數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

蔡秋峰

【摘 ?要】利用數(shù)形結(jié)合法可以求解函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，包括求函數(shù)零點(diǎn)的和、比較零點(diǎn)的大小關(guān)系、參數(shù)的取值等.具體求解時(shí)需要整理變形函數(shù)，繪制函數(shù)圖象；再分析圖象作出判斷，代數(shù)運(yùn)算完成求解.本文結(jié)合實(shí)例探究數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，總結(jié)方法過(guò)程.

【關(guān)鍵詞】 ?高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)零點(diǎn)

函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的類型眾多，具體求解時(shí)可以采用數(shù)形結(jié)合的探究方法，即轉(zhuǎn)化零點(diǎn)問(wèn)題，繪制函數(shù)圖象，結(jié)合圖象分析判斷，代數(shù)運(yùn)算推理求解.下面結(jié)合實(shí)例探究數(shù)形結(jié)合法在三大零點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用.

探究一 ?數(shù)形結(jié)合求函數(shù)零點(diǎn)的和

利用數(shù)形結(jié)合法求解函數(shù)零點(diǎn)和，即利用函數(shù)圖象來(lái)判斷函數(shù)的零點(diǎn)，再通過(guò)運(yùn)算求解零點(diǎn)之和的方法.求解時(shí)可分兩步進(jìn)行：第一步，首先根據(jù)給定區(qū)間的函數(shù)解析式作出圖象，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)補(bǔ)全圖象；第二步，分析函數(shù)圖象，確定函數(shù)零點(diǎn)，運(yùn)算求解零點(diǎn)之和.

例1 ?函數(shù)，則的圖象在內(nèi)的零點(diǎn)之和為（???）

（A）2. （B）4. （C）6. （D）8.

解析由可得.

則函數(shù)與函數(shù)的圖象在內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)，

又函數(shù)與函數(shù)的圖象都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)與函數(shù)的大致圖象，如圖1所示.

由圖象可知在內(nèi)有四個(gè)零點(diǎn)，則零點(diǎn)之和為4，答案為（B）.

評(píng)析上述利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)求解函數(shù)的零點(diǎn)之和，針對(duì)復(fù)合函數(shù)采用拆解構(gòu)造的方法，分別繪制函數(shù)圖象，利用圖象中的函數(shù)交點(diǎn)來(lái)確定原函數(shù)零點(diǎn)，并求解零點(diǎn)之和.

探究二 ?數(shù)形結(jié)合比較零點(diǎn)的大小關(guān)系

采用數(shù)形結(jié)合法可以比較函數(shù)零點(diǎn)的大小關(guān)系，即利用函數(shù)圖象中零點(diǎn)位置的相對(duì)關(guān)系來(lái)作出判斷的方法.求解時(shí)同樣可分兩步進(jìn)行：第一步，觀察分析所屬函數(shù)的解析式，并畫出函數(shù)圖象；第二步，分析圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)的大小，再判斷所求數(shù)的大小關(guān)系.

例2 已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為a，b，c，則a，b，c的（ ??）

（A）. ???????（B）.

（C）. ???????（D）.

解析由題可得a，b，c即為的圖象分別與，，的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).在同一坐標(biāo)系中畫出三函數(shù)的圖象，如圖2所示.由圖可得，，所以答案為（A）.

上述求解時(shí)采用數(shù)形結(jié)合法來(lái)分析函數(shù)零點(diǎn)的大小關(guān)系.所涉三函數(shù)中均含有，從而將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的圖象分別與，，的交點(diǎn)，從而可直接利用圖象來(lái)判斷零點(diǎn)的大小關(guān)系.

探究三 ?數(shù)形結(jié)合求零點(diǎn)問(wèn)題的參數(shù)范圍

數(shù)形結(jié)合法也可求解零點(diǎn)問(wèn)題中的參數(shù)范圍，具體求解時(shí)可根據(jù)函數(shù)解析式來(lái)繪制圖象，分別討論參數(shù)不同取值情況下零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或取值，從而作出判斷.破題核心思想為數(shù)形結(jié)合與分類討論.

例3 ?已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)，在區(qū)間上有10個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（ ??）

（A）. ???（B）. ???（C）.????（D）.

解析由可得是一個(gè)周期為2的奇函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，

因此，.

因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，

所以，，，

且的周期為，且，

，，，.

求的零點(diǎn)，即是與的交點(diǎn)，如圖3所示為與在區(qū)間的交點(diǎn)圖形.

因?yàn)榕c均為周期為2的周期函數(shù)，因此交點(diǎn)也呈周期出現(xiàn)，由圖可知的零點(diǎn)周期為，若在區(qū)間上有10個(gè)零點(diǎn)，則第10個(gè)零點(diǎn)坐標(biāo)為，第11個(gè)零點(diǎn)坐標(biāo)為，因此，所以答案為（A）.

評(píng)析 ?上述采用數(shù)形結(jié)合的方法求解零點(diǎn)中的參數(shù)取值，分析函數(shù)性質(zhì)繪制函數(shù)大致圖象，再結(jié)合圖象來(lái)討論滿足條件的參數(shù)m的取值.

結(jié)語(yǔ)

總之，上述探究了利用數(shù)形結(jié)合法求解函數(shù)零點(diǎn)的三類問(wèn)題，涉及了求零點(diǎn)之和、零點(diǎn)大小判斷和參數(shù)取值.整體上可分為兩大過(guò)程：過(guò)程一，變形整理函數(shù)，函數(shù)圖象確定零點(diǎn)；過(guò)程二，解析討論圖象，確定最終結(jié)論.探究學(xué)習(xí)還需注意方法綜合，包括構(gòu)造函數(shù)，分類討論，化歸轉(zhuǎn)化.