初中數學代數推理能力的培養策略

摘" 要：“數與代數”是初中數學四大知識板塊之一，所占比重大，而推理能力也是《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出的關鍵能力.盡早重視初中生代數推理能力的培養，能夠使學生從觀察中發現解題規律，從大膽猜想中掌握演繹證明的數學邏輯，從數形結合中體會數學的簡潔美，從推理過程中促進知識的學以致用，從而提升學生的數學核心素養.

關鍵詞：初中數學；數學思想；推理能力；培養策略

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）17-0041-03

收稿日期：2024-03-15

作者簡介：袁詠雪（1997.11—），女，江蘇省南通人，本科，中學二級教師，從事初中數學教學研究.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）提出“抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數據觀念、模型觀念、應用意識、創新意識”等必備能力，將之作為數學學科核心素養的重要構成要素，其中，推理能力屬于數學認知維度.在初中數學教學中，教師通常將幾何推理作為重點，忽視代數推理能力.為此，筆者將重點圍繞“數與式”“方程與不等式”“函數”三個板塊，探討其代數推理的一般應用，結合中考試題的求解思路，歸納代數推理能力的培養策略.

1" 問題的提出

數學推理是學科核心能力，推理也是數學最基本的思維方式.長期以來，對學生推理能力的培養，多依賴于“圖形與幾何”部分內容，而在“數與代數”領域，忽視學生推理能力的發展.《課程標準》明確指出，要加強數與代數領域學生代數推理能力的培養，這在一定程度上讓越來越多的教師開始關注代數推理能力.筆者對當前數學教材內容進行了認真分析，發現從七年級到九年級的數學教材中，共計有29章內容，而“數與代數”板塊所占比重更大，如表1所示.

總體來看，“數與代數”部分在各年級均有分布，合計有14章節，占比將近一半，且在編排特點上，呈現螺旋上升趨勢.在七年級教材中，“數與代數”章節偏多，這樣編排，更強調要從初一就開始重視學生代數推理能力的培養.

2" 在“數與代數”板塊融入代數推理

2.1" 在“數與式”中融入代數推理

“數與式”是初中數學重要知識板塊，有一系列的數學運算規律、運算性質，教師可以通過實例教學，讓學生掌握其中的邏輯關系，體認數學“法則”.

例1" 比較-821與-47的大小.

分析" 這兩個數都是負數，取絕對值也無法直接判定大小關系.因分母不同，需要對之進行通分，將-47轉化為-1221，由此可以看出，-1221的絕對值大于-821的絕對值，按照“絕對值大的反而小”結論，可以得出-821gt;-47.

通過以上判斷過程，也就是“說理論證過程”，讓學生體認代數推理的教學價值.代數推理強調邏輯性，從判定兩數大小的過程中可以發現， 此問題看似“比大小”，實則是引領學生從“因為……，所以……”中感受“說理”過程，在數學語言表述中，滲透嚴謹的數學邏輯思維.由此，讓學生在推理過程中達成“步步有據、步步有理”，增強學生的科學精神.

2.2" 在“方程與不等式”中融入代數推理

在初中數學中，“方程與不等式”是重點，是學生學習的難點內容.該模塊知識是訓練學生代數推理能力的重要載體.

例2" 有一根鐵絲，長22 cm，問能否折成面積為32 cm2的矩形框？

分析" 在學習“一元二次方程”后，對于該題的求解思路，可以用方程思想來解答.在本例中，假設該矩形框的一邊長為x cm，則另一邊長為（11-x）cm.利用矩形的面積可以得到方程x（11-x）=32，對之進行化簡得到x2-11x+32=0，求解該方程，利用根的判別式得出△=b2-4ac=-7lt;0，說明該方程沒有實數根.由此可推斷，長為22 cm的鐵絲無法折成面積為32 cm2的矩形框.

《課程標準》要求學生能夠運用“根的判別式”判定方程是否有實根，或者兩個根是否相等.通過對該題的解析，可以幫助學生體會“方程與現實生活中的數量關系”，增進學生對“數學源于生活，服務生活”的理解.

關于不等式的推理，多側重于判定取值范圍.

例3" 不等式組3x-51，2x-alt;8有且只有3個整數解，求a的取值范圍.

分析" 本題重點是讓學生掌握一元一次不等式組的解集，根據不等式組的解的個數，逆向推斷a的取值范圍.顯然，該題所滲透的推理思路具有“逆推性”，非常適宜發展學生的代數推理能力.

本題主要運用了逆推法，這種方法能夠讓學生理解不等式的內涵，增強學生的代數分析與推理能力，提升學生的數學核心素養.

2.3" 在“函數”中融入代數推理

初中數學中的函數板塊知識主要有一次函數、反比例函數、二次函數等內容，該板塊也是發展學生代數推理能力的關鍵.

例4" 如圖1所示，二次函數y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且OA=OC，對稱軸為直線x=1.下列四個結論：

①abclt;0；②a+12b+14cgt;0；③ac+b+1=0；④2+c是方程ax2+bx+c=0的一個根.其中正確的是.

分析" 本題主要考查拋物線的開口方向、對稱軸及一元二次方程根的情況.由圖1易發現，拋物線的開口向下，可以推斷出alt;0.再根據拋物線的對稱軸為直線x=1，則得到-b2a=1，由此可推導出bgt;0.觀察拋物線與y軸相交于點C位于正半軸，可推導出cgt;0，據此可以判定abclt;0.對于結論②，因為拋物線的對稱軸是直線x=1，所以b=-2a，從而a+12b+14c=14cgt;0，故結論②也成立.對于結論③，因為OA=OC=c，所以點A的坐標為-c，0，將其代入拋物線的表達式，可得ac2+b（-c）+c=0，整理得ac-b+1=0，從而可知ac+b+1=ac-b+1+2b=2bgt;0.由此可知結論③不成立.對于結論④，根據點A的坐標及拋物線的對稱軸，可以得到點B的坐標為（2+c，0），也就是2+c為方程ax2+bx+c的一個根，即結論④也成立.

在初中數學教學中，結合函數知識點，運用有關性質，展開代數推理分析，能夠有效促使學生感悟數形結合思想，提升學生的數學思維能力［1］.

3" 指向代數推理能力的培養路徑

3.1" 強調觀察，注重代數推理思維的啟發

代數推理能力需要具備較強的觀察力.觀察是認識世界的有效途徑之一，在觀察中，要講究目的性、計劃性、持久性.觀察能力體現了“思維的知覺”，教師在平時指導學生解題時，要給予學生預置觀察時間，鼓勵學生對題目內容進行透徹觀察［2］.

例5" 有一矩形人行道，中間鋪正方形灰色地磚，兩邊鋪白色等腰直角三角形地磚，如圖2所示.

當正方形地磚為1塊時，需要6塊等腰直角三角形地磚.當正方形地磚為2塊時，需要8塊等腰直角三角形地磚.（1）每增加1塊正方形地磚，需要增加幾塊等腰直角三角形地磚？（2）若有n塊正方形地磚，請用含n的代數式表示等腰直角三角形地磚的塊數.

根據圖形特征，對于問題（1），學生可以動手畫圖，很快得到2塊等腰直角三角形地磚；對于問題（2），則需要通過多次推理來獲得答案.學生在對鋪磚方式的認真觀察后，推斷出每增加一塊正方形地磚，需要增加2塊三角形地磚，加上前面的4塊三角形地磚，得出三角形地磚數為（2n+4）塊.

3.2" 突出猜想，注重推理演繹與證明

在培養學生代數推理能力的過程中，教師要鼓勵學生大膽猜想，從猜想中找準解題思路.猜測和檢查是代數推理的基本形式，由猜想到證明，體現了由特殊到一般的演繹過程.

例6" 觀察等式：

（2×1+1）2=（2×2+1）2-（2×2）2，

（2×2+1）2=（3×4+1）2-（3×4）2，

（2×3+1）2=（4×6+1）2-（4×6）2，

（2×4+1）2=（5×8+1）2-（5×8）2，

…………

（1）按如上規律，請寫出第5個等式.

（2）對于第n個等式，應該如何表示？

分析" 根據所給等式的結構特征，通過觀察可以發現，第5個等式可以表示為：（2×5+1）2=（6×10+1）2-（6×10）2.顯然，對該題的解析，著重考查學生對等式規律的探索.在觀察、歸納、分析基礎上，可以寫出第n個等式表示為：（2n+1）2=［（n+1）·2n+1］2-［（n+1）·2n］2.在對該題的推理探索過程中，學生可從中深刻體認數學解題過程，并對猜想進行驗證，從而發展學生的代數推理能力.

3.3" 傳授方法，滲透數形結合數學思想

在發展學生代數推理能力過程中，數學思想的滲透是必不可少的.面對數學問題，要指導學生探究數學的內涵，尤其是在代數運算中，更要注重數形結合思想的融入.代數問題可以轉換為幾何問題，在“數”與“形”的轉化中，讓學生體會數學的簡潔美.

例7" 拋物線y=ax2-2x+1（a≠0），對稱軸為x=1.

（1）求a的值；

（2）假設點M（x1，y1）、N（x2，y2）位于拋物線上，且滿足-1lt;x1lt;0，1lt;x2lt;2，請比較y1、y2的大小，并說明理由.

分析" 在求解過程中，單純從代數視角來解題，學生會感到抽象，不易找準解題突破口.教師可引導學生借助平面坐標系，利用二次函數的圖象解決問題，實現“數”與“形”相結合，使代數問題豁然開朗.

4" 結束語

在初中數學教學中，教師要重視學生代數推理能力的養成，結合題型探究，滲透推理、演繹、驗證方法，促進學生數學核心素養的提升.

參考文獻：［1］ 樓倩.核心素養導向下初中數學代數推理能力培養探析［J］.數學之友，2023（6）：39-42.

［2］ 錢德春.關于初中代數推理的理解與教學思考［J］.中學數學教學參考，2020（11）：2-4.

［責任編輯：李" 璟］