基于問題鏈的高中數學項目化解題教學

鄭仕福

摘要：高中數學解題教學中，以平面向量為例，通過主干問題、延伸問題和提煉問題的解題模式，引導學生思考問題，掌握解題技巧，提升解題能力.

關鍵詞：高中數學；解題教學；問題鏈；項目化；平面向量

解題教學是高中數學教學的基本活動形式，通過解題可以培養學生數學核心素養和思維能力.問題鏈教學以問題為基礎引導學生思考、分析問題，掌握解題思路，幫助他們掌握知識并培養解題能力.

1 高中數學項目化解題教學問題鏈設計

基于問題鏈的高中數學項目化解題教學以問題為導向，讓學生通過思考和求解問題來提升解題能力.因此需要按照表1中的解題教學原則來設計問題鏈，培養學生的解題能力.

2 基于問題鏈的高中平面向量項目化解題教學

2.1 原題呈現

例1 （2022年高考北京卷第10題）在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°，P為△ABC所在平面內的一動點，且PC=1，則PA·PB的取值范圍是（）.

2.2 主干問題

問題1 題目中給定了哪些幾何關系？

審題時，首先要明確題目中所給定的已知條件，根據已知條件進行相關關系的確定.本題中所給定的已知條件是在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°，P為△ABC所在平面內的一動點，且PC=1，由已知條件可以確定△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，同時知道兩條直角邊的長度分別是AC=3，BC=4，并且能夠確定點P的運動軌跡是以C為圓心，半徑為1的圓［1］.

問題2-1 如何表示題目中的向量PA，PB？

表示向量就需要將幾何關系進行代數化轉換，所以需要建立平面直角坐標系，利用幾何關系構建如圖1所示的平面直角坐標系.根據幾何位置關系確定點的坐標，即A（3，0），B（0，4），

進而利用點的坐標來表示向量.

問題2-2 點P的坐標如何表示？

點P是以C為圓心，半徑為1的圓上的動點.假設CP與CA的夾角為θ，則點P的坐標可以表示為P（cos θ，sin θ），所以可得PA=（3－cos θ，－sin θ），PB=（－cos θ，4－sin θ）.

評析：這種解題思路是通過建立平面直角坐標系，充分利用PC=1，利用三角函數將點P的坐標表示為P（cos θ，sin θ），再表示出向量，最后利用三角函數的定義域來確定取值范圍.

2.3 延伸問題

問題3 本題由于PC=1，通過上述解題方式求解不會存在較大的計算問題，但是如果PC的值是變化的，就會增加本題的難度.是否存在一種解題思路，使運算過程不會因PC值的變化而受到太大的影響？

解法1：利用極化恒等式求解.

如圖2，D為AB的中點，連接PD.由極化恒等式，得PA·PB=（PA+PB）2－（PA－PB）2/4，其中PA+PB=2PD，PA－PB=BA.變形，可得PA·PB=|PD|2－|BA|2/4=|PD|2－25/4.當點P在P1位置時，|PD|取得最小值3/2，此時PA＼5PB=－4；當點P在P2位置時，|PD|取得最大值7/2，此時可得PA＼5PB=6.故PA＼5PB的取值范圍是［－4，6］.

評析：解法1充分利用了平面向量中常見的二級結論a·b=（a+b）2－（a－b）2/4，以及平面幾何中圓的定義、勾股定理以及直角三角形斜邊中線的性質等.這樣可以有效降低計算量，提升解題效率［2］.

解法2：利用解析幾何方式求解.

如圖1所示，建立平面直角坐標系xOy，設點P（x，y），根據題意可得x2+y2=1，PA·PB=（－x）（3－x）+（4－y）（－y）=1－3x－4y.設t=1－3x－4y，則可將問題轉化為求這個函數的值域.由x2+y2=1與t=1－3x－4y聯立后的方程有解，將問題轉化為直線3x+4y+t－1=0與圓x2+y2=1有交點，進一步將問題轉化為圓心C到直線3x+4y+t－1=0的距離不大于1，即|t－1|/32+42≤1，所以|t－1|≤5，故－4≤t≤6.

評析：解法2直接利用解析幾何的方式將幾何問題轉化為代數問題進行求解［3］.通過將PA＼5PB用函數來表示，將其看成二元函數的值域問題，并通過不斷的轉化，將其轉化為點到直線的距離問題，實現對問題的求解.

2.4 提煉問題

問題4 結合上述三種解題策略，總結平面向量的一般解題策略（如圖3）.

例2 （延伸問題）（2022年天津卷第14題）在△ABC中，CA=a，CB=b，D是AC的中點，CB=2BE，則DE=___；若AB⊥DE，則∠ACB的最大值為___.

按照平面向量解題的一般策略，首先通過幾何方式審視已知條件中的關系，通過已知條件可以得到平面幾何圖形，如圖4所示，可以發現DE=CE－CD=3/2b－1/2a，得到第一個問題的答案［4］.對第二個問題進行分析，發現可以通過常規基底法來求解，AB=CB－CA=b－a，由AB⊥DE，可得（b－a）·3/2b－1/2a=0，則3b2+a2=4b·a=4|b||a|cos∠ACB，于是cos∠ACB=3b2+a2/4|a||b|≥23|a||b|/4|a||b|=3/2，所以∠ACB∈[JB（]0，π/6[JB）］]，故∠ACB的最大值為π/6.

若不按照常規方法來求解，則可以建立平面直角坐標系.以E為原點，EC所在直線為x軸構建平面直角坐標系，然后設EB的長度為1，則可得E（0，0），B（1，0），C（3，0）.設點A的坐標為A（x，y），則可以得到AB=（1－x，-y），DE=-x+3/2，-y/2.根據AB⊥DE，可得（x－1）＼5x+3/2+y2/2=0，所以（x+1）2+y2=4，則可以確定點A在圓心為（-1，0），半徑為2的圓上，從而將角的大小問題轉化為AC與圓的關系問題.當AC與圓相切時，∠ACB的最大值為π/6.

評析：本題是以平面向量的一般解題策略來求解的.通過幾何描述表示題目中已知的條件，從而確定題目所展示的幾何關系，判斷位置關系，進而設計解題策略實現問題的求解.

3 教學反思

平面向量問題涉及學生的數學思維和學科素養.首先，可以考查學生的直觀想象能力，通過幾何圖形展示問題并根據圖形特征選擇解題策略.其次，可以考查學生的邏輯推理能力，如對極化恒等式進行演繹推理.最后，可以考查學生的數學運算能力，因為運算錯誤可能導致結果錯誤.解題教學應該回歸數學的本質和通用方法.在平面向量問題中，解析法和基底法是常用的解題方法，而極化恒等式是一種特別的向量分解方法［5］.這些方法是解決平面向量問題的關鍵.高中數學項目化解題教學應該回歸數學的本質，并結合實際問題尋找解題的一般策略.通過分析主干問題來找到解題的突破口，然后結合延伸問題確定解題策略，實現問題的求解.平面向量問題的解題一般策略可以有效解決相關問題.

綜上所述，平面向量問題的解題教學應該注重對學生數學思想和數學學科素養的培養，采用合適的解題策略，回歸數學的本質和通性通法.結合實際問題尋找解題一般策略是高中數學項目化解題教學的關鍵.

參考文獻：

[1]朱祖煌.高中數學習題課教學中的問題鏈設計 ——以平面向量的解題項目化教學為例[J].中學教研（數學），2022（10）：8-10.

[2]石明榮.建構四種意識 發展核心素養 ——以平面向量為例[J].福建中學數學，2023（1）：24-27.

[3]陳誠.高一學生平面向量解題能力培養教學實踐[D].武漢：華中師范大學，2019.

[4]許文軍.2022年高考數學北京卷第10題賞析[J].中學數學，2023（5）：65-66.

[5]高宇，周瑾.“雙新”背景下高考試題對教學的啟示——2022年高考數學北京卷評析[J].中學數學教學參考，2022（31）：74-76.