淺敘高中數(shù)學(xué)選修課“微積分學(xué)”的基本定理

姚少魁 熊家永

【摘 要】 ?微積分基本定理就是牛頓萊布尼茨公式嗎？該定理的基本性何在？微積分基本定理的正式名稱是積分學(xué)基本定理嗎？本文通過(guò)梳理國(guó)內(nèi)高中教科書、大學(xué)教科書和國(guó)外高校教材中的相應(yīng)內(nèi)容并結(jié)合學(xué)習(xí)體會(huì)，嘗試回答對(duì)微積分學(xué)中這個(gè)最重要的定理的這些疑問(wèn).

【關(guān)鍵詞】 ?牛頓萊布尼茨公式；微積分基本定理；高中數(shù)學(xué)

1 微積分基本定理與牛頓萊布尼茨公式

今天微積分的學(xué)習(xí)已“飛入尋常百姓家”，大多數(shù)中學(xué)生也開始學(xué)習(xí)微分部分的內(nèi)容.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）在選修課程中的 A 類課程為有志于學(xué)習(xí)數(shù)理類專業(yè)設(shè)置的課程，其中微積分部分闡述微分和積分的關(guān)系（微積分基本定理， The Fundamental Theorem of Calculus，F(xiàn)TC） 及其應(yīng)用，并在定積分的部分指出通過(guò)微分感悟積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，理解并掌握牛頓萊布尼茨公式：f b -f a =∫ baf′ t ?d t [1] .

在人民教育出版社2021年版數(shù)學(xué) A 類《微積分》介紹了如下定理 [2] ：

定理1 牛頓萊布尼茨公式 ??設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，并且F ′（x）=f（x），則∫ baf x ?d x=F b -F（a），稱F（x） 是f（x）的一個(gè)原函數(shù).

問(wèn)題1 ??微積分基本定理是不是就是牛頓萊布尼茨公式呢？

讓我們看一看舊版高中教材的論述，如2005年審定通過(guò)的人民教育出版社 A 版高中數(shù)學(xué)選修2-2（舊教材）第53頁(yè)：

一般地，如果f（x）是[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且F ′（x）=f（x），那么∫ baf x ?d x=F b -F（a）.

這個(gè)結(jié)論叫作微積分基本定理，又叫作牛頓萊布尼茨公式 （NewtonLeibniz formula）.

北京師范大學(xué)出版社高中數(shù)學(xué)選修2-2第83頁(yè)和江蘇鳳凰教育出版社數(shù)學(xué)選修2-2第49頁(yè)關(guān)于微積分基本定理與人教版相同.蘇教版教材在鏈接模塊關(guān)于微分和積分的關(guān)系中解釋道，微積分基本定理給出了微分與積分這兩個(gè)關(guān)鍵詞之間的關(guān)系.因?yàn)槭怯膳ｎD、萊布尼茨共同發(fā)現(xiàn)的，所以稱之為牛頓萊布尼茨公式.

由張景中院士主編的湖南教育出版社數(shù)學(xué)選修2-2（理科）（2019年7月第2版）第四章第69頁(yè)微積分基本定理部分注釋到“牛頓和萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了并且明確表述了微積分基本定理，標(biāo)志著微積分學(xué)的誕生”，并給出了微積分基本定理的圖形直觀.

關(guān)于微積分中的原函數(shù)，李尚志教授詩(shī)云：“量天何必苦登高，借問(wèn)銀河落九霄.直下凡塵幾萬(wàn)里，幾公里處宴蟠桃.”從古典的詩(shī)歌意境闡述數(shù)學(xué)思想的美妙.并指出通過(guò)原函數(shù)求定積分的方法就是微積分基本定理，也就是牛頓萊布尼茨公式 [3] .

問(wèn)題2 ??是不是限于中學(xué)生的理解能力和知識(shí)基礎(chǔ)，高中數(shù)學(xué)教材中的微積分基本定理就是專指牛頓萊布尼茨公式呢？

為了求證此事，讓我們看一看國(guó)內(nèi)高校教材中的敘述.

2021年同濟(jì)大學(xué)編寫的《高等數(shù)學(xué)》第七版（上、下冊(cè)）獲得首屆“全國(guó)優(yōu)秀教材特等獎(jiǎng)”，在上冊(cè)第240頁(yè)：

定理2 ??如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，那么函數(shù)Φ x =∫ xaf t ?d t就是f（x）在[a，b]上的一個(gè)原函數(shù).

定理3（微積分基本定理） ??如果函數(shù)F（x）是連續(xù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的一個(gè)原函數(shù)，那么∫ baf x ?d x=F b -F（a）.

該公式叫作牛頓萊布尼茨公式，也叫作微積分基本公式.該公式表明一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的定積分等于一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的增量.因而解釋了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定積分之間的聯(lián)系.并注釋到微積分基本定理的陳述最早出現(xiàn)在萊布尼茨1677年的一篇手稿中.

而由華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的《數(shù)學(xué)分析》第四版上冊(cè)第224頁(yè)：

定理4（原函數(shù)存在定理） ??若f 在[a，b]上連續(xù)，則Φ x =∫ xaf t ?d t 在[a，b]上處處可導(dǎo)，且Φ ′ x = ?d ??d x ∫ xaf t ?d t=f x ，x∈［a，b］.

本定理溝通了導(dǎo)數(shù)和定積分這兩個(gè)從表面看去似不相干的概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)也證明了“連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)”這一基本結(jié)論，并以變上限的積分形式給出了f的一個(gè)原函數(shù).正因?yàn)樵摱ɡ淼闹匾饔枚蛔u(yù)為微積分基本定理.

由于f的任意兩個(gè)原函數(shù)只能相差一個(gè)常數(shù)，所以當(dāng)f為連續(xù)函數(shù)時(shí)，它的任一原函數(shù)F x =∫ xaf t ?d t+C， 令x=a，可得C=F（a），從而∫ xaf t ?d t=F x -F（a）.再令x=b，即得牛頓萊布尼茨公式 ∫ baf t ?d t=F b -F（a）.

在項(xiàng)武義老師的系列著作基礎(chǔ)數(shù)學(xué)講義之四《基礎(chǔ)分析學(xué)之一》單元微積分學(xué)部分中有以下定理.

定理5（微積分基本定理） [4]

設(shè)f（x） 為[a，b] 上的連續(xù)函數(shù).令F x =∫ xaf t ?d t，則 F ′（x）=f（x）.

推論 ??設(shè)f（x） 為[a，b] 上的連續(xù)函數(shù)而G ′ x =f（x）， 則∫ baf t ?d t=G b -G a .

微積分基礎(chǔ)理論是整個(gè)分析學(xué)的基礎(chǔ)和精要之所在，它廣泛的應(yīng)用和深厚的發(fā)展可以說(shuō)是無(wú)限的.

問(wèn)題3 ??至此，我們看到高中數(shù)學(xué)教材和同濟(jì)第七版高數(shù)教材中所給出的公式就是牛頓萊布尼茨公式，而兩本國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)專業(yè)教材給出的基本定理內(nèi)容是變上限函數(shù)求導(dǎo)的公式，那么原函數(shù)存在定理是微積分基本定理的一個(gè)組成部分嗎？

在《古今數(shù)學(xué)思想》（第四冊(cè)）第15頁(yè)柯西定義F x =∫ xx0 ?x ?d x， 且證明F x 在 x ?0 ，x］上連續(xù). F x+h -F（x） h = 1 h ∫ x+h xf x ?d x， 并利用積分中值定理，柯西證明了F ′（x）=f（x）.

這就是微積分基本定理. 柯西的表示方法就是微積分基本定理的第一個(gè)證明 [5] .

在證明了給定函數(shù)f（x）的全體原函數(shù)彼此只差一個(gè)常數(shù)之后，他把不定積分定義為

∫f x ?d x=∫ xaf x ?d x+C.

若假定f′（x）連續(xù)，

則∫ baf x ?d x=f b -f a .

通過(guò)對(duì)比和分析，我們明確了變上限函數(shù)求導(dǎo)（原函數(shù)存在定理）是微積分基本定理（一部分），牛頓萊布尼茨公式可由微積分基本定理（原函數(shù)存在定理）推出.

問(wèn)題4 ??帶著“牛頓—萊布尼茲公式是否也應(yīng)是微積分基本定理的一部分”的疑問(wèn)，讓我們一起看看國(guó)外三本經(jīng)典教材中的相關(guān)闡述.

由 George Thomas 教授編寫的占據(jù)美國(guó)微積分教科書市場(chǎng)主導(dǎo)地位的Thomas Calculus第十四版將微積分基本定理稱為積分學(xué)的中心定理 （central theorem of integral calculus）， 牛頓—萊布尼茨這一數(shù)學(xué)發(fā)明推動(dòng)了接下來(lái)200年的科學(xué)革命 [6] .

定理6 ??微積分基本定理， 第1部分如果f在 [a，b]上連續(xù)， 那么 F x =∫ xaf t ?d t 在 [a，b]上連續(xù)，在 a ，b）上可導(dǎo)且其導(dǎo)數(shù)是 f x ：F′ x = ?d ??d x ∫ xaf t ?d t=f（x）.

定理7 ??微積分基本定理， ?第2部分，求值定理（The Evaluation Theorem） ：如果 f x 在 [a，b]上連續(xù)， F x ?是 f x ?在 [a，b] 上的反導(dǎo)數(shù)（ antiderivative ）， 那么∫ baf x ?d x=F b -F a .

由第1部分可知 f的原函數(shù)存在. 定理7求值部分比用黎曼和計(jì)算定積分簡(jiǎn)便很多. 如果F x 是f的任意一個(gè)原函數(shù)，則可以寫成F b -F a =∫ baF′ x ?d x. 函數(shù)F（x）關(guān)于x的變化率的積分等于F（x）當(dāng)x從a到b的凈變化量（ net change ）. 該式也可改寫為F b =F a +∫ baF′ x ?d x.

從1980年開始，經(jīng)過(guò)在麥克馬斯特大學(xué)6年的試用， James Stewart 的Calculus第一版于1987年問(wèn)世，目前已經(jīng)進(jìn)行了8次修訂，第八版第326頁(yè)微分和積分是互逆的過(guò)程（ Differentiation and integration as Inverse Processes ）.

微積分基本定理 ??假設(shè) f x ?在 [a，b] 上連續(xù).

（1）若 g x =∫ xaf t ?d t， 則 g ′（x）=f（x）.

（2）∫ baf x ?d x=F b -F（a），其中 F x 是 f x 的一個(gè)反導(dǎo)數(shù)， 即F x ?′=f x .

第1部分用萊布尼茨的記號(hào)可以寫成 ?d ??d x ∫ xaf t ?d t=f（x）.

第2部分可以改寫為∫ baF′ x ?d x=F b -F（a）.

綜合考慮微積分基本定理的這兩個(gè)部分，表明微分和積分是互逆的過(guò)程，每一個(gè)都將對(duì)方的操作還原 [7] .

在普林斯頓微積分讀本中， 第1部分和第2部分分別叫作微積分第一基本定理（The First Fundamental Theorem of Calculus）和第二基本定理（The Second Fundamental Theorem of Calculus）.一般地，在美國(guó)非數(shù)學(xué)專業(yè)微積分教科書中，微積分基本定理通常包括兩個(gè)部分：反導(dǎo)數(shù)（antiderivative part）部分和求值部分（evaluation part），牛頓萊布尼茨公式是微積分基本定理的求值部分 [8] .在R．Courant和F. John所著的數(shù)學(xué)專業(yè)教材 Introduction to calculus and analysis （Volume 1）中微積分基本定理的第1部分，也是反導(dǎo)數(shù)部分. 盡管牛頓萊布尼茨公式可以由變上限函數(shù)求導(dǎo)推出，但目前國(guó)際上流行的教科書仍是將牛頓萊布尼茨公式和變上限函數(shù)求導(dǎo)作為微積分基本定理的組成部分.

2 微積分基本定理的作用及“基本”性

微積分基本定理說(shuō)明：連續(xù)函數(shù)積分的計(jì)算，只要尋求它的原函數(shù)在兩端點(diǎn)函數(shù)值之差即可，可以不用“分隔、作和、求和與取極限”這種大動(dòng)干戈的方式進(jìn)行. 從歐多克索斯和阿基米德到伽利略和費(fèi)馬的時(shí)代，求曲線的面積、幾何體的體積以及曲線長(zhǎng)度這些生活中的問(wèn)題，只有當(dāng)時(shí)的一些天才才能迎接這些挑戰(zhàn)，但是現(xiàn)在有了微積分基本定理（求值部分），我們的中學(xué)生也能解決其中一些問(wèn)題. 盡管牛頓、萊布尼茨都不是最早注意到這個(gè)定理的人，但他們各自證明了這個(gè)定理，并認(rèn)識(shí)到它巨大的效用和重要性 [9] .

這種不斷追尋問(wèn)題本質(zhì)，將復(fù)雜問(wèn)題變簡(jiǎn)單的基本想法不愧為人類理性精神的偉大成就之一.但即使學(xué)過(guò)微積分的人比如筆者和一些同事，往往也會(huì)忽略定理的反導(dǎo)數(shù)部分. 那么定理的這兩個(gè)部分分別有哪些作用呢？

對(duì)于初學(xué)者，黎曼和是一個(gè)令人頭疼的概念，定理的第2部分讓我們不必再借助先求黎曼和再判斷其極限的方式來(lái)求定積分，而只需要估計(jì)該函數(shù)的不定積分在兩個(gè)端點(diǎn)函數(shù)值的差即可，因此也被稱為求值部分. 定理的反導(dǎo)數(shù)部分保證了導(dǎo)數(shù)已知的函數(shù)其原函數(shù)的存在性.

該定理表明微積分的兩大主體內(nèi)容微分和積分間是互逆的運(yùn)算，具體地講 [10] ：

對(duì)于連續(xù)函數(shù)f，我們先進(jìn)行積分然后再微分就可以得到原函數(shù)：

f x ?積分 ??∫ xaf t ?d t 微分 ????d ??d x ∫ xaf t ?d t=f（x）.

另一方面，如果對(duì)函數(shù)進(jìn)行先微分然后再積分，在差一個(gè)常數(shù)的意義下，也可以給出原函數(shù)：

f x ?微分 ??f ′ x ?積分 ??∫ xaf′ t ?d t

=f x -f a .

作為積分學(xué)的基礎(chǔ)，該定理建立了微分中值定理與積分中值定理的聯(lián)系：

f c = F′ c （b-a） b-a = F b -F（a） b-a

= 1 b-a ∫ baf x ?d x，a

并且微積分學(xué)中四個(gè)重要的概念，極限、導(dǎo)數(shù)、不定積分與定積分通過(guò)微積分基本定理建立了聯(lián)系.不僅如此，變化率的積分是凈變化量∫ baF′ x ?d x=F b -F（a），因此該定理也被稱為凈變化量定理，它可用于刻畫自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域的所有變化量問(wèn)題，如一段時(shí)間內(nèi)速度變化產(chǎn)生的位移，速率變化產(chǎn)生的距離，化學(xué)反應(yīng)速率的變化產(chǎn)生的物質(zhì)濃度的變化量，邊際成本變化所導(dǎo)致的生產(chǎn)單位商品成本的變化，人口變化率引起的人口數(shù)量的變化，等等.

此定理反映了一元函數(shù)微分和積分之間的基本關(guān)系，這種整體和局部之間的關(guān)系可以推廣到高維空間，多元函數(shù)微積分學(xué)中的格林公式、高斯公式和斯托克斯公式都是建立在微積分基本定理這個(gè)共同基礎(chǔ)之上的.

3 微積分基本定理（ FTC）原為積分學(xué)基本定理（FTIC ）

函數(shù)是微積分的基本研究對(duì)象，甚至在函數(shù)概念沒(méi)有明確之前就已經(jīng)從幾何學(xué)中逐步建立 [11] ，函數(shù)概念的提出，使得微積分走上了代數(shù)化的道路，如同函數(shù)概念是一代代數(shù)學(xué)家接續(xù)發(fā)展的結(jié)果，牛頓和萊布尼茨關(guān)于微積分的工作通過(guò)歐拉、柯西、魏爾斯特拉斯一直繼續(xù)發(fā)展.盡管牛頓和萊布尼茨共同發(fā)現(xiàn)并證明了微積分基本定理， 但是這個(gè)定理的萌芽既不是從兩位微積分的集大成者開始，也不是發(fā)展到他們時(shí)結(jié)束.但無(wú)疑該定理是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)里程碑，其建立標(biāo)志著微積分的誕生 [12] .凡是要真正懂得科學(xué)的力量和全貌，都必須了解這門知識(shí)的現(xiàn)狀是歷史發(fā)展的結(jié)果.1820年泊松稱牛頓萊布尼茨公式為“定積分理論的基本命題”，這可能是第一次有人稱這個(gè)定理為“基本的” [13] . 通過(guò)對(duì)陳見柯老師推薦的《教授積分學(xué)基本定理歷史反思》的梳理，我們可以得到該定理名稱如圖1的發(fā)展脈絡(luò)：

無(wú)論是 Thomas的書還是D. M. Bressoud的觀點(diǎn)，微積分基本定理均是關(guān)于積分的等式，進(jìn)一步Bressoud認(rèn)為應(yīng)將積分一詞還回微積分基本定理中，即為積分學(xué)基本定理The Fundamental Theorem of Integral Calculus，簡(jiǎn)稱FTIC，這一名稱似乎源于P.B. Reymond 1876年關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)的論文，并將此定理描述為“積分學(xué)中最重要和有用的定理”. 20世紀(jì)50年代和60年代，這兩個(gè)名稱往往同時(shí)使用，到了20世紀(jì)70年代，大多數(shù)作者省去形容詞“積分的”（integral）進(jìn)而選擇較短的名稱（FTC）， 從而加強(qiáng)了把該定理解釋為微分與積分互逆這種特性的傾向 [14] .

4 微積分的學(xué)習(xí)與“雙減”

作為一切高級(jí)數(shù)學(xué)的基本功，微積分和線性代數(shù)是大學(xué)生必修的公共課程，基于嚴(yán)格極限定義的微積分讓大學(xué)生初學(xué)者也摸不著頭腦. 作為微積分學(xué)創(chuàng)立的標(biāo)志，結(jié)合幾何意義和動(dòng)態(tài)直觀，國(guó)際高中的學(xué)生對(duì)閉區(qū)間上的定積分還能理解，也能利用牛頓萊布尼茨公式進(jìn)行基本的運(yùn)算，但面對(duì)微積分基本定理的反導(dǎo)數(shù)部分，即使學(xué)過(guò)的學(xué)生也可能不知所措. 學(xué)習(xí)者忽略第1部分或許與我們平時(shí)更重視練習(xí)和實(shí)際應(yīng)用，時(shí)常忽略數(shù)學(xué)的理性精神，不注重從數(shù)學(xué)發(fā)展等多角度賞析有關(guān) [15] . 定理的證明是理解其含義的一個(gè)重要途徑，遺憾的是即使美國(guó)大學(xué)選修課程的教材（正文）中一般也都跳過(guò)證明，僅敘述結(jié)論與應(yīng)用. 那么微積分可以變得易于全部高中生學(xué)習(xí)嗎？

“沒(méi)有一種數(shù)學(xué)思想，以它被發(fā)現(xiàn)時(shí)的那個(gè)樣子發(fā)表出來(lái). 一個(gè)問(wèn)題被解決以后，相應(yīng)發(fā)展成一種形式化的技巧，結(jié)果使得火熱的思考變成了冰冷的美麗.” [16] 源于1996年6月張景中先生與林群先生開會(huì)時(shí)同桌進(jìn)餐，一南一北兩位數(shù)學(xué)家開始了長(zhǎng)達(dá)20多年的數(shù)學(xué)科普創(chuàng)作.兩位先生就中學(xué)數(shù)學(xué)教材中有關(guān)基本定理簡(jiǎn)化證明中的錯(cuò)誤和原因進(jìn)行了分析，并通過(guò)反例說(shuō)明嚴(yán)格證明可以消除直觀中的錯(cuò)誤，也可以讓讀者學(xué)到正確有效的思想方法 [17] .

2021年，“雙減”成為教育的重要課題和全民關(guān)注的熱點(diǎn)，如何減輕中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，進(jìn)而讓更多同學(xué)體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的有趣，獲得學(xué)好數(shù)學(xué)的信心是每個(gè)教育工作者關(guān)心的問(wèn)題. 張景中先生認(rèn)為“雙減”中有相當(dāng)一部分內(nèi)容是關(guān)于數(shù)學(xué)的. 對(duì)數(shù)學(xué)課來(lái)說(shuō)，減輕負(fù)擔(dān)最有效、最根本的方法就是把數(shù)學(xué)本身變得更有效、更容易學(xué). 這就必須對(duì)數(shù)學(xué)本身進(jìn)行加工，最好能改造數(shù)學(xué)知識(shí)體系，研究更優(yōu)的解決方法，讓“過(guò)去曾經(jīng)困擾成年人的問(wèn)題，在以后的年代里，連孩子們都能容易地理解”.兩位“微積分爺爺”的新作《減肥微積分》將激發(fā)更多不滿足于課內(nèi)知識(shí)的青少年的科學(xué)興趣，訓(xùn)練孩子們學(xué)習(xí)科學(xué)研究的方法、素養(yǎng)和精神 [18] . 這種不借助極限的微積分邏輯新體系已經(jīng)通過(guò)了輔助工具 Coq 的形式化驗(yàn)證，并在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行通過(guò). 微積分基本定理中的求值部分已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了機(jī)器證明，這種利用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的證明模式，不僅可以節(jié)省時(shí)間，而且便于人們理解、構(gòu)建現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論 [19] .

2022年1月25日，張景中教授由于長(zhǎng)期致力于科普工作所做的卓越貢獻(xiàn)和推動(dòng)機(jī)器證明智能化技術(shù)的發(fā)展獲得2021年中國(guó)計(jì)算機(jī)協(xié)會(huì)“中國(guó)計(jì)算機(jī)協(xié)會(huì)（ CCF ）終身成就獎(jiǎng)”. 最后讓我們祝愿兩位“80后”爺爺身體健康，繼續(xù)為祖國(guó)數(shù)學(xué)科普事業(yè)的創(chuàng)新與發(fā)展、為我國(guó)數(shù)學(xué)實(shí)力的增強(qiáng)、青少年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)與培養(yǎng)逐夢(mèng)前行.

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