2020年全國高中數學聯賽（A卷）一道解析幾何題的幾種新解法

鄭建濱

摘要：本文再次重溫2020年全國高中數學聯賽一試試題，對其中一道解析幾何試題提出了幾種新解法.

關鍵詞：高中數學；聯賽；解析幾何；解法

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2023）33-0042-03

2020年全國高中數學聯賽一試試題（A卷）第11題，考的是雙曲線中的等腰直角三角形面積的最小值問題.雖然已過去三年，但經典永遠不會過時.最近筆者在給學生做競賽輔導時，又重溫了這道經典試題，并且在已有的解法上，又提出了自己的幾種新解法.

1 賽題再現

2020年全國高中數學聯賽（A卷）一試第11題原題如下：

在平面直角坐標系中， 點A，B，C在雙曲線xy=1上， 滿足ΔABC為等腰直角三角形，求△ABC的面積的最小值［1］.

2 已有解法

解法1不妨設等腰直角△ABC的頂點A、B、C逆時針排列，A為直角頂點[2]，如圖1所示.設AB=（s，t）， 則AC=（-t，s）， 且△ABC的面積S△ABC=12|AB|2=s2+t22.

注意到A在雙曲線xy=1上， 設A的坐標為a，1a， 則B的坐標為a+s，1a+t，C的坐標為a-t，1a+s.

由B、C在雙曲線xy=1上， 可知（a+s）1a+t=（a-t）1a+s=1， 這等價于

sa+at=-st①

-ta+as=st ②

由①+②， 得s-ta+a（t+s）=0， 即

a2=t-st+s③

由①×②， 并利用③， 得

-s2t2=sa+at-ta+as

=a2-1a2st+s2-t2

=t-st+s-t+st-s·st+s2-t2

=4sts2-t2·st+s2-t2=s2+t22s2-t2所以由基本不等式， 得

s2+t24=-s2t2s2-t22

=14·2s2t2·2s2t2·s2-t22

≤142s2t2+2s2t2+s2-t2233=s2+t26108④

故s2+t2≥108=63.

以下取一組滿足條件的實數（s，t，a）， 使得s2+t2=63（進而由s，t，a可確定一個滿 足條件的△ABC， 使得S△ABC=s2+t22=33[3].

考慮④的取等條件， 有2s2t2=s2-t22，

即s2t2=2±3.

不妨要求0

由①知a<0， 故由③得a=-t-st+s， 其中t=3+13-1s=3+12s，

從而有a=-3+1-23+1+2.

綜上所述，△ABC的面積的最小值為33.

解法2同解法1得到①式和②式，把a作為常數， 解出s與t.

由①得st+1a=-at，

由②得s（-t+a）=ta，

兩式相除得t=a4+1aa2-1，

同理可得s=-a4+1aa2+1.

從而S△ABC=12|AB|2=s2+t22

=12a4+12a2a2-12+a4+12a2a2+12

=a4+13a2a4-12.

令a2=tanθ0<θ<π2， 則

S△ABC=tan2θ+13tanθtan2θ-12=2cos22θsin2θ

由均值不等式， 得

2cos42θsin22θ≤cos22θ+cos22θ+2sin22θ33=827

即cos22θsin2θ≤239， 當且僅當cos22θ=2sin22θ時等號成立， 此時sin22θ=13， 可以取a=-tanθ=-3-2. 所以S△ABC=12|AB|2≥33.

3 新解探究

新解法1如圖1所示，不妨設A，B，C的坐標分別為a，1a、b，1b、c，1c， 且A為直角頂點.于是AC=iAB，即c-a+1c-1ai=

ib-a+1b-1ai

化簡整理得b=a2-1a+a3

所以S△ABC=12|AB|2

=12（a-b）2+1a-1b2

=12（a-b）21+1a2b2

=12a-a2-1a+a321+a2+1a2-12

令a2+1a2=t， 因為a≠1， 故t>2，

所以S△ABC=t3（t+2）（t-2）=11t-4t3=11t1-4t2

再令u=1t， 則

u1-4u22=u21-4u21-4u2

=188u21-4u21-4u2

≤127

當且僅當8u2=1-4u2， 即u2=112，t=23時取等號， 此時a=-3-2.

于是， 當a=-3-2時，SΔABC取最小值33.

新解法2如圖1所示，設A，B，C的坐標分別為a，1a、b，1b、c，1c， 且A為直角頂點.

由|AB|=|AC|， 知

（a-b）2+1a-1b2=（a-c）2+1a-1c2

即（c-b）（2a-b-c）=1b-1c2a-1b-1c

約去c-b≠0， 得：

2a-b-c=1bc2a-b+cbc

將bc=-1a2

代入上式， 得

2a-（b+c）=-a22a+a2（b+c），

解得b+c=-4aa4-1.

從而得到：

SΔABC=14|BC|2=14（b-c）2+1b-1c2=14（b-c）21+1b2c2=a2+1a23a+1a2a-1a2.

令a2+1a2=t，則t>2，

SΔABC=t3（t+2）（t-2）=t3t2-4，

記ft=t3t2-4t>2.

由求導運算得：當t=23時，f（t）取最小值33.

由a2+1a2=23，可求得a=-3-2.

即當a=-3-2時，SΔABC取最小值33.

新解法3如圖1所示，不妨設A的坐標為a，1a，且A為直角頂點.

設直線AB的參數方程是x=a+tcosθy=1a+tsinθ，則直線AC的參數方程是

x=a+tcosθ+π2y=1a+tsinθ+π2， 即x=a-tsinθy=1a+tcosθ.

分別代入xy=1，得

tB=-a2sinθ+cosθasinθcosθ，tC=a2cosθ-sinθasinθcosθ

因為△ABC是等腰直角三角形，

|AB|=sinθ-cosθsinθ+cosθ·cosθ-sinθasinθcosθ

=-1a（sinθ+cosθ）sinθcosθ

|AB|4=16cos22θsin42θ

=322cos22θsin22θsin22θ≥108

當且僅當2cos22θ=sin22θ時等號成立， 所以SΔABC=33.

通過對聯賽中經典解析幾何試題的多解探究和深入研究，可以發散學生的數學思維，鍛煉學生的思維品質，讓學生通過解一道題，達到會解一類題的教學效果.同時，讓學生體會到了不等式、導數、三角函數、復數、幾何等知識和方法在解析幾何最值問題中的應用.此外，通過講解與訓練，學生的數學運算、邏輯推理等素養得到了一定程度的提升.

參考文獻：

［1］?劉剛.2020年全國高中數學聯賽解析幾何解答題的探究[J].數學通訊，2021（07）：57-61.

[2] 林國紅.2020年全國高中數學聯賽一試A卷第11題的探析[J].中學數學研究（華南師范大學版），2021（17）：22-25.

[3] 李加朝，鄒峰.2020年全國高中數學聯賽一試A卷壓軸題的解法探究[J].數學通訊，2021（01）：55-57.

［責任編輯：李璟］