例講高中數(shù)學(xué)橢圓中的面積問題

童旗軍

【摘 要】 ?圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，圓錐曲線問題是數(shù)學(xué)解題中的難點(diǎn)，特別是其中的面積問題，要求學(xué)生具備較強(qiáng)的綜合能力，考查學(xué)生的模型轉(zhuǎn)化、分析推理等能力.因此，作為高中數(shù)學(xué)教師，傳授學(xué)生橢圓基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，還需要傳授學(xué)生相應(yīng)的解題技巧，提高學(xué)生的解題能力，有效解決橢圓中的面積問題.

【關(guān)鍵詞】 ?高中數(shù)學(xué)；橢圓；面積問題

橢圓是高中數(shù)學(xué)圓錐曲線的典型代表，其中面積問題是橢圓中的常考問題.問題類型主要有面積定值問題、面積最值問題以及面積取值范圍問題.本文針對(duì)不同問題講解相關(guān)理論，結(jié)合例題展示具體解決方法，以供參考.

1面積定值問題

橢圓中面積問題涉及的圖形主要有三角形、四邊形.四邊形中常考的有一般四邊形、菱形以及平行四邊形.無論涉及何種圖形解題時(shí)均可將其轉(zhuǎn)化為三角形進(jìn)行處理.靈活應(yīng)用三角形的多種面積計(jì)算公式，如S=ah，S=absinB等.前者需要求出三角形底邊的長度以及底邊的高.求底邊的長度常將直線和橢圓方程聯(lián)立.求點(diǎn)到直線的距離則應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式.后者需結(jié)合正弦定理、余弦定理進(jìn)行計(jì)算.表示出三角形的面積后，看最終能否將設(shè)出的參數(shù)消掉，若能消掉說明其面積為定值，反之則不是^[1].

例1已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，且點(diǎn)M（1，）在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上，且對(duì)角線AC，BD過原點(diǎn)，直線AC和BD的斜率之積為-，試問四邊形ABCD的面積是否為定值？請(qǐng)說明理由.

分析問題（1）根據(jù)橢圓離心率以及點(diǎn)M在橢圓上，可求得a²=2，b²=1，不難得出橢圓的方程；問題（2）由橢圓的對(duì)稱性得出四邊形ABCD為平行四邊形，將問題轉(zhuǎn)化為求其中△AOB的面積問題.設(shè)出直線AB的方程后，和橢圓方程聯(lián)立計(jì)算出|AB|，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離求出△AOB的高.

解析（1）由e=，可得=.

將點(diǎn)M（1，）代入到+=1，

得到+=1，

而c²=a²-b²，可得a²=2，b²=1，

橢圓的方程為+y²=1，

（2）若直線AB的斜率不存在，設(shè)A（m，n），B（m，-n），C（-m，-n），D（-m，n），

由k_AC·k_BD=-=-，

而+y²=1，則m²=1，n²=；

根據(jù)橢圓的對(duì)稱性不妨取A（1，），B（1，-），C（-1，-），D（-1，），

此時(shí)|AB|=，|AD|=2，則S_{四邊形ABCD}=2；

若直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

將其和橢圓方程聯(lián)立整理等到：

（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，

=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=16k²-8m²+8，

則x₁+x₂=-，x₁x₂=，

由k_AC·k_BD=-，則x₁x₂=-2y₁y₂，

即，x₁x₂=-2（kx₁+m）（kx₂+m），

整理得到：（1+2k²）x₁x₂+2km（x₁+x₂）+2m²=0，

即，2m²=1+2k²，

則=8k²+4＞0，

則|AB|==，

則原點(diǎn)到直線AB的距離d==，

而S_{四邊形ABCD}=4S_△AOB=4×|AB|d=2××=2.

綜上分析四邊形ABCD的面積為定值2.

點(diǎn)評(píng)在橢圓中過原點(diǎn)兩條直線和橢圓交于四點(diǎn)，四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形.對(duì)角線將四邊形的面積分成相等的四份，求解面積只需求其中一個(gè)三角形的面積即可.

2面積最值問題

求橢圓中圖形面積的最值常用的處理方法有兩種：第一種，經(jīng)過運(yùn)算使用參數(shù)表示出圖形面積后，采用拼湊方法將其轉(zhuǎn)化為基本不等式，運(yùn)用基本不等式知識(shí)求出最值.當(dāng)然解題時(shí)需保證等號(hào)能夠取到；第二種，當(dāng)無法拼湊出基本不等式時(shí)需借助函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分析，將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或者其他函數(shù).對(duì)于其他函數(shù)可運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行分析.

例2如圖1，已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F₂，兩焦點(diǎn)的距離為2，其中P（x₀，y₀）為第一象限內(nèi)橢圓C上的一點(diǎn)，PF₁，PF₂的延長線分別和橢圓C交于點(diǎn)Q₁，Q₂，當(dāng)∠F₁PF₂=60°時(shí)，△F₁PF₂的面積為；求：

（1）求橢圓C的方程；

（2）△F₁F₂Q₁和△F₁F₂Q₂的面積分別為S₁，S₂，則S₂-S₁的最大值.

圖1

分析問題（1）設(shè)出PF₁，PF₂的長，運(yùn)用橢圓性質(zhì)及三角形的面積，余弦定理構(gòu)建PF₁，PF₂的方程；（2）結(jié)合圖形將三角形面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為Q₁，Q₂縱坐標(biāo)的關(guān)系.設(shè)出直線PF₁，PF₂的長的方程，分別和橢圓方程聯(lián)立，將Q₁，Q₂縱坐標(biāo)作差運(yùn)用基本不等式求出最值.

解析（1）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，

由橢圓定義可得m+n=2a；

由△F₁PF₂的面積為，

可得mnsin∠F₁PF₂=，

整理得到：mn=.

在△F₁PF₂中，|F₁F₂|=2，

由余弦定理得到：

|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos∠F₁PF₂，

整理得到：m²+n²-mn=8，

易得m+n=4，則a=2，b=，

則橢圓C的方程為+=1：

因P（x₀，y₀）為第一象限內(nèi)，則x₀＞0，y₀）＞0，F₁（-，0），F₂（，0），

則直線PF₁的方程為y=（x+），

將其代入到橢圓C的方程中整理得到：

（2x₀+6）y²-2（x₀+）y-2y₀²=0，

則y₁y₀=，

則y₁=-，

同理得到：y₂=，

則S₂-S₁=|F₁F₂||y₂-y₁|=|y₂-y₁|；

|y₂-y₁|=|+|=||=||==≤=，

當(dāng)且僅當(dāng)=，即，x₀=，y₀=時(shí)取等號(hào)，

此時(shí)S₂-S₁的最大值為.

點(diǎn)評(píng)習(xí)題要求圖形面積差的最值，因兩個(gè)三角形有共同的底|F₁F₂|，則將問題轉(zhuǎn)化為Q₁，Q₂縱坐標(biāo)的差值.通過整理可將其拼湊出基本不等式，借助基本不等式得出結(jié)果，而且等號(hào)能夠取到.

3面積范圍問題

橢圓中圖形面積范圍需找到面積的下限和上限，從這一點(diǎn)來看其比最值問題的運(yùn)算量稍大.該問題中圖形面積的表達(dá)式一般較為復(fù)雜，能否對(duì)面積表達(dá)式進(jìn)行高效、正確地處理是解答該類問題的關(guān)鍵.其中換元法是處理最后結(jié)果的常用方法，能達(dá)到化繁為簡的目的.當(dāng)然換元后仍不能清晰地看到函數(shù)的增減性，可將其局部表達(dá)式拿出來研究，直到問題順利突破^[2].

例3已知A（-2，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足AM和BM斜率之積為-；求：

（1）點(diǎn)M的軌跡曲線C的方程；

（2）曲線C上存在P、Q兩點(diǎn)，且滿足AP⊥AQ，求△APQ的面積取值范圍.

分析問題（1）根據(jù)斜率的關(guān)系，整理便可得出曲線C的方程，需要注意的是直線斜率不存在的情況；問題（2）分別設(shè)出直線AP和AQ的方程和曲線C的方程聯(lián)立，求出|AP|、|AQ|，表示出△APQ的面積，結(jié)合參數(shù)范圍以及函數(shù)性質(zhì)求出其取值范圍.

解析（1）根據(jù)題意直線AM，BM的斜率分別為

k_AM=（x≠-2），k_AQ=（x≠2），

由AM和BM斜率之積為-，得到·=-，

整理得到：+y²=1（x≠±2）；

（2）設(shè)點(diǎn)P在x軸上方，直線AP的斜率為k，則k＞0，

易得直線AP的方程為y=k（x+2），

將其和+y²=1（x≠±2）聯(lián)立整理得到：

（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，

=（16k²）2-4（1+4k²）（16k²-4）=16＞0，

由韋達(dá)定理可得-2x_P=，

則x_P=，

則|AP|=|x_P+2|=||=（*），

因AP⊥AQ，則將-代入（*）得到

|AQ|==，

則S_△APQ=|AP||AQ|=××=；

令t=k+，因k＞0，則t≥2，

則S_△APQ==.

當(dāng)t≥2時(shí)，4t+單調(diào)遞增，

即，4t+≥，

則S_△APQ（0，].

點(diǎn)評(píng)求得的△APQ面積的表達(dá)式較為復(fù)雜，在保證參數(shù)范圍一致的前提下進(jìn)行換元.但是換元后發(fā)現(xiàn)，其不能直接使用基本不等式，此時(shí)需運(yùn)用“對(duì)勾函數(shù)”性質(zhì)求出最值.

4變式訓(xùn)練習(xí)題：

4.1 ?已知F₁，F₂為橢圓已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，以F₁F₂為直徑的圓和橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P，△PF₁F₂內(nèi)切圓的半徑為2-，且△PF₁F₂的面積為1.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過橢圓的右頂點(diǎn)B，作相互垂直的直線和橢圓C分別交于D、E兩點(diǎn)，若直線DE和x軸交于點(diǎn)T，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OTP的面積是否為定值，如果是定值，求出該定值，如果不是說明理由.

答案：+y²=1；是定值，定值為.

4.2 ?已知點(diǎn)A、B分別在直線y=x和y=-x上運(yùn)動(dòng)，且滿足||=，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)G滿足=+.

（1）求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的曲線C的方程；

（2）直線l：y=kx+m（m≠0）和曲線C交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)，|OM|²+|ON|²恒為定值時(shí)，求△MON面積的最大值.

答案：+y²=1；1.

4.3 ?已知橢圓+=1（a＞b＞0），四點(diǎn)P₁（，），P₂（0，1），P₃（1，），P₄（1，-），中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)Q（2，0）的直線l和橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，求△OMN的取值范圍.

答案：+y²=1；（0，].

5 ?結(jié)語

本文通過分析橢圓中面積問題的典型例題，探究具有代表性和針對(duì)性的解題方式，也是解決橢圓中面積問題的有效方法.在面積問題解題中，構(gòu)建相應(yīng)的模型和圓錐曲線，通過聯(lián)立和整合，代入化簡等方式，準(zhǔn)確解答問題.

參考文獻(xiàn)：

[1]雷應(yīng)峽.橢圓中面積類型題的解法探究[J].數(shù)理天地（高中版）， 2022（24）：11-13.

[2]舒文楷陳清華.對(duì)一道橢圓內(nèi)接四邊形的面積最值問題的多視角解析[J].數(shù)學(xué)通訊（學(xué)生閱讀）， 2019（05）：55-57.