有關函數單調性在高中數學解題訓練中的實踐運用

黃倩

【摘 要】 ?函數是初、高中階段數學教學中不可忽視的一項重要教學內容，幾乎貫穿于整個數學課程體系，是日常學習中的難點之一，也是高考中的一個常考點，備受廣大師生的關注.在函數中涉及的知識點也較多，單調性即為其中一個，在高中數學解題訓練中，教師可以指引學生運用函數單調性解決問題，讓他們充分體會函數知識的重要性和價值.本文針對函數單調性如何在高中數學解題訓練中運用做探討，同時分享一些實踐案例.

【關鍵詞】 ?函數單調性;高中數學;解題教學

函數單調性又稱為函數的增減性，指的是當某一函數的自變量在其定義區間內增大或者減小時，函數值也隨之增大或者減小，屬于函數的一個重要性質，在一些題目的求解中合理應用，具有化繁為簡、化難為易的功效.在高中數學解題訓練中，教師應強調函數單調性的廣泛運用，讓學生以深刻理解函數單調性的本質為基本前提，根據實際題目靈活解題，使其快速找到解題的突破口，形成簡潔、清晰的解題思路，使他們的整體解題水平更高.

1 運用函數單調性的定義解答題目

定義屬于函數單調性的基礎性知識，高中生通過學習都了解函數單調性的定義，這是運用函數單調性進行解題的基本方法，不過前提是他們需熟練掌握定義法證明函數單調性的步驟，當遇到帶有無理式的函數試題時，要注重無理式的有理化處理.在運用函數單調性解答高中數學試題時，定義法也是一種必須要考慮到的方法，特別是有的題目明確指出要使用定義法，這時學生就要充分掌握運用定義法證明函數單調性，從而高效解題 [1] .

例1 ??（1）已知函數f（x）=x+ x 2+2 （x∈ R ?），用單調性定義證明函數y=f（x）在 R 上是單調遞增函數；（2）已知函數f（x）=ax+ b x （a>0，b>0），嘗試判斷該函數的單調性，并求出它的單調區間.

解析 ??學生讀完題目以后，發現第一道題目在題干中直接說明要用到函數的單調性進行證明，而第二道題目則是明確要求判斷出這一函數的單調性，并求出單調區間，所以均要用到函數單調性知識.

（1） ?證明 ??假設x1，x2∈ R ，其中x1＜x2，

所以f（x1）－f（x2）=x1+ x 21+2 －x2－ x 22+2 =x1－x2+ （x1－x2）（x1+x2） ?x 21+2 + x 22+2 ?＝（x1－x2） ?x 21+2 +x1+ x 22+2 +x2 ?x 21+2 + x 22+2 ?，

由于x1－x2<0， x 21+2 +x1>0， x 22+2 +x2>0， x 21+2 + x 22+2 >0，據此說明f（x1）

（2） ?解 ??因為f（x）=ax+ b x （a>0，b>0）的導數是f′（x）=a- b x 2 = ax 2-b x 2 ，令f′（x）>0，得出x> ?b a ?，或x<- ?b a ?，所以f（x）的遞增區間是 -∞， ?b a ??， ??b a ，+∞ ?，

減區間是 - ?b a ?，0 ， 0， ?b a ??.

2 使用函數單調性解答方程類題目

高中生學習函數單調性這一知識點時，已經學習過基礎方程與函數等相關知識，針對求解方程類的題目已經掌握一定的思路和方法，可以自行歸納函數與方程的關系，而且求解方程本身就是一個求解等式的過程，涉及多個數學知識點，相應的求解方法多種多樣.在高中數學解題訓練中，處理一些比較特殊的方程或者高次方程類的試題時，教師可引領學生使用函數單調性知識進行求解，使其嘗試運用新的方法解方程，由此拓展他們的解題思路 [2] .

例2 ??已知方程x 3+2x+（x+1） 3+1=0，那么該方程的解是什么？

解析 ??因為題目中提供的方程是一個典型的高次方程，解題難度相對比較大，學生并沒有學習過求解高次方程的方法與技巧，假如參照解低次方程的方式過程較為復雜、步驟繁多，容易出現錯誤情況，不僅影響他們解題的正確度，還不利于他們在數學學習過程樹立自信心，這時教師可以提示學生使用函數單調性來解答這一方程題目，讓他們把原方程進行變形后結合函數知識進行求解.

解 ??把原方程進行變形，得到x 3+x+［（x+1） ?3+（x+1）］=0，

因為f（x）=x 3+x在區間 －∞，+∞ 上是一個單調遞增函數，還是一個奇函數，

那么能夠把原方程轉變成f（x）+f（x+1）=0，

即為f（x+1）=－f（x）=f（－x），

由于f（x）是一個單調遞增函數，

所以x+1=－x，解得x=－ 1 2 ，即該方程的解是－ 1 2 .

在解答這一方程題目時，通過合理運用函數單調性可以有效簡化方程的求解過程，從本質上來講應用的就是函數單調性的基本概念和性質.

3 采用函數單調性解答不等式題目

不等式作為數學知識體系中的一個關鍵內容，學生從小學階段就開始接觸基本的不等式知識，隨著學習階段的提升，所研究的不等式知識也越來越深奧，題目難度更是有所增加，對他們的知識應用能力與解題能力的要求也更高.針對高中數學解題訓練來說，當遇到一些特殊或比較復雜的不等式題目時，教師可提示學生采用函數單調性進行求解，并結合不等式的分類、換元法、數形結合等處理試題，使其找到更為簡便的解法，讓他們得到正確結果 [3] .

例3 ??已知a，b，c∈ R ， a <1， b <1， c <1，請證明ab+bc+ca>－1.

解析 ??這是一道常見的不等式類試題，如果學生直接運用不等式知識進行證明，雖然也能夠把結論證明出來，但是過程異常復雜，容易犯錯，比較耗費精力與時間，教師可以提醒他們采用函數單調性來證明，使其找到較為簡便的證明方式.

解 ??可以把a視作變元x，由此構造出函數f（x）=（b+c）x+bc+1，

這時只需要證明x∈（－1，1）時，f（x）＞0恒成立即可，

當b+c=0時，f（x）=1－b 2>0恒成立；

當b+c≠0時，函數f（x）=（b+c）x+bc+1在x∈（－1，1）是單調的，

因為f（1）=b+c+bc+1=（b+1）×（c+1）>0，

f（－1）=－b－c+bc+1=（1－b）（1－c）>0，

綜上可以說明f（x）=（b+c）x+bc+1在x∈（－1，1）上的值是恒大于0的，

所以當a，b，c∈ R ， a <1， b <1， c <1，ab+bc+ca>－1恒成立，題目中的結論得以證明.

4 借助函數單調性求參數取值范圍

在高中數學課程教學中，函數教學的重要性不言而喻，不僅涉及大量的知識要點，在解題環節也有著廣泛運用，除能夠用來處理函數自身方面的問題以外，還適用于其他數學試題的求解，不過學生要牢固掌握函數中的變化特征，自然也包括函數的單調性，他們還需具備一定的解題技巧.對此，高中數學教師可以指導學生借助函數單調性處理參數取值范圍類的試題，將原問題轉變為不等式恒成立問題，讓他們精準找到解題的切入點 [4] .

例4 ???已知存在一個實數a，函數f（x）=（x 2－4）·（x－a）在區間 －∞，－2 與區間 2，+∞ 上均單調遞增，那么參數a的取值范圍是什么？

解析 ??審題后可以發現，這是一道典型的求參數取值范圍類的題目，處理這類試題的關鍵之處在于運用題干中提供的已知信息與條件尋找切入點，由于題目中明確指出該函數在以上兩個區間內是單調遞增的，所以教師可以提示他們借助函數單調性來求參數a的取值范圍.

解 ???由于f′（x）=3x 2－ax－4，且函數f（x）在區間 －∞，－2 與區間 2，+∞ 上均單調遞增，

則函數f′（x）=3x 2－ax－4在區間 －∞，－2 與區間 2，+∞ 上的值是大于等于0的，

而且函數f′（x）=3x 2－ax－4的圖象開口向上，還經過點（0，4），

再結合題目中給出的已知條件能夠得到f′（－2）≥0，f′（2）≥0，解得-2≤a＜2，

綜上可得在函數f（x）中參數a的取值范圍是 －2，2 .

5 利用函數單調性解復合函數題目

通俗來講，復合函數就是函數套函數，將幾個簡單的函數復合成一個相對復雜的函數，而且不一定只含有兩個函數，有時甚至會含有兩個以上的函數，雖然從題目本身來看顯得較為復雜，但是只要掌握一定的竅門，難題也就很快地迎刃而解.對于高中數學解題訓練而言，當遇到一些復合函數類的題目時，除使用一些常規方法外，教師可引導學生利用函數單調性找到簡便的解題方法，使其把復合函數進行合理的拆分，然后逐個分析它們的單調性，匯總后求解 [5] .

例5 ???請判斷出復合函數f（x）=3 x 2+1 的單調性.

解析 ??這是一道明顯的函數套函數類試題，雖然函數的解析式不長，但是里面涉及兩個函數，學生看到這類題目時，往往一時之間會不知所措，不知道從何處著手，極易陷入困境之中，此時教師可引領他們利用函數單調性來解答這一復合函數題目，先把原函數拆分成兩個單獨函數，再逐個判斷這兩個單獨函數的單調性，然后綜合起來結合函數單調性的特征展開判斷.

解 ??首先根據題意可知該函數的外層函數f（t）=3 t，內層函數是t=x 2+1，其中外層函數f（t）=3 t是一個底數比1大的指數函數，在 R 上單調遞增，而內層函數t=x 2+1，是關于y軸對稱的偶函數，在區間 －∞，0 上單調遞減，在區間 0，+∞ 上單調遞增，然后根據復合函數同增異減的原則判斷出該復合函數在區間 －∞，0 上單調遞減，在區間 0，+∞ 上呈單調遞增，由此順利求得準確結果.

6 應用函數單調性搭配求導來解題

在高中數學解題訓練中，可用的數學知識點有很多，除函數的單調性知識以外，還有集合、不等式、三角公式、數列、方程和求導等，其中求導屬于數學計算中的一個常用計算方法，含義是當自變量的增量趨向于0時，因變量和自變量的增量之商的極限，不少函數都存在導數.高中數學教師在解題中，可指導學生應用函數單調性搭配求導進行解題，其中求導是分析函數單調性的前提，這是一種比較簡單的解題方法，能有效提高他們的解題效率 [6] .

例6 ??已知函數f（x）= ln x－ax，g（x）= e ?x－ax，其中a是一個實數，假如函數f（x）在區間 1，+∞ 單調遞減，而且函數g（x）在區間 1，+∞ 上存在最小值，那么實數a的取值范圍是什么？

解析 ??這是一道可導函數類的題目，處理這類試題的解題方程是以求導為基礎的，不過教師可指引他們借助函數單調性搭配求導進行解題，幫助他們簡化解題思路，使其順利解答這一試題.

解 ??由于f′（x）= 1 x -a= 1－ax x ，考慮到函數f（x）的定義域是（0，＋∞），而且函數f（x）在區間 0，+∞ 上呈單調遞減，

則a>0，f′（x）<0，得到x> 1 a ，

所以函數f（x）在區間 ?1 a ，+∞ 上單調遞減，

由于函數f（x）在區間 1，+∞ 上單調遞減，

所以 1，+∞?1 a ，+∞ ，

由此得到 1 a ≤1，a≥1.

令g′（x）= e ?x－a=0，則x= ln a，

當x< ln a時，g′（x）>0，g（x）單調遞減；

當x> ln a時，g′（x）<0，g（x）單調遞增；

因為g（x）在區間 1，+∞ 上存在最小值，所以當 ln a>1時，a> e ，

綜上，a的取值范圍是 ?e ，+∞ .

6 結語

總而言之，在高中數學解題訓練中，函數單調性有著廣泛的運用范圍，適用于多類數學題目，教師應深刻意識到函數單調性在數學解題中的功能和作用，引領學生結合實際解題需求靈活自如、巧妙恰當地運用函數單調性，使其把抽象化、復雜化的數學題目變得具體化、簡單化，降低解題難度，更好地進行自主求解，同時不斷培養與提升他們的數學解題能力.

參考文獻：

[1] 郝玉奎.函數單調性在高中數學解題中的有效應用[J].高中數理化，2021（22）：17-18.

[2]聞琳.高中數學函數單調性解題技巧——以蘇教版高中數學為例[J].理科愛好者（教育教學），2020（04）：68-69.

[3]王世龍.試論函數單調性在高中數學中的學習及應用[J].數理化解題研究，2020（09）：8-9.

[4]路梅芳.函數單調性在高中數學中的學習與運用[J].課程教育研究，2019（44）：164.

[5]柏元兵.函數的單調性在高中數學中的學習與應用[J].高考，2019（12）：80.