高中數學函數問題中有效回避分類討論的若干策略

林俊杰

摘? 要：分類討論是常見且重要的一種解題策略，它較好地體現了對“能力”的考查，備受命題者的關注，但分類討論需做到不重不漏，這就對思維的嚴謹性提出了較高的要求，學生常常會因為考慮不全面而導致解題失誤。從優化解題過程、提高解題效率的角度來思考，有些問題可簡化或避免分類討論。文章結合例題，探析在高中數學函數問題中避免分類討論的若干策略。

關鍵詞：高中數學；分類討論；函數問題

分類討論是高中數學中必須掌握的數學思想之一，掌握分類討論的思想方法有利于培養學生全面嚴謹的數學思維能力，并能夠有邏輯地分析、解決問題。然而，這種數學思想方法對學生來說，難度非常大，掌握情況并不理想。具體表現在：沒有分類討論的意識，不知道分類討論的標準及討論的內容。大多數分類討論的問題都與參數有關，其實質是“化整為零，各個擊破”，而事實上，并非所有含參數的問題都一定要分類討論，如果能夠優化解題思路，選擇更好的解題策略，消除引起討論的因素，就能夠有效避免分類討論，從而達到簡化解題過程的目的，擺脫大量而煩瑣的討論，減少出錯機會。下面結合具體實例談談有效避免分類討論的幾個策略。

一、挖掘隱含條件有效避免討論

有些數學題目中會有一些隱含條件，如果稍加留意，充分挖掘，就能避免復雜的分類討論，從而簡化解答過程。

有些問題直接分類求解，費時費力，如果能充分挖掘條件中的隱含信息，從特殊入手，壓縮參數范圍，往往能減少分類討論，甚至回避分類討論。本題原來應從n≤1，m<1

二、進行等價轉化有效避免討論

在解答有些問題時，有時可以將題目中的條件進行合理變形或等價轉化，結合一定的運算技巧就可避免分類討論。

例2 設函數f（x）=lgx，若0f（b），求ab的取值范圍。

對一些含絕對值號的問題，要常常利用公式、性質進行合理計算，將其等價轉化為不需要分類討論的問題加以解決。本題先通過觀察題意得出函數的值域，再借用等價轉化及不等式的性質脫去絕對值號，避免了分類討論，最后運用對數的運算公式，把復雜的分類計算簡化成對數值中真數的取值范圍求解，過程簡潔明了，計算亦化繁為簡。

三、利用函數性質有效避免討論

函數的奇偶性與單調性是函數的兩個重要性質，在解決含參數的函數問題時，若能夠適當加以運用，則能有效避免分類討論。

例3 設定義在R上的偶函數f（x）在區間［0，+∞）上單調遞減，若f（1-t）

對抽象函數問題，常見的解題是類比所熟知的函數，根據所熟知函數的函數性質（代數性質或幾何性質）尋找解題思路，簡化運算過程。本題通過運用偶函數的性質，直接將自變量1-t和t的范圍對應到題目條件中的區間［0，+∞）內，避免了將自變量進行分類討論，再由題設中已知區間的單調性直接比較大小，大大簡化了解題的過程。

四、消除參數隱患有效避免討論

在含參數的問題中，參數往往是引起分類討論的根源，但若能通過某些手段，消除參數，則能有效避免分類討論。

例4 已知a>0，a≠1，求關于x的不等式loga（1-x）>loga（1+x）的解集。

在有些含參數的代數式的大小比較中，其結果往往與參數無關，因此用適當的方法消去參數是避免對參數討論的最佳思路。本題直接解決時要從底數a的范圍和脫去絕對值兩方面進行較煩瑣的分類討論，可若依據對數運算的換底公式，通過作商比較即可將作為參數的底數a消去，這就避免了對a是否大于1的分類討論，且將兩邊的絕對值均看作整體去作平方，又避開了脫去絕對值號時的討論，大幅提高了解題效率，使解答過程簡便順暢，提高解題的正確率。

五、巧用數形結合有效避免討論

利用數形結合直觀形象的特點，適當構造函數，畫出相關圖形，改變觀察和思考問題的角度，能夠使問題由抽象變得直觀。

例5 當x∈（1，2）時，不等式（x-1）2

此題若只看解析式，由于參數a在對數函數的底數部分，大部分人都會想要將a進行分類討論求解，但不等號左邊是一個二次函數，而在自變量區間內再討論兩個函數值域的范圍就過于煩瑣。若設f1（x）=（x-1）2，f2（x）=logax，先畫出f1（x）的圖象，要使當x∈（1，2）時，不等式（x-1）21。在同一直角坐標系中畫出f1（x）和f2（x）的大致圖象，如圖1所示可知，要使條件成立，只需f1（2）≤f2（2），即（2-1）2≤loga2，loga2≥1，所以1

圖象是函數的另一種表示形式，涉及函數、不等式和方程等問題時，如果能構造出函數圖象，利用幾何圖形的直觀性探究出數形關系，往往能開拓新的解題思路。本題結合圖象可以一目了然地了解兩個函數值的分布和大小情況，巧妙地將數量關系與空間圖形結合起來，由圖象直接得到a的大致范圍，避免了分類討論，也能通過圖象直接找到符合條件的函數值范圍，便于由圖列出不等式。正確作出圖象，抓住圖象的主要特征是減少分類的突破口，借此可避免陷入煩瑣的討論或復雜運算，大幅提高了解題效率。

六、利用正難則反的原則有效避免討論

當給出的問題從正面直接解決比較復雜，所討論的方面比較多時，就可以考慮從它的反面，即對立面進行考慮，最后再取其補集。

例6 給出兩個命題，命題甲：關于x的不等式x2+（a-1）x+a2≤0的解集為；命題乙：函數f（x）=（2a2-a）x為增函數。若甲、乙中至少有一個是真命題，求實數a的取值范圍。

命題甲為真時：Δ=（a-1）2-4a2<0?a>或a<-1；命題乙為真時：2a2-a>1?a>1或a<-。本題若從正面角度求解，需分三種情況討論：甲真乙假、乙真甲假、甲乙都真，則需要將每種情況的解集分別求出，再取并集；但是如果從它的反面角度考慮，則只需要求解一種情況，就是甲乙都假即可。甲為假命題時a的解集為

有些問題涉及“至少”“不能”等，若從正面求解則需要復雜的分類討論，此時可從問題的反面入手，往往情形較少，甚至其反面可能只有一種情形而不需要分類。本題若從正面分類情況較多，而其反面卻只有一種情況，故可以調整思考角度用補集法從反面入手，去考慮問題的對立面，即從結論的反面去思考和探索，得出反面結論，再結合集合的性質A∪CUA=U得到正確答案，這樣可以避免討論，將題目化難為易，化繁為簡，開拓解題思路。

對一個具體問題，是否需要討論，如何避免分類討論，沒有固定的解題模式，應具體問題具體分析，要根據題目所給的條件及要求去確定。通過對問題的分析，打開等價轉化的通道，讓參數與主元分離，讓問題的形式改變，并且盡量揭示問題的本質與內涵，聯想有關公式與結論，結合定義、性質和直觀圖形，這樣才能創造性地解決問題。求簡，是數學解題的最高境界，而避免分類討論，是對解題者綜合能力的挑戰，只有接受挑戰，勇于創新，學生才能獲得更好的發展。

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（責任編輯：淳? 潔）