時教師也應注重聯系實際生活經驗，完善數學教學情境，使學生在民主化課堂氛圍中構建建模意識，不僅能培養學生的數學思維，同時也能幫助學生從建模的角度解決數學問題，為今后更深度的數學學習打下根基。

參考文獻

[1]張飛飛.如何在高中數學教學中融入建模思想[J].數理天地（高中版），2023（05）.

[2]陳鐘洪.數學建模在高中課堂教學中的意義探究與路徑形成[J].數學教學通訊，2023（06）.

[3]許亞桃，吳立寶.基于Delphi-AHP高中數學建模教學評價指標體系的研究[J].內江師范學院學報，2023（02）.

[4]葛開順.深化高中數學建模教學，培養學生數學應用能力[J].數理天地（高中版），2023（03）.

[5]徐勵，陳小飛.高中數學教學中培養學生數學建模素養的實踐[J].中學課程輔導，2023（02）.

[6]潘冬麗，何正文.基于核心素養的高中數學建模教學的實例探究[J].教學考試，2023（02）.

[7]楊健，王勇強.推進課堂教學轉型? 落實數學核心素養——以“體重與脈搏”的高中數學建模教學為例[J].數學通報，2022（11）.

[8]洪艷.高中數學建模教學優化路徑[A].廊坊市應用經濟學會.對接京津——新的時代 基礎教育論文集[C].廊坊市應用經濟學會：廊坊市應用經濟學會，2022.