教學從學生的典型錯誤出發

【摘 要】在高三數學一輪復習中教師應重視學生的答題錯誤，從學生的錯誤出發，總結錯誤類別和錯誤原因。通過設置理解型問題，內化基礎知識，繼而深化程序性策略，提煉基本方法，不斷激發學生進行深度思考，高效展開一輪復習。

【關鍵詞】高中數學；問題視角；一輪復習

【中圖分類號】G633.6" 【文獻標志碼】A" 【文章編號】1005-6009（2024）47-0041-04

【作者簡介】王耶，江蘇省蘇州實驗中學（江蘇蘇州，215500）教師，一級教師。

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）提出“把握數學本質，啟發思考，改進教學”的基本理念。一輪復習是知識的再整合過程，是全面構建知識體系的階段。一輪復習中，教師可以基于學生的答題錯誤創設其熟悉的問題情境，引導學生發現問題、提出問題，有效落實“四基四能”的培養，從而有效展開復習教學。本文結合高三一輪復習“導數在研究函數中的應用”的教學實踐，談談從學生錯誤出發的高三數學一輪復習教學。

一、試題呈現與典型錯誤

2023年蘇州市高三期中調研試卷的21題考查了一道導數題：

給定函數f （x）=（x+1）ex。

（1）判斷函數f （x）的單調性，并求出f （x）的極值；

（2）畫出f （x）的大致圖象；

（3）求出方程f （x）=a（a∈R）的解的個數。

本題考查了導數研究函數的性質及其圖象，題目取自人教A版高中數學選擇性必修第二冊“5.3導數在研究函數中的應用”的例7。雖然本題源自教材原題，且題目簡明、思路清晰，但從結果看，這道題第二問滿分4分，區均分只有1分多。評分細則為其中兩分是作圖的分數，很多學生在這部分雖有得分，但仍暴露出許多問題；還有兩分是必要的文字說明，在閱卷的過程中發現很少有學生能準確闡述該函數圖象的走勢，說明學生“作而不證”現象較為嚴重。

筆者記錄了學生幾類典型的錯誤畫法，并分析了每類畫法的錯誤之處。第一問可以快速求出f （x）有極小值f （-2）=- [1e2]，無極大值，這一小問對于學生而言較為容易。大部分學生的第一問單調性和極值的答案都是正確的，錯誤主要呈現在第二問的圖象中。這里附上典型的錯圖和錯因（見表1）。

二、從學生錯誤出發的一輪復習教學策略

1.設計理解型問題，內化基礎知識

筆者針對學生錯誤的知識點，從整體視角出發，梳理函數作圖的邏輯線，強化學生對基礎知識的掌握。對于核心的基本知識，教師可以設計相應的理解性問題，引導學生回顧、辨析、內化，構建整體知識框架。

【教學設計1】

環節1：先展示學生的錯誤圖象，讓學生一一回答圖象錯誤的原因。

環節2：讓學生思考函數作圖需要考慮哪些因素。

問題1：刻畫變化速度與瞬時變化率有關，什么是瞬時變化率？怎么表示某點處的瞬時變化率？導數f '（x）的幾何意義是什么？什么時候函數不可導？那怎么看函數的增長趨勢？

問題2：導數是關于函數瞬時變化率的數學表達，它定量地刻畫了函數的局部變化，用導數可以更精確地研究函數性質。怎么判斷函數的單調性？怎么判斷函數的極值點？極值點滿足f '（x0）=0，那么滿足f '（x0）=0的x0一定是極值點嗎？你能否畫出對應的函數圖象。

問題3：怎么判斷函數的零點？零點存在定理是什么？那這里只有一個零點怎么說明？

問題4：畫圖還需要一些特殊點輔助作圖，一般會找哪些特殊點，為什么？

【設計意圖】首先通過錯誤圖象讓學生意識到哪些地方易錯，幫助其構建整體答題觀。其次，通過一系列理解型問題的設計，幫助學生追本溯源，回顧教材中的基礎概念：問題1是針對序號2，3，4的錯誤圖象設計的知識回顧，讓學生理解瞬時變化率的本質及導數的幾何意義；問題2是針對序號5，6的錯誤圖象設計的知識回顧，突出導數在函數中的應用；問題3是針對序號1的設計，通過零點存在性定理判斷圖象變化趨勢；問題4是針對序號3，4，6的設計，培養學生規范的作圖意識。

2.深化程序性策略，提煉基本方法

基于學生的解題過程，教師可以提煉出程序性解題策略，深化學生對于一類題型的理解；可以回歸教材，通過教材課后習題的延續，培養學生分析問題和解決問題的能力。

【教學設計2】

環節1：同學們能否總結出畫函數f （x）大致圖象的具體步驟？

環節2：請作函數y = [ex（2x-1）x-1]的大致圖象。

環節3：投影展示學生所作圖象，并讓學生對圖象作出解釋說明。

【設計意圖】環節1重視作圖過程的呈現，通過讓學生提煉函數作圖基本步驟，幫助學生厘清這些步驟與求函數單調區間、求函數極值等問題的步驟之間的聯系。環節2是教科書本章節復習參考5中的第17題，回歸教材，也是上述作圖步驟的深化理解，有意識地強化學生的作圖能力。環節3的設計旨在規范學生的作圖方式，幫助其建立數與形的聯系，發展幾何直觀素養和想象能力，在具體的情境中感悟事物的本質。

三、基于學生錯誤的一輪復習教學反思

1.回歸教材，重視典型例題的示范功能

一輪復習過程中，復習資料的選擇非常廣泛，但題目的篩選，仍要回歸書本，要重視書本中好的例題和習題。中學數學教科書的根本屬性是導學性［1］，教材中很多題目可以視為母題，有些題可以一題多解，有些題可以一題多變。高考的風向雖然會變化，但考試課程目標確定，育人導向清晰，高考試題也離不開教材。在一輪復習時間緊張的背景下，教師對于課堂的把控要更為精準細致，對于題目的選擇也要精上加精。在一輪復習中，教師可以選擇教科書上合適的例題，通過對題目的探究和改編，充分挖掘題目本質。例如，在上述題目的講解中，教師可以引導學生畫出y =（x-1）ex（2022新高考Ⅱ），y = x2·e-x（2013新課標Ⅱ），y = x2lnx（2013天津）等函數的大致圖象，系統綜合地引領學生感受畫新函數圖象的完整步驟，了解函數的定義域、單調性、導數變化等對函數圖象的影響，并通過圖象的變化組織關聯導數在函數單調性中應用的教學。這些函數是客觀題中的高頻函數原型，因此評講這類題目，也能視作是微專題的探究。

2.追本溯源，加強對概念本質的理解復習

高三一輪復習中，回顧概念是必需的，但不應淺顯地對公式、定理進行簡單回憶，而應系統、科學地幫助學生重構概念體系。在SOLO分類評價法中，彼格斯將思維分為五個層次。［2］教師講解知識前，學生處于前結構層次。在新授課后，高一高二學生大多處于單點結構層次、多點結構層次。一輪復習教學中，教師對知識的系統講解，目的是讓學生達到關聯結構層次和抽象拓展層次，即整合各個章節的內容，找到多個解決問題的思路，并能把這些思路結合起來解決較為復雜的具體問題，對于一些值得探討的問題，學生也能做到抽象概括、深化問題，達到深度理解。［3］上述教學以一道題幫助學生建立函數單調性、零點、極值點、凹凸性、瞬時變化率等概念間的聯系。同時，教學中還可以以點到面，把確定函數問題轉為含參問題研究，增強學習的探究性。高三復習中題目綜合性較強，但教學需體現“低起點、多層次、高落差”等特點。因此，教師應追本溯源，回歸本質，從低起點出發，將知識點關聯成知識體系，引導和鼓勵學生完善問題解決方案，抽象和拓展出新的內容。

3.以學定教，充分暴露學生的思維過程

國際教育署和國際教育學會聯合出版的《有效的數學教學》中指出，“教師應當以學生的知識和興趣作為教學的出發點，應當在學生已有技能的基礎上，調整教學達到滿足學生需求的目的”?！敖處煈斦J識到學生的思考是漸進的過程，應當充分利用學生的思考作為他們繼續學習的資源。”［4］教學中學生暴露的錯誤有多種原因，比如概念理解偏差、學習習慣不良等。教師在教學中不應回避學生的“錯誤思考”，而應善用這些“錯誤”，制訂合理的教學計劃和教學任務。在此過程中，教師應鼓勵學生解釋和說明他們解決問題的想法和方法，充分發揮其主觀能動性，激發其思考內驅力，重視其基本思想、基本活動經驗的獲得，發展他們發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。

4.融入技術，重視問題解決能力的有效培養

新課標指出，教師應重視信息技術的運用，優化課堂教學，轉變教學與學習方式。這里的信息技術是多方面的。一是教學中可以使用幾何畫板、GGB等數學教育技術，幫助學生建立動態變化的直觀想象。學生對于函數圖象缺少直觀的想象，因而在超越函數的作圖中會有較強的陌生感。教師多使用信息技術，不僅能讓學生直觀感受確定函數的圖象，也可讓學生在含參函數作圖中，感受參數變化對圖象的影響，從而讓學生體驗圖形動態變化所帶來的魅力，激發學生的學習興趣，培養學生利用這些教育技術發現問題、解決問題的能力。二是多媒體時代，教師可以篩選好的學習資料、視頻等分享給學生。多利用優秀網絡資源：或是數學史發展、或是專題講解、或是方法優化，照顧各個層次學生的需求，幫助學生查漏補缺，積累活動經驗。

【參考文獻】

［1］章飛，顧繼玲.中學數學教科書的根本屬性與設計原則［J］.數學通報，2022，61（1）：27-32.

［2］彼格斯，科利斯.學習質量評價：SOLO分類理論（可觀察的學習成果結構）［M］.高凌飚，張洪巖，譯.北京：人民教育出版社，2010：27.

［3］喻平.數學教學心理學［M］.北京：北京師范大學出版社，2018：40-43.

［4］鮑建生，徐斌艷.數學教育研究導引（二）［M］.南京：江蘇教育出版社，2013：220.