立體幾何中常見動態問題及解題策略

陳騰

【摘 要】 ?高中時期，在對于學生綜合素養的培養要求中，空間思維是其中重要的一項，而立體幾何作為幾何知識體系的重要組成部分，是考查學生計算能力及空間思維的重要途徑，因此，在考試中，關于空間幾何的問題占有較高的比例.在試卷中，經常出現立體幾何與點動、線動、面動等動態知識綜合考查的問題，對于學生有著較高的要求，本文結合實例，對相關題型進行總結分析，供師生參考.

【關鍵詞】 ?高中數學；立體幾何；解題策略

立體幾何作為數學問題中的重難點，需要學生具有較強的計算及想象能力，在考試中，往往不對其進行單獨的考查，會將其與點動問題進行結合考查，而這也在很大程度上增加了學生解答問題的難度，影響學生最終成績.因此，本文將較系統地總結立體幾何問題中常見的動態問題，促進學生數學素養的提升.

1 點動問題

點動問題主要是研究點在平面或是空間內因運動而引起的各種問題，在實際考查中，通常會讓學生計算因點動而引起的幾何線段、周長等最值問題，此時，解題時需要首先將問題進行轉化，將其轉到一個平面內，而后進行解答.在這個過程中，一般要運用翻轉、點共線、點到直線的距離等方法，最終目標都是將立體幾何問題平面化、折線問題直線化.

例1 ??如圖1所示，正三棱錐V－ABC中，側棱長為 3 ，∠AVB=∠BVC=∠CVA=40 ° ，過點A作截面△AEF，則△AEF的周長最小值為（ ?）

（A） ?3 . ??（B） 2 3 . ??（C） 3. ??（D） 2.

解析 ??如圖2所示，沿側棱VA將正三棱錐V－ABC展開，通過觀察可以發現，此時AA′的長即為△AEF周長的最小值，同時，△VAA′中，∠AVA′=3×40 ° =120 ° .

則有

AA′= VA 2+VA′ 2－2VA·VA′· cos ∠AVA′ ?=3.

故正確答案為 （C） .

例2 ??如圖3所示，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB= 2 ，BC=AA1=1，M為AB1的中點，P為對角線AC1上的動點，Q為底面ABCD上的動點，則MP+PQ的最小值為 .

解析 ??將平面AB1C1沿AC1向上翻折，此時將折線轉化為直線段，從而便可以求出MP+PQ的最小值.

如圖4所示，當Q是P在底面ABCD的射影時，PQ最小，

將面AB1C1沿AC1翻折，使其與平面ACC1共面，

此時有∠CAC1=30 ° ，AM= ?3 ?2 ，

當M，P，Q三點共線時，MP+PQ取最小值，

此時，MP min ?=AM sin ∠CAB1= ?3 ?2 ?sin 60 ° = 3 4 .

2 線動問題

線動問題主要研究目標圖象因空間中某條線段變化而發生改變時所產生的各種問題，如最為常見的圖象繞某一條直線進行旋轉、折疊，在面對這類問題時，學生需要明確圖象在變化過程中的各線段的運動路徑、軌跡及最終落點，同時，將問題進行轉化，最后借助相關幾何知識及定理進行計算.

例3 ??在等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，BC=2，將△ABD沿直線BD翻折成△A′BD，如圖5所示，求直線BA′與CD所成角的范圍.

解析 ??等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，BC=2，

取BC的中點E，連接AE，四邊形AECD為平行四邊形，

所以AE=AB=CD，

所以△ABE為等邊三角形，

則∠A′BD= ?π ?6 ，CD⊥BD，CD∥AE，

翻折中，BA′繞BD旋轉，BA′可視為以B為頂點、BD為軸的圓錐的母線，

此時，母線與軸的夾角為 ?π ?6 ，

則母線與底面直線所成角的范圍為 ??π ?3 ， ?π ?2 ?.

故直線BA′與CD所成角的范圍為 ??π ?3 ， ?π ?2 ?.

3 結語

綜上所述，立體幾何存在多種題型，且難度相差較大，在點動問題中，通常只考查點動所引起線段長度、圖象周長的變化，此時學生只需要將其問題進行轉化便可以快速解答.而線動則有更高的要求，需要學生對運動過程有一個明確的認識.在日常學習中，學生應當進行大量的練習，進行總結歸納，達到在遇到相關問題時，可以快速找到解題思路的水平，便可在考試中取得好的成績.

參考文獻：

[1] 陳燈煌.關于立體幾何動點軌跡的探究[J].數理天地（高中版），2022（22）：12-13.

[2]劉長柏.剖析立體幾何中的“動態”問題[J].數學通訊，2022（09）：45-47.

[3]顧小存.立體幾何多動點最值問題的求解策略[J].高中數學教與學，2021（11）：47-48.

[4]蘇藝偉.對一道立體幾何動點問題的解析[J].數理化學習（高中版），2019（09）：9-12.