核心素養(yǎng)背景下初中數(shù)學(xué)滲透數(shù)學(xué)文化的策略研究

［ 摘 要 ］數(shù)學(xué)文化是記錄與傳播數(shù)學(xué)思想的重要方式，也是傳遞信息的主要載體.將數(shù)學(xué)文化滲透在“三角形內(nèi)角和定理”的證明教學(xué)中，一方面，有助于深化學(xué)生對證明方法的認(rèn)識，并激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情；另一方面，能有效促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

［ 關(guān)鍵詞 ］核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)文化；數(shù)學(xué)史

數(shù)學(xué)文化是人類智慧的結(jié)晶，它以獨(dú)特的方式保留并記錄了特定階段的數(shù)學(xué)發(fā)展史 . 將數(shù)學(xué)文化有機(jī)地滲透在初中數(shù)學(xué)課堂中，不僅能激發(fā)學(xué)生對新知的探索興趣，還能進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的關(guān)鍵品質(zhì)，培育學(xué)生的綜合素養(yǎng) .“三角形內(nèi)角和定理”的孕育與成長歷程豐富多彩，歷史上諸多數(shù)學(xué)家的驗(yàn)證方法并未因歲月的流轉(zhuǎn)而失去光彩，反而如同陳年佳釀，在時(shí)間的長河中愈發(fā)醇厚，閃耀著智慧的光芒 . 將這些史料滲透在課堂中，可發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.新課引入

借助多媒體展示形狀大小不一的若干個(gè)三角形，要求學(xué)生說一說這些不同三角形具有怎樣的共同點(diǎn).生 1：所有三角形都具備的特點(diǎn)有：①兩條邊之和大于第三條邊；②兩條邊之差小于第三條邊；③內(nèi)角和為180°.

師：不錯(cuò) . 對于平面幾何的探索，通常從邊和角這兩個(gè)維度入手.關(guān)于三角形的三邊關(guān)系，以前已經(jīng)探索過.本節(jié)課，我們共同探討“三角形的內(nèi)角和恒為180°”的幾何原理.有什么辦法可以確定三角形的內(nèi)角和為180°呢？

生 2：可以用量角器直接測量每個(gè)角的度數(shù)，將三個(gè)角的度數(shù)相加即可明確三角形的內(nèi)角和為180°.

生3：通過拼圖法同樣能驗(yàn)證，即將三角形的三個(gè)角都截取下來，拼在一起形成一個(gè)平角.

師：眾所周知，人們親眼所見的事物并非是真實(shí)的，大家所提的度量法或拼圖法也不能說明三角形的內(nèi)角和一定為180°.那么，我們究竟該如何準(zhǔn)確判定呢？

生（眾）：用證明法.

師：不錯(cuò)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明能夠闡釋一切.每個(gè)人的思維方式不一樣，證明方法也各有特色.接下來，咱們就一起探索具體的證明方法吧.

設(shè)計(jì)意圖 借助多媒體展示不同的三角形，旨在引導(dǎo)學(xué)生探尋其共同的特征，此為研究數(shù)學(xué)問題的重要方法之一.學(xué)生從多種圖形中得到恒定不變的結(jié)論，不僅喚醒了對三角形邊角關(guān)系的認(rèn)知，還思考并嘗試運(yùn)用多種不同的方法來證明三角形的內(nèi)角和為180°.

2.證法探究

問題：如圖 1，已知 ∠A ， ∠B ，∠C 為 △ABC 的三個(gè)內(nèi)角，請證明∠A，∠B，∠C 的和為180°.

生 4：我是根據(jù)三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行證明的.

交流后發(fā)現(xiàn)，該學(xué)生所述的外角性質(zhì)是基于三角形內(nèi)角和為180°的推論，屬于一種循環(huán)論證，顯然這種證明方法不可取.

生5：如圖2，過點(diǎn) A 作 CB 邊的平行線，因?yàn)槠浇堑扔?80°，所以∠A，∠B，∠C 的和為180°.

師：太棒了！你用畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的證明方法獲得了三角形內(nèi)角和的度數(shù) . 你是怎么想到這種方法的？

生 5：若兩直線平行，則內(nèi)錯(cuò)角必定相等 . 我是通過這個(gè)性質(zhì)想到的.

師：生 5 將三角形三個(gè)離散的角聚集在一起形成平角而獲得三角形內(nèi)角和的度數(shù)，這個(gè)過程主要采用了平行線轉(zhuǎn)換角度的方法.簡單來說，就是“由果索因”，這是找到基本證明思路的好方法.當(dāng)然，還可以通過分析已知條件或引入輔助線的方法逐步推導(dǎo)出“果”，利用“由因推果”的思路解題.

師：生 5 的證明方法帶給了我們一些啟示，即證明過程要“有理有據(jù)”，即從理性的角度來分析問題 . 一般情況下，真命題被稱為定理，這是用來證明其他命題或進(jìn)行運(yùn)算的重要依據(jù)之一.本命題還有其他證明方法嗎？

生 6：我聯(lián)想到了平行線同旁內(nèi)角互補(bǔ)這個(gè)定理.

師：這也是“由果索因”的思路 . 按照這個(gè)思路，我們應(yīng)怎么證明呢？

生6：如圖3，過點(diǎn)A作BC邊的平行線，根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)和內(nèi)錯(cuò)角相等”證得△ABC的內(nèi)角和為180°.

師：非常好！此為18世紀(jì)克萊羅提出的證明方法.

生 7：我的證明方法與前兩位同學(xué)都不一樣.

師：哦？具體說說.

生7：如圖4，過點(diǎn)C作 AB 邊的平行線，由兩直線平行確定同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等，證得 △ABC 的內(nèi)角和為180°.

師：不錯(cuò)，此為歐幾里得記載在《幾何原本》中的證明方法.

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生按照自己的想法來證明問題，結(jié)果發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)家們的證明方法是一樣的.學(xué)生驚覺自己竟然能與數(shù)學(xué)家的思維產(chǎn)生共鳴，這讓他們感到無比驕傲和自豪.經(jīng)由師生間活躍的互動，學(xué)生的潛在思維逐漸顯化.輔助線的制作不僅體現(xiàn)了“由果索因”與“由因推果”的思路歷程，還引領(lǐng)學(xué)生達(dá)到了“知其然且知其所以然”的境界，從而有效推動了學(xué)生邏輯推理能力和數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展.歷史上，數(shù)學(xué)家們提出的證明方法，深刻地融入了數(shù)學(xué)文化的精髓，引領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)古今交融的魅力.

3.古今融通

在兩千多年前，聰明的人們就發(fā)現(xiàn)了三角形內(nèi)角和為180°這個(gè)結(jié)論 . 為了更生動地展現(xiàn)這一數(shù)學(xué)奇跡，教師借用短視頻精彩演繹以下內(nèi)容：泰勒斯從拼圖中發(fā)現(xiàn)了端倪，帕斯卡在折疊中獲得了啟示，提波特在旋轉(zhuǎn)中獲得了結(jié)論，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派以及諸多數(shù)學(xué)家用多種方法證明了三角形內(nèi)角和為180°.

師：泰勒斯從拼圖中發(fā)現(xiàn)了端倪，并驗(yàn)證了猜想，為何提波特和帕斯卡等人還要用不一樣的方法來驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論呢？而且后來仍有大量的數(shù)學(xué)家去追求更多的證法.這些現(xiàn)象體現(xiàn)了什么？

在上述問題的啟迪之下，學(xué)生自主提煉出“探索”“嚴(yán)謹(jǐn)”“鉆研”“創(chuàng)新”及“挑戰(zhàn)”等關(guān)鍵詞匯，這些詞匯共同體現(xiàn)了理性思維的深化與積極信念的樹立.

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)的發(fā)展歷經(jīng)了悠長的歲月，通過小視頻向?qū)W生傳播數(shù)學(xué)史，不僅能夠增添課堂的趣味性，拓寬學(xué)生的視野，還能激勵(lì)學(xué)生主動從多樣的證明方法中提煉出“利用平行線轉(zhuǎn)換角度”的共通之處.同時(shí)，此舉也極大地促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，為培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).學(xué)生在證法探究環(huán)節(jié)積極運(yùn)用了多位數(shù)學(xué)家的經(jīng)典證明方法，這不僅激發(fā)了他們對數(shù)學(xué)發(fā)展歷程的獨(dú)到見解，還使他們在深入探索多種證法的過程中，對數(shù)學(xué)的本質(zhì)有了更深刻的認(rèn)識.

4.應(yīng)用新知

想要讓學(xué)生真正理解新知，最佳途徑莫過于將所學(xué)知識付諸實(shí)踐.

題 1 如 圖 5， 已 知 ∠DCA 為△ABC 的一個(gè)外角， ∠A ， ∠B 的度數(shù)分別為 70°，40° ，那么 ∠DCA 的度數(shù)是多少呢？

題 2 若直角三角形的一個(gè)銳角度數(shù)為 35° ，那么該直角三角形的另一個(gè)銳角度數(shù)是多少？

題 3 如圖 6，已知線段 AC 與BD 于 點(diǎn) O 處 相 交 ， 請 證 明 ∠A +∠B = ∠C + ∠D .

題 4 如果一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為 5 ∶ 2 ∶ 2 ，那么這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別是多少？

設(shè)計(jì)意圖 前兩道題目以定理作為運(yùn)算依據(jù)，通過角度數(shù)的變化引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)并描述結(jié)論，從中提煉出特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.后兩道題目，一方面凸顯定理在推理中的作用，另一方面揭露定理亦可作為構(gòu)造方程相等關(guān)系的依據(jù).

5.總結(jié)提升

師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家覺得哪些思想方法可以幫助我們確定一個(gè)命題是正確的？

生8：作輔助線來證明.

生 9：用“由果索因”或“由因推果”的思路來證明.

生10：用轉(zhuǎn)化思想來證明.

……

師：當(dāng)你看到“證明”二字時(shí)，首先映入腦海的是什么？生11：定理、周密、公理、嚴(yán)謹(jǐn)、言必有據(jù)等詞語.

生 12：我想到的是“由因推果”以及“由果索因”.

生13：不能循環(huán)論證，論證方法應(yīng)具有多樣性.

師：很好！“證明”是本節(jié)課教學(xué)的關(guān)鍵詞.經(jīng)過本節(jié)課的探索，同學(xué)們對證明過程與技巧有了更為豐富且深刻的體驗(yàn).關(guān)于同一個(gè)問題有多種證明方法的探索，給你們帶來了什么啟示？生14：多種巧妙的證法，讓我對三角形的內(nèi)角和有了更為深入透徹的理解，仿佛瞬間豁然開朗，茅塞頓開.

生15：我發(fā)現(xiàn)，要證明一個(gè)問題，關(guān)鍵在于精準(zhǔn)地把握其核心要點(diǎn)，例如本節(jié)課就緊扣“180°”展開探索.

生17：我發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)是一門又美又有文化的學(xué)科，我們所探索的證明方法竟然與歷史上數(shù)學(xué)家們的證明方法一致，太神奇了！這讓我對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有信心了.

生18：是啊，是啊！我都覺得自己成了數(shù)學(xué)家（大家笑）.

生19：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓我充分感知了人類的探索與創(chuàng)新精神，尤其是各種數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，增加了數(shù)學(xué)的魅力.

從學(xué)生的課堂反饋來看，本節(jié)課的學(xué)習(xí)讓學(xué)生對數(shù)學(xué)證明產(chǎn)生了濃厚的興趣與信念.這不僅為學(xué)生增添了學(xué)習(xí)動力，更為他們?nèi)蘸蟮膫€(gè)人發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

教學(xué)思考

1.以史為綱，靈活滲透

為了促使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中更加關(guān)注數(shù)學(xué)史，教師需要自身對數(shù)學(xué)史有深入且全面的了解.在備課階段，教師可有針對性地搜集與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)史料，從中挑選出符合教學(xué)實(shí)際的內(nèi)容有機(jī)地滲透到課堂中.本節(jié)課，三角形內(nèi)角和的形成歷程頗為豐富，眾多數(shù)學(xué)家參與其中.盡管教師無法在課堂上詳盡講述每一個(gè)“小故事”，但可以巧妙地結(jié)合學(xué)生在課堂上的思考路徑，適時(shí)地引入證明方法的典故.這樣做不僅能在一定程度上鼓勵(lì)和認(rèn)可學(xué)生的思維能力，還能有效增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)的自信心.

2.以史為鑒，辨析證法

同一個(gè)問題可能存在多樣化的證明方法，有些方法在歷史的長河中永盛不衰，它們?yōu)楫?dāng)今的課堂注入了豐富的教學(xué)素材與深刻的啟發(fā) . 想要讓學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中不僅掌握知識，更能深入理解其背后的原理，最佳途徑便是激發(fā)學(xué)生的思維活力，為他們打造一個(gè)開放的探究空間 . 本節(jié)課的“古今融通”環(huán)節(jié)，教師利用小視頻的形式，向?qū)W生生動地展現(xiàn)了三角形內(nèi)角和的歷史探索之旅，不僅讓學(xué)生深刻體會到了數(shù)學(xué)家們嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、不懈探索的精神風(fēng)貌，還為學(xué)生敲響了警鐘 — —在面對證明類問題時(shí)，務(wù)必謹(jǐn)防循環(huán)論證的陷阱 . 這種以史為鏡的教學(xué)策略，能成功啟發(fā)學(xué)生的辯證思維，促使學(xué)生理性觀察每一件事物.

3.以史為泉，發(fā)展素養(yǎng)

課堂上能滲透的數(shù)學(xué)史有限且淺顯.若想進(jìn)一步滲透數(shù)學(xué)文化，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，教師可以課堂為契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生將對數(shù)學(xué)史的了解延伸到課外.如本節(jié)課所呈現(xiàn)的帕斯卡折疊與提波特旋轉(zhuǎn)等內(nèi)容尚顯淺顯，教師可激勵(lì)對此有濃厚興趣的學(xué)生，在課后自主深入探究折疊與旋轉(zhuǎn)的奧秘，以此錘煉實(shí)踐技能，進(jìn)一步培育核心素養(yǎng).

總之，數(shù)學(xué)文化能夠有效激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的濃厚興趣.事實(shí)證明，古今交融，為課堂注入了智慧與人文的活力，這正是新課改背景下課堂的理想追求.