基于問題鏈的高中數(shù)學(xué)項(xiàng)目化解題教學(xué)

鄭仕福

摘要：高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，以平面向量為例，通過主干問題、延伸問題和提煉問題的解題模式，引導(dǎo)學(xué)生思考問題，掌握解題技巧，提升解題能力.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；問題鏈；項(xiàng)目化；平面向量

解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基本活動(dòng)形式，通過解題可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和思維能力.問題鏈教學(xué)以問題為基礎(chǔ)引導(dǎo)學(xué)生思考、分析問題，掌握解題思路，幫助他們掌握知識(shí)并培養(yǎng)解題能力.

1 高中數(shù)學(xué)項(xiàng)目化解題教學(xué)問題鏈設(shè)計(jì)

基于問題鏈的高中數(shù)學(xué)項(xiàng)目化解題教學(xué)以問題為導(dǎo)向，讓學(xué)生通過思考和求解問題來提升解題能力.因此需要按照表1中的解題教學(xué)原則來設(shè)計(jì)問題鏈，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力.

2 基于問題鏈的高中平面向量項(xiàng)目化解題教學(xué)

2.1 原題呈現(xiàn)

例1 （2022年高考北京卷第10題）在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°，P為△ABC所在平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且PC=1，則PA·PB的取值范圍是（）.

2.2 主干問題

問題1 題目中給定了哪些幾何關(guān)系？

審題時(shí)，首先要明確題目中所給定的已知條件，根據(jù)已知條件進(jìn)行相關(guān)關(guān)系的確定.本題中所給定的已知條件是在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°，P為△ABC所在平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且PC=1，由已知條件可以確定△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，同時(shí)知道兩條直角邊的長(zhǎng)度分別是AC=3，BC=4，并且能夠確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，半徑為1的圓［1］.

問題2-1 如何表示題目中的向量PA，PB？

表示向量就需要將幾何關(guān)系進(jìn)行代數(shù)化轉(zhuǎn)換，所以需要建立平面直角坐標(biāo)系，利用幾何關(guān)系構(gòu)建如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系.根據(jù)幾何位置關(guān)系確定點(diǎn)的坐標(biāo)，即A（3，0），B（0，4），

進(jìn)而利用點(diǎn)的坐標(biāo)來表示向量.

問題2-2 點(diǎn)P的坐標(biāo)如何表示？

點(diǎn)P是以C為圓心，半徑為1的圓上的動(dòng)點(diǎn).假設(shè)CP與CA的夾角為θ，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可以表示為P（cos θ，sin θ），所以可得PA=（3－cos θ，－sin θ），PB=（－cos θ，4－sin θ）.

評(píng)析：這種解題思路是通過建立平面直角坐標(biāo)系，充分利用PC=1，利用三角函數(shù)將點(diǎn)P的坐標(biāo)表示為P（cos θ，sin θ），再表示出向量，最后利用三角函數(shù)的定義域來確定取值范圍.

2.3 延伸問題

問題3 本題由于PC=1，通過上述解題方式求解不會(huì)存在較大的計(jì)算問題，但是如果PC的值是變化的，就會(huì)增加本題的難度.是否存在一種解題思路，使運(yùn)算過程不會(huì)因PC值的變化而受到太大的影響？

解法1：利用極化恒等式求解.

如圖2，D為AB的中點(diǎn)，連接PD.由極化恒等式，得PA·PB=（PA+PB）2－（PA－PB）2/4，其中PA+PB=2PD，PA－PB=BA.變形，可得PA·PB=|PD|2－|BA|2/4=|PD|2－25/4.當(dāng)點(diǎn)P在P1位置時(shí)，|PD|取得最小值3/2，此時(shí)PA＼5PB=－4；當(dāng)點(diǎn)P在P2位置時(shí)，|PD|取得最大值7/2，此時(shí)可得PA＼5PB=6.故PA＼5PB的取值范圍是［－4，6］.

評(píng)析：解法1充分利用了平面向量中常見的二級(jí)結(jié)論a·b=（a+b）2－（a－b）2/4，以及平面幾何中圓的定義、勾股定理以及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等.這樣可以有效降低計(jì)算量，提升解題效率［2］.

解法2：利用解析幾何方式求解.

如圖1所示，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)點(diǎn)P（x，y），根據(jù)題意可得x2+y2=1，PA·PB=（－x）（3－x）+（4－y）（－y）=1－3x－4y.設(shè)t=1－3x－4y，則可將問題轉(zhuǎn)化為求這個(gè)函數(shù)的值域.由x2+y2=1與t=1－3x－4y聯(lián)立后的方程有解，將問題轉(zhuǎn)化為直線3x+4y+t－1=0與圓x2+y2=1有交點(diǎn)，進(jìn)一步將問題轉(zhuǎn)化為圓心C到直線3x+4y+t－1=0的距離不大于1，即|t－1|/32+42≤1，所以|t－1|≤5，故－4≤t≤6.

評(píng)析：解法2直接利用解析幾何的方式將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行求解［3］.通過將PA＼5PB用函數(shù)來表示，將其看成二元函數(shù)的值域問題，并通過不斷的轉(zhuǎn)化，將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題，實(shí)現(xiàn)對(duì)問題的求解.

2.4 提煉問題

問題4 結(jié)合上述三種解題策略，總結(jié)平面向量的一般解題策略（如圖3）.

例2 （延伸問題）（2022年天津卷第14題）在△ABC中，CA=a，CB=b，D是AC的中點(diǎn)，CB=2BE，則DE=___；若AB⊥DE，則∠ACB的最大值為___.

按照平面向量解題的一般策略，首先通過幾何方式審視已知條件中的關(guān)系，通過已知條件可以得到平面幾何圖形，如圖4所示，可以發(fā)現(xiàn)DE=CE－CD=3/2b－1/2a，得到第一個(gè)問題的答案［4］.對(duì)第二個(gè)問題進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)可以通過常規(guī)基底法來求解，AB=CB－CA=b－a，由AB⊥DE，可得（b－a）·3/2b－1/2a=0，則3b2+a2=4b·a=4|b||a|cos∠ACB，于是cos∠ACB=3b2+a2/4|a||b|≥23|a||b|/4|a||b|=3/2，所以∠ACB∈[JB（]0，π/6[JB）］]，故∠ACB的最大值為π/6.

若不按照常規(guī)方法來求解，則可以建立平面直角坐標(biāo)系.以E為原點(diǎn)，EC所在直線為x軸構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，然后設(shè)EB的長(zhǎng)度為1，則可得E（0，0），B（1，0），C（3，0）.設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（x，y），則可以得到AB=（1－x，-y），DE=-x+3/2，-y/2.根據(jù)AB⊥DE，可得（x－1）＼5x+3/2+y2/2=0，所以（x+1）2+y2=4，則可以確定點(diǎn)A在圓心為（-1，0），半徑為2的圓上，從而將角的大小問題轉(zhuǎn)化為AC與圓的關(guān)系問題.當(dāng)AC與圓相切時(shí)，∠ACB的最大值為π/6.

評(píng)析：本題是以平面向量的一般解題策略來求解的.通過幾何描述表示題目中已知的條件，從而確定題目所展示的幾何關(guān)系，判斷位置關(guān)系，進(jìn)而設(shè)計(jì)解題策略實(shí)現(xiàn)問題的求解.

3 教學(xué)反思

平面向量問題涉及學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和學(xué)科素養(yǎng).首先，可以考查學(xué)生的直觀想象能力，通過幾何圖形展示問題并根據(jù)圖形特征選擇解題策略.其次，可以考查學(xué)生的邏輯推理能力，如對(duì)極化恒等式進(jìn)行演繹推理.最后，可以考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，因?yàn)檫\(yùn)算錯(cuò)誤可能導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.解題教學(xué)應(yīng)該回歸數(shù)學(xué)的本質(zhì)和通用方法.在平面向量問題中，解析法和基底法是常用的解題方法，而極化恒等式是一種特別的向量分解方法［5］.這些方法是解決平面向量問題的關(guān)鍵.高中數(shù)學(xué)項(xiàng)目化解題教學(xué)應(yīng)該回歸數(shù)學(xué)的本質(zhì)，并結(jié)合實(shí)際問題尋找解題的一般策略.通過分析主干問題來找到解題的突破口，然后結(jié)合延伸問題確定解題策略，實(shí)現(xiàn)問題的求解.平面向量問題的解題一般策略可以有效解決相關(guān)問題.

綜上所述，平面向量問題的解題教學(xué)應(yīng)該注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)，采用合適的解題策略，回歸數(shù)學(xué)的本質(zhì)和通性通法.結(jié)合實(shí)際問題尋找解題一般策略是高中數(shù)學(xué)項(xiàng)目化解題教學(xué)的關(guān)鍵.

參考文獻(xiàn)：

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