一道解三角形取值范圍問題的解法

周春生

【摘 ?要】??解三角形是高考的高頻考點，要求學生能利用正弦、余弦定理，三角形的內角和定理，面積公式等綜合知識來解三角形，在解題的過程中體會數形結合、轉化與化歸的數學思想.本文以一道解三角形取值范圍的題目，結合余弦定理、基本不等式、海倫公式等知識點進行求解，拓寬解題思路.

【關鍵詞】 ?高中數學；解三角形；余弦定理

題目已知非等腰的內角的對邊分別是，且，若為最大邊，則的取值范圍是（ ??）

分析題中已知的關系，可以以余弦定理為切入點進行解答.由的取值范圍可以聯想到用三角形三條邊的定理和基本不等式的知識點進行求解.

1 ?運用余弦定理求解

已知的關系，便可以使用余弦定理得到，對其兩邊進行平方并拆解，得到條件中等數據，并帶回條件公式，得到的值，使用三角形的三邊定理和基本不等式對取值范圍進行求解，由三角形的兩邊之和大于第三邊得到.

解由余弦定理得

，

.

由條件，

得代入上式得

，.

因為為最大角，所以，

由余弦定理得

，

當且僅當時，取等號，

但是非等腰三角形，故，

即，

由，得，

所以的取值范圍為.

在解題的過程中，對余弦定理公式的兩邊進行平方并拆解的運算量大，需要耐心仔細，靈活使用余弦定理為基本不等式的使用做鋪墊.

2 ?運用海倫公式求解

海倫公式的表達式為為解三角形問題提供了新的方法和思路，公式中的為半周長，表達方式為，將的值代入海倫公式得到三者的關系，再通過題目中已知的三者關系進行轉化得到三角形的面積，并將其轉化為三角函數形式，求出的兩個取值.最后，將條件中的取值范圍轉化為三角函數問題，求出的取值范圍.

解??由海倫公式知

，

又由，

得，

故，

即，

即，

由為最大邊知，，

若，則為等邊三角形，不可能

故，由，得，

，，

故，

若，則，與是非等腰三角形矛盾，故，

故的取值范圍為.

一般地，對海倫公式需要熟練掌握，根據三角形的面積求出∠C的大小，將題目轉化為三角函數進行解答，在運算的過程中同樣需要耐心仔細.

3 ?結語

總而言之，在學習的過程中學生需要掌握解三角形問題中取值范圍問題的常規解法，根據題目給出的條件靈活選擇解決方法，綜合運用學過的數學知識，理順基本知識和答題技巧，提高解題能力.

參考文獻：

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