高中數學導數的解題方法研究

牛云山

【摘 要】 ?數學作為高中階段的一門核心學科，有利于學生思維能力和問題解決能力的培養.在現階段的高中數學教學中，導數知識是學生學習的難點，特別是導數知識的應用難以取得良好的教學效果.因此，作為高中數學教師，應當重視導數解題教學，結合具體的例題，傳授學生解題方法，提高學生解題能力.

【關鍵詞】 ?高中數學；導數；解題教學

高中數學課程中導數占據著非常重要的位置，是學生的必修內容之一.其主要作用體現在促使學生對數學知識的認識從靜態轉為動態、從有限轉變為無限，且在一定程度上促進了學生辯證思維方式的形成.結合教材內容來看，導數運算包括零點、不等式恒成立、極值等，學習難度非常高.在考試中也經常以壓軸題的形式出現.這就給教師教學帶來了挑戰.本文圍繞導數解題這一中心點展開了分析、討論，意在幫助更多的學生提高導數解題能力.

1 解題前提——了解命題知識點

知己知彼方能百戰百勝.若想真正提高學生的解題能力，教師就要全方面把握導數命題形式、內容，實施導數解題方法專題教學，幫助學生梳理導數命題思路，構建導數解題框架 [1] .結合歷年高考試題、數學教材來看，導數命題所涉及的知識點主要包括：

第一，基本定義與性質.具體是指導數、函數凹凸性等知識點的定義域性質.以函數凹凸性中的凸函數為例，高中階段常用到的性質有一階導數與函數的關系：若函數f x 在區間I上可導，則有函數f x 在區間I上是下凸的充分必要條件是f′ x 區間I上是單調遞增，反之，單調遞減；二階導數與函數的關系：若函數f x 在區間I上存在二階導數，則在區間I內f″ x 大于零時，原函數在區間I上是下凸函數.反之，為上凸函數；凸函數與切點的關系：若函數f x 是下凸函數，在點P x0，f x0 ?處有切線y=kx+b，則f x ≥kx+b.反之，f x ≤kx+b.在高考試題中曾出現過考查上述性質的題目：已知函數f x =a e ?2x + a－2 ?e x－x，討論f x 的單調性.若f x 存在兩個零點，則a的取值范圍.

第二，定理與公式.主要是指洛必達法則、中值定理、泰勒公式等.考查這些定理、公式的題目一般都是作為壓軸題出現，難度高、推導煩瑣.在實際考試中大部分學生經常放棄這類題目.對此，教師可將相關題目整理在一起，開設專題解題教學.

第三，思想方法.主要包括極限、積分、方程等思想.以積分思想為例，主要是考查定積分性質、微積分基本定理、定積分的幾何意義，涉及不等式、數列等知識點，難度系數也非常高.

2 解題關鍵——靈活運用數學思想

運用解題思想的優勢在于能幫助學生建立解題大局觀，從整體上明確題目類型、考查要點及解題思路，減少學生做“無用功”.常用于導數解題的數學思想包括數形結合思想、整體代換、分類討論思想等 [2] .以數形結合思想為例，其實質是將數、形結合在一起，使題干中原本抽象、呆板的數據信息，以圖形、數據形式呈現出來，方便學生從中找到數據信息的內在規律，從而獲得解題思路、技巧.

例如 ??這樣一道題目：不等式 x－1 ??2< log ?ax在x∈ 0，1 上恒成立，則a的取值范圍是什么？在啟發學生思考時教師可先讓學生觀察不等式左右兩邊 x－1 ??2與 log ?ax，一個是二次函數，一個是對數函數.然后詢問學生：能用直接化簡的方法計算嗎？此時學生很容易就能得出結論：如果直接化簡只能化簡二次函數，對數函數很難化簡.接下來，再詢問學生題干給出了兩個函數的共同區間x∈ 0，1 ，能不能通過函數的定義與性質，選取某種方法進行兩個函數對比呢？這樣經過學生的思考和討論很容易得出結論：可利用數形結合的思想，分別畫出二次函數、對數函數圖形，然后在區間內對比兩個函數圖象的走向，就能得到最終結論.最后，教師就可以讓學生自主計算、畫圖，令f x = x－1 ??2，g x = log ?ax，得到如圖1所示的兩個函數圖象，再進行分析：滿足不等式 x－1 ??2< log ?ax在x∈ 0，1 上恒成立的實數a的取值范圍應該是 0，1 .在完成上述習題教學后，教師還可進行數形結合思想常用導數題型的匯總，并適當地設計專項練習題，確保學生能完全掌握數形結合思想，再遇到類似題目時能迅速想到數形結合思想.

3 解題難點—合理選擇解題技巧

針對導數解題而言，不同類型的習題都有與之相對應的解題技巧.教師可以進行歸納、總結，并分門別類地講解給學生.

一般來說，導數題型包括七大類：第一類是導數單調性、極值、最值直接應用.也就是題目明確給出的條件或問題是函數在某個區間的單調性、極大或極小值，最大或最小值.

例如 ??f（x）=（x 2+ax+b） e ?x（x∈ R ），求解：①當a=2，b=－2時，函數f x 的極值，②若x=1是函數f x 的一個極值點，求函數f x 的單調區間.

針對這類的解題技巧是對函數f x 進行求導，并結合極值的定義與性質，直接進行計算.因為這類題型沒有涉及太多的公式、定理，相對來說比較簡單.

第二類是交點與根的分布.主要是給出的條件或問題是函數圖象與坐標軸或者其他函數圖象的交點及根.一般情況下，這種題型還會涉及極值、函數單調性等知識點 [3] .

例如 ??已知x=3是函數f x =a ln ?1+x +x 2－10x的一個極值點.①求出a及函數f x 的單調性，如果直線y=b與函數f x 的圖象有三個交點，求b的取值范圍.

結合題干信息可知f x =a ln ?1+x +x 2－10x，那么f′ x = a 1+x +2x－10，若x=3是函數f x =a ln ?1+x +x 2－10x的一個極值點，則f′ 3 = a 1+3 +2×3－10=0，則a=16.代入導數函數得f′ x = 16 1+x +2x－10= 2 x－1 ?x－3 ?x+1 ，令f′ x =0，可得x=1，x=3，根據導數函數隨x的變化可知函數f x 的增區間是 －1，1 ， 3，+∞ ，減區間是 1，3 .再根據直線y=b與函數f x 的圖象，觀察就能夠得到b的取值范圍是 32 ln 2－21，16 ln －9 .

第三類是不等式的證明.主要采用差值函數法、放縮法、隔離分析最值法、換元法四種方法.

例如 ??這樣一道題目：已知函數f x = ln x+ax 2－x，a≥0，討論函數單調性.若函數g x =f x + e ?x+ 1－a x 2－ ln x，證明x>0時，g x > 1 2 x 3+1.

做題技巧是作差：g x － 1 2 x 3－1，構造出新函數h x =g x － 1 2 x 3－1，通過研究新函數的單調性，來判斷不等式是否成立.

第四類是不等式恒成立，求參數的取值范圍.這類題型非常常見，解題技巧大同小異.主要是采用分離參數法、構造函數法.其中構造函數法更為常見.

第五類是函數與導函數性質的綜合應用.這類題型比較基礎，其主要解題技巧是充分利用函數單調性、極值等基礎知識，進行分析、運算.

第六類是導數應用.即導數在生活實際問題解決中的應用.比如利潤最大、效率最高等，歸根究底屬于函數最值問題，結合導函數基本性質即可計算.

第七類是導數與三角函數的綜合應用.此類題型的解題技巧是靈活變形三角函數，并根據三角函數公式及其有界性、導數基本性質進行運算.或者是采用數形結合思想，將三角函數與坐標軸聯系起來.

4 結語

總而言之，學生掌握導數解題方法的前提是充分了解導數命題所涉及的知識點，做到心中有數.在此基礎上，綜合利用各種解題思想、解題技巧，才能在有限的時間內，精準、快速地找到解題思路，完成推導，從而得出正確的結論.

參考文獻：

[1] 劉芳英.高中數學導數解題方法及策略探微[J].試題與研究，2021（2）：1.

[2]鄭玉蘭.高中數學導數解題方法及策略探微[J].教育界，2020（2）：55-56.

[3]陳東進.探析高中數學導數解題方法[J].中學教學參考，2020（26）：26-27.