教學案例：探究茶水的最佳飲用時間

杜耀宗

摘要：高中數學教學中建模活動——探究茶水最佳飲用時間是高中數學必修模塊第一冊中的新增內容，也是落實“四基”“四能”的良好素材。以探究茶水的最佳飲用時間為背景切入，從情境設計、數據收集、猜想驗證、匯報展示以及最終的優化反思幾大方面開展教學設計，綜合利用實踐操作法、任務探究法，帶領學生建立函數模型解決實際問題，幫助學生增強建模意識，掌握數學建模的一般方法和基本的數學思想，希望增強學生的應用意識，提升學生的創新能力，更好地發展學生的數學學科核心素養

關鍵詞：高中數學? 人教版? ?數學建模? 實踐

一、教學準備

（一）教材分析

探究茶水最佳飲用時間是人教版高中數學必修一中的內容，其教學重點在于引導學生建立數學模型解決實際問題。對于高中階段的數學教學來說，需要引導學生從對數學知識的直接應用，發展為自主完成數學知識的學習拓展。[1]在本節課探究茶水的最佳飲用時間中，主要帶領學生在學習了指數函數、對數函數和冪函數的基礎上建立建模意識，使其能夠運用函數模型解決實際生活中的現實問題。借助數學建模活動的有效開展，能夠幫助學生有意識運用數學語言來探索世界，發現問題，提出問題和解決問題。

（二）教學目標設計

在教學目標的設計上，本節課的目標劃分為以下幾大方面：第一，要帶領學生在現實問題中，學會收集信息、分析信息，并能對現實問題進行一定的數學抽象，從中建立與其相適應的函數模型，能夠利用信息技術求解模型并對模型進行驗證和優化，從而最終解決現實問題。第二，帶領學生在數學建模和探究活動中感受和體會數學知識與現實世界之間的聯系，增強學生的應用意識，培養學生的創新能力。[2]

（三）學情分析

在探究茶水的最佳飲用時間一課中，能夠結合學生已有的生活經驗和認知基礎，同時，在課前學生已經學習過指數函數、對數函數以及冪函數的相關知識，能夠基本掌握函數模型的應用方法和操作步驟，這也為本節課的自主探究奠定了基礎。[3]因此，在本節課的重點設計上，是引導學生結合具體問題，完整開展數學建模活動；在教學難點上，主要為函數模型的檢驗與優化；在學習方法上主要通過學生的自主探究、團隊合作以及教師的啟發引導完成相應的任務。

二、教學過程——探究茶水的最佳飲用時間

（一）情境設計

在教學開始前，教師以茶文化為切入，帶領學生觀看相關的視頻，結合茶水最佳飲用時間的背景知識，得出相應的結論。對茶水口感起到最直接影響的因素為茶葉的種類和水的溫度，而水的溫度對茶口感的影響較為明顯。一般來說，泡制茶葉時需要采用85℃的水進行沖泡，而當水溫降至60℃時，此時飲茶口感最佳。結合這一背景知識，教師可以帶領學生思考，在正常室溫條件下一杯300毫升的茶放置多長時間才能達到最佳飲用的60攝氏度，結合這一問題，教師帶領學生思考這一問題中有哪些變量，且變量之間的各自關系是什么？

設計意圖：在導入環節，以茶水的最佳引用問題為案例切入，能夠帶領學生將數學知識與實際生活相聯系，激發學生的學習興趣，將實際的問題進行簡化和抽象，為后續函數模型的建立奠定基礎。

（二）數據收集

教師可以將班內學生劃分為不同的學習小組，以各個小組為單位進行相應的實驗，收集茶水溫度隨時間變化的相關數據，并將數據記錄在相應的表格內，完成數據的收集整理。讓學生親自收集實驗數據，激發學生的探索積極性，培養學生的信息獲取能力。在收集茶水溫度時，可以以一分鐘為時間間隔。

設計意圖：對于數學建模來說，收集數據是其基礎，也是學生培養建模思維的必備能力之一。通過親身實驗獲得相應的數據，能夠有效提升學生的數據分析能力，也能使學生以數學的眼光觀察世界，有利于增強學生的數學抽象能力。

（三）猜想驗證

在完成數據收集和整理后，教師可以帶領學生結合計算機軟件將其中的數據輸入到制圖軟件GeoGebra中，以時間為橫軸，以水溫為縱軸，制作相應的散點圖，并由各組學生進行討論，對制作完成的散點圖進行直觀描述。通過這種形式，帶領學生掌握更加準確的數學語言，也能通過直觀的描述，嘗試使用函數解析式進行擬合刻畫。

設計意圖：通過收集數據繪制數據表格，將數據以圖表的形式直觀表現出來，再將圖表以函數解析式的形式展現出來。這種從具體到抽象的探索過程，能夠增強學生的直觀想象力和數據分析力。

（四）匯報展示

在進行數據圖表的繪制時，需要進行一定的誤差分析，并結合現有數據預測30分鐘后的水溫，然后進行驗證。教師可以組織各個小組，結合一次函數、二次函數、冪函數、指數函數等不同的函數模型進行猜想驗證，并讓各個小組分別派代表將各自的驗證結果進行展示。

教師要對各組的討論情況進行總結分析，引導學生認識到數學建模的目的在于對現有數據進行函數模型擬合的基礎上，對數據的未來發展趨勢進行預測。

在探究茶水最佳飲用時間的一課中，建立相應的模型是本節課的重點，也是數學建模活動的關鍵。對此，需要教師以核心任務為驅動，為學生創設相應的實踐操作機會，引導學生通過探究發現、合作學習、交流分享、親身經歷，利用數學軟件GeoGebra進行模型建立，并通過模型驗證的過程，增強學生的問題分析能力和問題解決能力。

（五）優化反思

結合上述各個小組的驗證分析和對四種不同函數解析式的討論分享，再進一步篩選和優化后確定更為適合的兩種模型，然后再將這兩種模型進行對比，從這兩種函數模型中選擇擬合效果更好的一種。為驗證模型，教師可以為學生提供相應的計算機軟件，帶領學生借助軟件編程，在合作與交流中選取具有代表性的點再次精確計算，并對其中的參數進行適當調整，進而對模型進行優化和修改，使其達到更好的擬合效果。最后，在探究完成后，教師要組織學生以小組為單位完成茶水最佳飲用時間的研究報告。

設計意圖：通過規范的研究報告，引導學生總結分析本次數學建模的過程，并能對數學建模活動的全流程有清晰的認識，也有利于增強學生的探究意識，培養學生的科學精神。

三、教學反思

（一）要發揮信息技術的應用優勢

在高中數學教學中，對于一些建模問題，教師需要引入現代信息技術，發揮計算優勢，對學生的探究活動起到補充作用。這也能使學生認識到信息技術手段的優勢，教師要指導學生運用計算機軟件，并在數據的收集和計算時，保證方法的科學，數據的準確，進一步高效率處理數據、分析驗證模型。

（二）要尊重學生學習的主體地位

在課堂教學上，要堅持以學生為主體，以教師為主導的教育思想，引導學生將數學知識與實際生活緊密相連。教師要結合實際情況，設計相應的建模問題，真正將課堂的學習主動權交給學生，鼓勵學生自主學習，合作探究。教師可以結合本班學生的學習基礎和學習需求，積極拓展豐富多樣的教學形式，鼓勵學生開展數學建模競賽，參與數學建模社團等相關活動，在實踐活動中增進學生的數學學科核心素養。

（三）要豐富評價考核的形式內容

在教學中評價考核，也是影響到教學效果的重要因素，教師在對教學效果進行考查時，需要綜合運用多種方式，既要關注學習成果，也要關注學習過程。并且，在學生合作探究時，教師要給予學生鼓勵和支持，要適當的對學生及其小組進行點評，進一步增強學生的積極性主動性，使學生能夠更充分地參與其中，真正構建高效課堂。

參考文獻：

[1]陸天儀.聚焦問題引領，提升建模素養——以“茶水最佳飲用時間”為例[J].數學之友，2022，36（09）：38-40+44.

[2]韓慧.“數學建模活動”——茶水最佳飲用時間”教學設計[J].中國數學教育，2021（06）：28-32+42.

[3]王保東. 體驗數學建模完整過程 發展數學學科核心素養——對“數學建模活動——茶水最佳飲用時間”一課的教學點評[J]. 中國數學教育：高中版， 2021（3）：3.