向量法在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的有效應(yīng)用

李鹿雷

【摘 要】 ?向量作為近代數(shù)學(xué)中的基本概念之一，將數(shù)與形融為一體.在向量的運(yùn)算中，不僅需要考慮數(shù)的問(wèn)題，同時(shí)需要將量結(jié)合其中，相對(duì)于傳統(tǒng)的運(yùn)算方式來(lái)說(shuō)，向量運(yùn)算具有復(fù)合性特點(diǎn).在高中數(shù)學(xué)解題中，借助向量法，能夠幫助學(xué)生構(gòu)建代數(shù)與幾何的關(guān)系，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，明確問(wèn)題解題思路，幫助學(xué)生快速解題.高中數(shù)學(xué)解題中可以使用向量法解題的題目有很多，如三角函數(shù)、不等式、解析幾何等.本文分析向量法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用策略.

【關(guān)鍵詞】 ?高中數(shù)學(xué)；向量法；解題策略

1 有效應(yīng)用向量法解決不等式類試題

不等式屬于高中數(shù)學(xué)課程中的重要知識(shí)點(diǎn)，也是高考中的必考點(diǎn)之一，相關(guān)題目的解題技巧較強(qiáng)，有的題目比較特殊，直接運(yùn)用不等式知識(shí)求解答的話過(guò)程較為煩瑣，而有效應(yīng)用向量法則往往能夠起到意想不到的效果，快速得到正確答案.對(duì)此，高中數(shù)學(xué)教師在不等式解題教學(xué)中應(yīng)指引學(xué)生打破思維定式，運(yùn)用向量法來(lái)解題，讓他們掌握高效的解題方法 [1] .

例1 ??已知a 2+b 2=1，m 2+n 2=1，那么am+bn的取值范圍是什么？

解析 ??這是一道典型的不等式類試題，教師可以指導(dǎo)他們使用向量法進(jìn)行解題，使其通過(guò)構(gòu)造向量的方式簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

具體解題方式如下：根據(jù)題意設(shè) u =（a，b），

v =（m，n），

根據(jù)a 2+b 2=1，m 2+n 2=1，

能夠得到丨 u 丨＝丨 v 丨＝1，

則 u · v ＝am+bn，

結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義可以得到

u · v ＝| u | | v | cos θ＝ cos θ，

因?yàn)?≤θ≤ π ，所以－1≤ cos θ≤1，

故am+bn的取值范圍是[－1，1].

2 有效應(yīng)用向量法解決三角函數(shù)試題

在處理三角函數(shù)時(shí)，除運(yùn)用三角函數(shù)自身方面的知識(shí)以外，教師還可以提示他們有效應(yīng)用向量法，使其把握好題目中同向量有所關(guān)聯(lián)的點(diǎn)，利用向量間的夾角運(yùn)算來(lái)解答題目，從而找到更為簡(jiǎn)潔的解題思路，提高解題效率.

例2 ??已知 cos α+ cos β－ cos （α+β）＝ 3 2 ，那么銳角α，β的值分別是什么？

解析 ??在解題時(shí)，要求學(xué)生對(duì)題目結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，構(gòu)造向量，利用向量的數(shù)量積公式，完成題目解答.通過(guò)向量法可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程，提高學(xué)生解題效率.

具體解題方式如下：

（1－ cos β） cos α+ sin α sin β= 3 2 － cos β，

通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)的觀察發(fā)現(xiàn)可以使用向量數(shù)量積公式展開(kāi)計(jì)算，

設(shè)向量 a =（1－ cos β， sin β），向量 b =（ cos α， sin α），

故 a · b = 3 2 － cos β，| a || b |= 2－2 cos β ，

由于| a · b |≤| a || b |，

能夠得到 ?3 2 － cos β ≤ 2－2 cos β ，

解之得 cos β＝ 1 2 ，所以說(shuō)β＝ ?π ?3 ，然后把β的值代入已知等式中就能夠求出α的值，即為α＝ ?π ?3 .

3 有效應(yīng)用向量法解決特殊方程試題

當(dāng)遇到部分難度較大或者比較特殊的方程類試題時(shí)，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生有效應(yīng)用向量法，使其在做題過(guò)程中減少對(duì)題目?jī)?nèi)容的思考量，快速找到恰當(dāng)?shù)慕忸}思路，讓他們快速解答試題 [2] .

例3 ??解方程 x ＋ y－1 ＋ z－2 ＝ 1 2 （x＋y＋z）.

解析 ??當(dāng)看到方程中含有多個(gè)根號(hào)時(shí)，學(xué)生往往不知道該如何下手，此時(shí)教師可提示學(xué)生利用向量法解題，根據(jù)題目中的信息，構(gòu)建出合適的向量，將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為向量問(wèn)題，省去一些復(fù)雜的運(yùn)算步驟，從而快速求出準(zhǔn)確答案.

具體解題方式如下：設(shè)向 m ＝（ x ， y－1 ， z－2 ）， n ＝（1，1，1），

則 m ??2＝| m | 2＝x+（y－1）+（z－2）

=（x+y+z）－3，

所以 m · n ＝ x ＋ y－1 ＋ z－2 ，

故原方程能夠轉(zhuǎn)化成 m ??2+ n ??2=2 m · n ，

即為（ m － n ） ?2=0，由此說(shuō)明 m = n ，

解之得x＝1，y＝2，z＝3.

4 有效應(yīng)用向量法解決解析幾何試題

在高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，解析幾何是一類難度較大的知識(shí)，尤其是圓錐曲線中會(huì)面對(duì)一些同圓有關(guān)的試題，以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生采用向量法，使其把數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)量間的積，使其簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，降低解析幾何試題的解題難度.

例4 ??已知橢圓C： x 2 m 2 +y 2 =1，該橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1與F2，直線l：x－my－ m 2 2 =0，且m＞1.

（1）當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F2時(shí)，求解直線l的方程；

（2）直線l與橢圓C的交點(diǎn)是A、B，設(shè)三角形AF 1F2的重心是G，三角形BF 1F2的重心為H，原點(diǎn)O在以線段GH作為直徑的圓內(nèi)，求解實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析 ??第（1）問(wèn)較為簡(jiǎn)單，這里不作分析，關(guān)鍵是第（2）問(wèn)，結(jié)合對(duì)題干信息的閱讀與分析可知，由于原點(diǎn)O在GH為直徑的圓內(nèi)，可以得出∠GOH為鈍角，則OG ?·OH ?＜0，利用圓的性質(zhì)、向量以及重心性質(zhì)，構(gòu)建相應(yīng)的方程組，找出解題的關(guān)鍵，將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

具體解題過(guò)程如下：（1）略.

（2）設(shè)A與B坐標(biāo)分別是（x1，y1），（x2，y2），

根據(jù)題意可知x=my+ m 2 2 ， x 2 m 2 +y 2 =1，

據(jù)此建立一個(gè)方程組，消元后得到

2y 2+my+ m 2 4 －1=0，

根據(jù)Δ＝m 2－8 ?m 2 4 －1 =－m 2+8＞0，

得到m 2＜8，

則y1+y2=－ m 2 ，y1y2= m 2 8 － 1 2 ，

故OA ?·OB ?＝（m 2+1） ?m 2 8 － 1 2 ?＜0，

解之得1＜m＜2.

5 有效應(yīng)用向量法解答立體幾何問(wèn)題

在高考數(shù)學(xué)中，立體幾何是必考內(nèi)容之一，解題思路通常分為兩種模式，一種是直接利用立體幾何自身的知識(shí)來(lái)求解，另外一種是采用向量法進(jìn)行求解，假如找到空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，運(yùn)用向量法更是具有事半功倍的作用.這就要求高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該為學(xué)生講解向量法解答立體幾何試題的技巧，指導(dǎo)他們有效應(yīng)用向量法證明線面垂直、面面垂直于二面角.

例5 ??已知在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，它的底面ABCD是一個(gè)菱形，其中∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ，請(qǐng)證明CC1與BD是垂直關(guān)系.

解析 ??這是一道典型的立體幾何異面直線垂直問(wèn)題，教師可以指導(dǎo)學(xué)生利用向量法進(jìn)行證明，根據(jù)垂直直線的向量和為零，利用向量公式和定理，完成題設(shè)的證明.

具體證明方式如下：根據(jù)題意可設(shè)CD ?＝ a ，CB ?＝ b ，CC1 ?＝ c ，由于底面ABCD是一個(gè)菱形，

故 ?a ?= ?b ?，所以BD ?＝CD ?－CB ?＝ a － b ，

由于CC1 ?·BD ?＝ c · （ a － b ）＝ c · a － c · b = ?c ???a ??cos θ－ ?c ???b ??cos θ=0，

據(jù)此可以得知CC1 ?與BD ?是垂直關(guān)系，那么CC1與BD同樣是垂直關(guān)系.

參考文獻(xiàn)：

[1] 陳蘇平.高中數(shù)學(xué)解題中向量法的運(yùn)用[J].數(shù)理化解題研究，2022（07）：36-38.

[2]徐波.探討向量法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].試題與研究（高考版），2020（06）：24.