例談高考復習中創造性數學思維的培養

陳桂明 劉新春

摘 要： 《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中指出：數學教育要促進學生思維能力、實踐能力和創新意識的發展.數學創造性思維能力是高中生學習數學知識過程中應該具備的能力，也是高考數學考查的重要能力之一.本文將借助不同的案例探討在高考復習中如何培養學生的創造性思維，提高創造性思維能力.

關鍵詞： 高考數學；創造性思維；思維品質

創造性思維是一種綜合能力，是一種新的、與眾不同的思維，可以分為三個維度：發散思維、聚合思維和橫向思維.創造性思維既是思維的結果，也指向思維的過程.在近五年高考數學全國卷中，考查創造性思維的題目共有191題，約占22.7 % ，這些試題區分度顯著，得分率較低，考生普遍感覺解答這些試題非常困難.其實在平時的數學教學特別是高三數學復習中，我們往往將主要精力集中在解題訓練中，對如何培養學生的創造性思維心中無數，只是將解題訓練定位在題型識別、技能技巧上，而忽視了解題訓練教學恰恰是培養學生創造性思維的重要載體，培養創造性思維的起點是產生創造性思維的意識，關鍵是形成創造性思維的方法，終極目標是提高創造性思維能力.

1 發散思維

以色列研究者哈代爾構建的數學創造性思維框架——“三維度九類型”框架表明，數學發散思維必須打破固化的思維模式，多角度分析問題，提供多種非常規的分析思路和解決辦法，得到不同的解題策略.由問題中已有條件和結構以及所學知識聯想到相關的多種問題情境和方法思想.發散思維主要有四種類型：（1） 提供替代解決方法；（2） 有多個答案；（3） 使用不止一種途徑來解決；（4） 在數學之外發現數學知識.相應的在高三數學復習中，我們要為學生提供具有多種答案的多選題、具有多角度思考價值的問題、能夠用多種方法分析解決的問題、隱藏數學知識的實際問題，引導學生進行思維碰撞，產生與眾不同的見解，并能在解決問題的過程中發現新問題，讓數學思維向不同方向發散，提升思維品質.

問題1 ?：設橢圓E： x2 a2 + y2 b2 =1（a＞b＞0），圓C：（x-2m）2+（y-4m）2=1（m≠0），點F 1，F 2分別為E的左、右焦點，線段OC的垂直平分線為l.已知E的離心率為 1 2 ，點F 1，F 2關于直線l的對稱點都在圓C上，求橢圓E的方程.

分析：

思路1： ?（直譯條件）直接按照題目條件，設F 1（-c，0），F 2（c，0）， 求出線段OC的垂直平分線方程x+2y-5m=0，再求出點F 1，F 2關于直線l 的對稱點M，N的坐標，代入圓的方程，但求出c的值運算量太大.

思路2： ?觀察圖形發現，由于O為F 1，F 2的中點，C也是M，N的中點，從而M，N為圓C的直徑，可直接得到|MN|=2，求出c的值.

思路3： ?由于線段F 1F 2與MN關于直線x+2y-5m=0對稱，故|F 1F 2|=|MN|=2，即得c=1，由離心率為 1 2 得a=2，從而求得橢圓E的方程為 x2 4 + y2 3 =1.

為什么思路3能夠快速求出橢圓方程？就是因為思路3找到了“題眼”——解決問題的突破口與關鍵.機械運用解析法把全部條件直接轉化為數量關系，忽視題目條件的幾何特征，缺少整體思維意識，會造成數形分離，不利于發現“題眼”，而仔細觀察圖形，發現線段MN的兩個特征：一是MN是圓C的直徑，二是|MN|=|F 1F 2|，從而豁然開朗，得到題眼|F 1F 2|=2，輕松求出橢圓的方程.

2 聚合思維

數學聚合思維要求能從具體個別的事物中找到數學知識和數學原理；將多種類型的知識融合起來，綜合運用多種數學思想方法，能從復雜的情境中快速提取數學信息進行分析處理解決實際問題，主要表現為三種類型：（1） 識別和應用數學原理；（2） 將多個數學概念及其概念中蘊含的數學方法相關聯（融合）；（3） 用數學解決現實情境問題.在高三復習中，我們要重視引導學生從一個個孤立的數學試題中尋找數學本質規律，從個別結論中歸納猜想一般原理.將問題中眾多條件各自蘊含的知識用思想方法有機串聯，發現內在聯系，打通條件與結論的關節，獲得解題方法.

問題2： ?過點Q（1，0）作直線l（不與x軸垂直）交橢圓C： x2 9 +y2=1于M，N兩點，交y軸于R點，若RM =λMQ ，RN =μNQ ，試判斷λ+μ是否為定值，并說明理由.

解析： ?若直線l與x軸重合，則M（-3，0），N（3，0），R（0，0），

由題意可知，λ=- 3 4 ，μ=- 3 2 ，所以λ+μ=- 9 4 .

若直線l與x軸不重合，設直線l的方程為y=k（x-1）.設M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），R（0，y 3），由 y=k（x-1），

x2+9y2=9， 消去y，得（1+9k2）x2-18k2x+9k2-9=0，則Δ＞0，x 1+x 2= 18k2 1+9k2 ，x 1x 2= 9k2-9 1+9k2 ，

由RM =λMQ ，RN =μNQ 可得λ= x 1 1-x 1 ，μ= x 2 1-x 2 ，

所以λ+μ= x 1 1-x 1 + x 2 1-x 2 = x 1+x 2-2x 1x 2 1-（x 1+x 2）+x 1x 2 = 18k2-2（9k2-9） 1+9k2-18k2+9k2-9 =- 9 4 .

回顧以上解題過程，其實不必考慮直線l與x軸重合的情況，且由題意可知，直線l的斜率一定存在，但考慮到直線l與x軸重合的特殊情形，即有利于特殊引路，發現解題思路，也有利于解決問題后驗證結果是否正確，且符合學生的認知規律，即從特殊到一般的規律.但我們在實際教學中往往缺乏問題意識，或忽視了基本認知規律，或淺嘗輒止，只把一些基本規律用于解題，而忽視了把基本規律應用于培養學生的數學思考，即在培養學生學會數學的思考問題的過程中，有意識地教會學生善于運用基本規律思考問題、發現問題.

學生首先考慮到的是直線l在特殊位置的情形，教師也應該想到從特殊橢圓到一般的情形，即對于一般橢圓，以上的結論是否成立呢？

問題3： ?設橢圓C： x2 a2 + y2 b2 =1（a＞b＞0），直線l過點Q（t，0）（t≠0）與橢圓C交于M，N兩點，交y軸于點R，若RM =λMQ ，RN =μNQ ，試判斷λ+μ是否為定值，并說明理由.

分析： ?以上問題既將特殊橢圓變為一般橢圓，又將原來的“Q（1，0）”變為“Q（t，0）”，這樣思考的理由是假設一般橢圓不一定具有以上性質，或隨著橢圓C的變化，可能引起Q點變化，采用原來的方法得到以下過程.

解析： ?設直線l的方程為y=k（x-t）.設M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），R（0，y 3），由 y=k（x-t），

b2x2+a2y2=a2b2， 消去y得（b2+a2k2）x2-2a2k2tx+a2k2t2-a2b2=0，

則Δ＞0，x 1+x 2= 2a2k2t b2+a2k2 ，x 1x 2= a2k2t2-a2b2 b2+a2k2 ，

因為RM =λMQ ，RN =μNQ 可得λ= x 1 t-x 1 ，μ= x 2 t-x 2 ，

所以λ+μ= x 1 t-x 1 + x 2 t-x 2 = t（x 1+x 2）-2x 1x 2 t-（x 1+x 2）t+x 1x 2 = ?2a2k2t2 b2+a2k2 - 2a2k2t2-2a2b2 b2+a2k2 ?t- 2a2k2t b2+a2k2 + a2k2t2-a2b2 b2+a2k2 ?= 2a2b2 2a2k2（t2-t）+（t2-a2）b2 .

若λ+μ為定值，則與斜率k的取值無關，從而t2-t=0，則t=1（t=0舍去），此時定值為 2a2 1-a2 .

以上探究既讓我們發現了一個具有一般性的結論，即一般性質.又在探究過程中，潛移默化地提升了運算能力，學生從探究問題的過程中增強了問題意識，感受探究過程與方法，增添了數學學習的樂趣，學生認識到學習數學原來不是單純地做做題目，而是可以從題目背后發現數學的奧秘.

歸納和類比是數學發現的兩個重要的方法，具有類比的眼光不難想到作為橢圓的孿生兄弟——雙曲線、拋物線是否具有類似性質，即：

問題4： ?設雙曲線C： x2 a2 - y2 b2 =1（a＞0，b＞0），直線l過點Q（t，0）（t≠0）與雙曲線C交于M，N兩點，交y軸于R點，若RM =λMQ ，RN =μNQ ，試判斷λ+μ是否為定值，并說明理由.

解析： ?設直線l的方程為y=k（x-t）.設M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），

由 y=k（x-t），

b2x2-a2y2=a2b2， 消去y，得（b2-a2k2）x2+2a2k2tx-a2k2t2-a2b2=0，

則Δ＞0，x 1+x 2=- 2a2k2t b2-a2k2 ，x 1x 2=- a2k2t2+a2b2 b2-a2k2 ，

由RM =λMQ ，RN =μNQ 可得λ= x 1 t-x 1 ，μ= x 2 t-x 2 ，

所以λ+μ= x 1 t-x 1 + x 2 t-x 2 = t（x 1+x 2）-2x 1x 2 t-（x 1+x 2）t+x 1x 2 = - 2a2k2t2 b2-a2k2 + 2a2k2t2+2a2b2 b2-a2k2 ?t+ a2k2t b2-a2k2 - a2k2t2+a2b2 b2-a2k2 ?= 2a2b2 a2k2（t2-t）+（t2-a2）b2 .

若λ+μ為定值，則與斜率k的取值無關，從而t2-t=0，則t=1（t=0舍），此時定值為 2a2 1-a2 .

問題5： ?設拋物線C：y2=2px（p＞0），直線l過點Q（t，0）（t≠0）與拋物線C交于M，N兩點，交y軸于點R，若RM =λMQ ，RN =μNQ ，試判斷λ+μ是否為定值，并說明理由.

解析： ?設直線l的方程為y=k（x-t）.設M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），

由 y=k（x-t），

y2=2px， 消去y，得k2x2-（2k2t+2p）x+k2t2=0，

則x 1+x 2= 2k2t+2p k2 ，x 1x 2=t2，

由RM =λMQ ，RN =μNQ 可得λ= x 1 t-x 1 ，μ= x 2 t-x 2 ，

所以λ+μ= x 1 t-x 1 + x 2 t-x 2 = t（x 1+x 2）-2x 1x 2 t-（x 1+x 2）t+x 1x 2 = ?2k2t2+2pt k2 -2t2 t- 2k2t2+2pt k2 +t2 = 2p k2（1-t）-2p .

若λ+μ為定值，則t=1，此時定值為-1.

3 橫向思維

橫向思維要求學生打破思維的局限性，思考和提出新的數學問題，創造新的方法來解決問題，得到新的結論，主要類型為：（1） 提出數學問題；（2） 探索數學方法.在數學復習教學中要引導學生善于聯想、質疑、批判，掌握發現問題和提出問題的基本方法，鼓勵學生用兩種以上的不同方法解決同一個問題，創設條件不充分、不完善、結構不穩定、目標不明確、方法不明晰的“半成品題”，讓學生補充條件，設計結論、尋找方法、一題多解、反思感悟、逐步提升橫向思維能力.

問題6： ??過雙曲線 x2 a2 - y2 b2 =1（a＞0，b＞0）的右焦點F 作雙曲線漸近線的垂線FM，垂足為M，線段FM與雙曲線交于點A，且滿足FA =2AM ，則雙曲線的離心率為（ ?）

A. ??2

B. ??3

C. ??5

D. ???3 +1 2

解法1： ?如圖，在 Rt △OMF中，OF=c，MF=b，

故OM=a，過點M，A分別作x軸的垂線，垂足分別為點N，B，

結合三角形的等面積法可得MN= ab c .

又由于FA =2AH ，可得AB= 2 3 MN= 2ab 3c ，

且BF=AF sin ?∠BAF= 2 3 b· b c = 2b2 3c ，

則點A的坐標為 c- 2b2 3c ， 2ab 3c ?，

代入雙曲線方程有 ?c- 2b2 3c ?2 a2 - ??2ab 3c ?2 b2 =1，

化簡，得 ?e 3 + 2 3e ?2- ?2 3e ?2=1，解得e= 5 .

思考： ?解法1是把問題的每一個條件一一等價轉化為數量關系式，思路清晰，容易想到，但運算量大.由FA =2AH 聯想如何表示雙曲線上的點到焦點的距離，想到雙曲線的定義，困難在于雙曲線的右準線在哪里.由平面幾何中的射影定理容易發現準線正好經過M點，這樣就獲得了幾個直角三角形，而由相似三角形的性質，容易獲得線段之間的比例關系，因而易求得雙曲線的離心率.

解法2： ?如圖，過點M作x軸的垂線，垂足為點N，過點A作AH垂直于直線MN，垂足為H，

易知MN即為雙曲線的右準線.

由雙曲線的定義知 AF AH =e，則AH= AF e = 2AM e .

又在 Rt △FMN中， AH AM = FM OF ，即 2 e = b c ，

兩邊平方，得 4 e2 = b2 c2 = c2-a2 c2 =1- 1 e2 ，得e= 5 .

參考文獻：

［1］ 中 華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 顏思璇，唐恒鈞.高考數學創造性思維考查研究——基于2018—2022年高考數學全國卷試題分析［J］.中學數學教學參考，2022（11）：31 35.