構(gòu)造函數(shù)法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用策略

朱琳

【摘 要】 ?構(gòu)造函數(shù)法在高中數(shù)學(xué)解題中有著重要的應(yīng)用價(jià)值，它改變了正向解題思維方式，避開(kāi)原題目設(shè)計(jì)的障礙，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)新的輔助函數(shù)，來(lái)創(chuàng)新數(shù)學(xué)解題思路與方法，從而有效提高解題效率.在構(gòu)造輔助函數(shù)時(shí)，通過(guò)對(duì)條件與結(jié)論的深入分析和充分利用其關(guān)系與特點(diǎn)，并堅(jiān)持相似性、直觀性、等價(jià)性的原則構(gòu)造熟悉的函數(shù)實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)捷快速有效解決問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】 ?高中數(shù)學(xué)；構(gòu)造函數(shù)法；解題應(yīng)用

構(gòu)造法是根據(jù)題目條件與結(jié)論的關(guān)系和特點(diǎn)，構(gòu)建一個(gè)新對(duì)象來(lái)輔助解題，從而繞開(kāi)題目所設(shè)障礙簡(jiǎn)捷高效創(chuàng)造性地解題.構(gòu)造對(duì)象可以是函數(shù)、數(shù)列、不等式等眾多類型，本文僅對(duì)構(gòu)造函數(shù)法解題進(jìn)行探討.

1 構(gòu)造一次函數(shù)輔助解題

例1 ??已知a，b，c∈ R ，并且三者的絕對(duì)值都不大于1，證明：ab+bc+ca+1≥0.

解析 ??對(duì)于該不等式如果直接證明有較大難度，根據(jù)該不等式的特點(diǎn)，如果能構(gòu)造一個(gè)相似的一次函數(shù)f a = b+c a+bc+1，就將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)|a|≤1時(shí)，f a ≥0成立即可.根據(jù)已知條件可知-1≤a≤1，-1≤b≤1，-1≤c≤1，分情況進(jìn)行討論：

（1）當(dāng) b+c ≠0時(shí)，f a 就是a的一次函數(shù)，f -1 =- b+c +bc+1=（1-b）（1-c）≥0， f 1 = b+c +bc+1=（1+b）（1+c）≥0， 因?yàn)橐淮魏瘮?shù)具有單調(diào)性，所以當(dāng)-1≤a≤1時(shí)f a ≥0成立，所以原不等式成立.

（2）當(dāng) b+c =0時(shí)，f a =-b ?2 +1≥0，所以原不等式成立.

綜合兩種情況，可證ab+bc+ca+1≥0成立.

2 構(gòu)造二次函數(shù)輔助解題

例2 ??假設(shè)0

解析 ??觀察已知條件，因?yàn)閙 ?2

因?yàn)闃?gòu)造函數(shù)f m =m-m ?2

=- m- 1 2 ???2 + 1 4 ，

所以f m 在 0， 1 2 ?區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，

因?yàn)?

所以f m

所以n< 1 p+1 成立.

通過(guò)構(gòu)造二次函數(shù)使不等式得證.

3 構(gòu)造高次函數(shù)輔助解題

例3 ??已知m，n是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，并且m，n是高次方程x 4-4x ?3 +7x ?2 -6x-2000=0的解，求m+n的值.

解析 ??直接解高次方程比較困難，如果構(gòu)造一個(gè)高次函數(shù)可使該問(wèn)題變得容易解決.

因?yàn)閤 ?4 -4x ?3 +7x ?2 -6x-2000=0，

所以 x-1 ??4 + x-1 ??2 -2002=0，

因?yàn)閙，n是該方程的解，

所以 ??m-1 ??4 + m-1 ??2 -2002=0， n-1 ??4 + n-1 ??2 -2002=0，

構(gòu)造四次函數(shù)f x =x 4 +x ?2 -2002，容易判斷該函數(shù)在 0，+∞ 上是單調(diào)遞增的偶函數(shù)，

所以f x =f -x ，

所以f m-1 =f n-1 =f 1-n ，

因?yàn)閙≠n， 所以m-1=-（n-1），

所以m+n=2.

可見(jiàn)利用構(gòu)造函數(shù)可以使本題更加簡(jiǎn)潔、高效地得到解決.

4 構(gòu)造指數(shù)函數(shù)輔助解題

例4 ??已知a，b，c是三角形的三條邊，并且滿足a ?2 +b ?2 =c 2 ，m是大于2的正整數(shù)，證明：c ?m >a ?m +b ?m .

解析 ??該不等式不易直接證明，分析該不等式的特點(diǎn)并對(duì)其進(jìn)行變形 ?a c ???m + ?b c ???m <1，可考慮構(gòu)造指數(shù)函數(shù)f x = ?a c ???x + ?b c ???x ，然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可容易證明此題.

因?yàn)閍 ?2 +b ?2 =c 2 ，

所以三角形為直角三角形，且0

所以0< a c <1，0< b c <1，

構(gòu)造指數(shù)函數(shù)f x = ?a c ???x + ?b c ???x ，

容易判斷f x 在 2，+∞ 上是減函數(shù)，

所以當(dāng)m>2時(shí)，f m

所以 ?a c ???m + ?b c ???m < ?a c ???2 + ?b c ???2 =1，

即c ?m >a ?m +b ?m .

5 構(gòu)造三角函數(shù)輔助解題

例5 ??已知0

sin ?A+B+C 3 ≥ ?sin A+ sin B+ sin C 3 .

解析 ??仔細(xì)分析該不等式可看出，該不等式有三角形重心坐標(biāo)公式的特點(diǎn)，因此可通過(guò)構(gòu)造三角函數(shù)并從三角形重心的方向來(lái)解題.

構(gòu)造正弦函數(shù)f x = sin x，

則M A， sin A ，N B， sin B ，P C， sin C 三點(diǎn)是正弦函數(shù)上的點(diǎn)，它們構(gòu)成的三角形MNP的重心坐標(biāo)是G ?A+B+C 3 ， ?sin A+ sin B+ sin C 3 ?，

在（0， π ）范圍內(nèi)正弦函數(shù)圖象如圖1 所示，△MNP 的重心坐標(biāo)滿足如下條件：

sin A+ sin B+ sin C 3 ≤f ?A+B+C 3 ?，

所以可證明

sin ?A+B+C 3 ≥ ?sin A+ sin B+ sin C 3 .

6 結(jié)語(yǔ)

總之，構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用，利用構(gòu)造函數(shù)法能夠創(chuàng)新高中數(shù)學(xué)解題思路方法，對(duì)于解決一些難以形成簡(jiǎn)單快捷高效解題思路的復(fù)雜問(wèn)題有著明顯優(yōu)勢(shì)，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的重要途徑，因此，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生巧用構(gòu)造法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)捷高效解題.

參考文獻(xiàn)：

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