解答三角函數(shù)問(wèn)題的常見數(shù)學(xué)思想應(yīng)用分析

張守城 唐玲

【摘 ?要】 ?三角函數(shù)是對(duì)高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)與三角形知識(shí)的重要延伸，同時(shí)也是高中數(shù)學(xué)中的重難點(diǎn)知識(shí)之一.與三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，其命題形式靈活多變且具有一定難度，結(jié)合常見的數(shù)學(xué)思想有助于問(wèn)題的解答.本文主要介紹兩種常見數(shù)學(xué)思想求解高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)問(wèn)題，以此幫助學(xué)生快速找到解題關(guān)鍵，從而提高解答三角函數(shù)問(wèn)題的效率.

【關(guān)鍵詞】 ?高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；數(shù)形結(jié)合

1 ?數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是解答三角函數(shù)問(wèn)題的基本且重要的思路，運(yùn)用的關(guān)鍵在于根據(jù)三角函數(shù)解析式得到相關(guān)圖象，再?gòu)木唧w圖象出發(fā)得到滿足要求的關(guān)系等式，從而對(duì)問(wèn)題做出完整解答.數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，在三角函數(shù)解析式問(wèn)題、具體函數(shù)值問(wèn)題都有明顯體現(xiàn).運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，一般解題步驟可表現(xiàn)為：①結(jié)合已知條件畫出具體三角函數(shù)圖象，②分析圖象特點(diǎn)，結(jié)合具體值得到三角函數(shù)的周期大小、拐點(diǎn)坐標(biāo)，③將圖象的坐標(biāo)、值的大小代入相關(guān)等式中，得到問(wèn)題所求.

例已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，試求函數(shù)的解析式.

圖

剖析 該題主要對(duì)三角函數(shù)的圖象進(jìn)行具體分析，從圖象可得知拐點(diǎn)坐標(biāo)、與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入三角函數(shù)解析式中，可求出的大小，即可得到三角函數(shù)的具體解析式.

解析 ?由圖象可知，

且，

得.

又因?yàn)椋?/p>

所以，

將最高點(diǎn)代入上式，

可知，

故，

因?yàn)椋裕?/p>

故函數(shù)解析式為.

例已知，，在上恰有個(gè)極值點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為_____.

剖析首先根據(jù)問(wèn)題要求得到三角函數(shù)解析式，在規(guī)定范圍內(nèi)求解三角函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，可以結(jié)合三角函數(shù)具體圖象進(jìn)行解答，即在規(guī)定區(qū)間內(nèi)有三個(gè)拐點(diǎn)，可根據(jù)圖象列出不等式，運(yùn)算求解即可得知實(shí)數(shù)的取值范圍.

解析由題意可得，

令，則有，

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上有個(gè)極值點(diǎn)，

圖2

由圖象可得，，

解不等式可得，

故正實(shí)數(shù)的取值范圍為.

2 ?等價(jià)轉(zhuǎn)化思想

等價(jià)轉(zhuǎn)化思想也是求解三角函數(shù)問(wèn)題的常見思路之一，著重于將三角函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如將三角函數(shù)極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程實(shí)數(shù)根問(wèn)題.等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，在三角函數(shù)的取值范圍問(wèn)題、三角函數(shù)的極值問(wèn)題都有一定體現(xiàn).運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想解題，一般解題步驟為：①分析問(wèn)題要求，考慮三角函數(shù)問(wèn)題的具體轉(zhuǎn)化方向，如函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題、方程的實(shí)數(shù)根問(wèn)題等方向，②等價(jià)轉(zhuǎn)化問(wèn)題后，列出相關(guān)關(guān)系式，運(yùn)算求解得到答案.

例已知，函數(shù)的周期為，當(dāng)時(shí)，方程恰好有2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

剖析 首先對(duì)問(wèn)題做出分析，與三角函數(shù)有關(guān)的方程實(shí)數(shù)根問(wèn)題可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)與其他函數(shù)之間的交點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)三角函數(shù)圖象的變化列出對(duì)應(yīng)不等式，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

解析 ?由題意可得的最小正周期為，

因?yàn)椋?em>，

令，由，

則有，

如圖所示，若在上存在兩個(gè)不同解，

則，

圖

所以方程在恰有2個(gè)不同實(shí)數(shù)根，恒有，

故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

3 ?結(jié)語(yǔ)

數(shù)形結(jié)合思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想都是解答三角函數(shù)問(wèn)題的有效思路，在解答過(guò)程中存在交叉現(xiàn)象，即兩種數(shù)學(xué)思想既能單獨(dú)運(yùn)用在三角函數(shù)問(wèn)題上，也能同時(shí)出現(xiàn)在三角函數(shù)問(wèn)題解答過(guò)程中.熟練掌握三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，采取合適的數(shù)學(xué)思想解答三角函數(shù)問(wèn)題，也就達(dá)到同學(xué)們學(xué)習(xí)和訓(xùn)練的根本目的.

參考文獻(xiàn)：

• 張起洋.高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用探究[J].數(shù)理化解題研究（高中版），2017（06）：39.

[2]喇玉萍.運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，解答三角函數(shù)問(wèn)題[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)（高中版中旬），2020（11）：43.