高中數(shù)學問題解決中的化歸思想

王明月

摘要：化歸思想是高中數(shù)學中一種重要的解題方法，通過將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的形式，可以更好地理解和解決數(shù)學問題.本文中介紹了化歸思想的基本原理和六種常用方法，以及它在高中數(shù)學問題解決中的應用示例.

關(guān)鍵詞：問題解決；化歸思想；高中數(shù)學

1 數(shù)學問題解決

“問題解決”已經(jīng)成為了教育領(lǐng)域中的一個熱門話題，同時它也是學生獲得新知識的一個主要方式，因此，國內(nèi)外的心理學者和教育工作者都對“問題解決”進行了廣泛的研究.在教育心理學領(lǐng)域，更是提出了“試誤論”“頓悟說”“最近發(fā)展區(qū)”“五階段論”“六階段論”和問題解決的IDEAL模式等理論學說.在我國的數(shù)學課程標準中，問題解決也被列入了總目標中的一項明確的要求.這表明，問題解決已經(jīng)成為了教師教學和學生學習中必須重視的一個方面.

從最初對問題解決的初探，到目前的深入研究，已經(jīng)經(jīng)歷了三個時期：第一個時期的首要目的是掌握知識，學習方法；第二個時期是“雙基論”時期，側(cè)重于對學生的基礎(chǔ)理論的掌握和基本功的訓練；第三個時期是“三維目標”時期，重點是從具體問題的解決向思維方式的轉(zhuǎn)化.如今，問題解決能力的培養(yǎng)在數(shù)學課程中已經(jīng)占有了很大的比重.

2 化歸思想

數(shù)學作為人類的精神財富，具有豐富的思想方法.數(shù)學思維方法的滲透是以數(shù)學知識為基礎(chǔ)的[1].中小學生的年齡特征，決定了一些數(shù)學思想難以被接受，將過多的數(shù)學思想滲透給學生是不現(xiàn)實的.因此，我們要有選擇地滲透一些重要的數(shù)學思想，整合容易被接受的思想和方法，促進學生數(shù)學能力的提高.筆者認為，高中數(shù)學應重視的是思維的轉(zhuǎn)變.

化歸思想的實質(zhì)是通過將一個復雜的問題分解成一系列簡單的子問題來解決.具體而言，利用化歸思想解決問題通常包括以下幾個步驟：（1）確定問題的基本要素.首先，需要明確問題中的基本要素，例如已知條件、未知量等.（2）分析問題的特點.對于復雜的問題，需要仔細分析它的特點，找出其中的規(guī)律和關(guān)系.（3）逐步化簡問題.通過逐步化簡，將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的形式，使得問題更易于理解和解決.（4）歸納總結(jié).在解決簡化后的問題之后，需要進行歸納總結(jié)，找出問題的一般性解法或規(guī)律.

化歸思想解決問題的一般模式[2]見圖1.

3 化歸思想六種方法及應用案例分析

數(shù)學問題的解決需要學生的邏輯思維、分析和推理能力.化歸法這種思維方式可以培養(yǎng)學生的思維敏銳性和邏輯思維能力，能夠幫助他們更好地理解和解決其他學科和現(xiàn)實生活中的各種問題.

化歸法是解題的重要方法，它能夠幫助我們解決問題.化歸能力與問題解決的成敗直接相關(guān).在化歸的過程中，需要建立知識之間的聯(lián)系，優(yōu)化認知結(jié)構(gòu).這樣可以豐富問題解決的策略，實現(xiàn)知識的轉(zhuǎn)移.所以，化歸法對于學生來說非常重要.在學習的過程中，學生要學會運用化歸方法來解決問題，從而實現(xiàn)問題解決能力的提升.

化歸思想是解題的重要途徑和方法.文［3］中介紹了化歸思想解題的六個特征，筆者從中總結(jié)出常見的化歸方法，并進行舉例分析.

3.1 改變表達方式

從化歸思維的角度，采用“數(shù)形”結(jié)合的方法，對函數(shù)的“數(shù)”和“形”進行轉(zhuǎn)換，與之相關(guān)的問題就有多種表達形式.例如，函數(shù)的表示有解析法、圖象法和列表法，所以在處理函數(shù)問題時，可以將一種表達形式轉(zhuǎn)化為另一種形式.再如，指數(shù)式和對數(shù)式也是對同一內(nèi)容的不同表達方式.

3.2 改變思考方向

從化歸思想的角度將“正向思維”轉(zhuǎn)化為“逆向思維”，運用了逆向思維法，“分析法”和“反證法”即為該原理.當題中的已知條件不足以支撐所求結(jié)論時，可以考慮從結(jié)論入手去匹配已知條件，即“正難則反”.

案例1 設a1，a2，a3，a4各項均大于0，且是公差為d（d≠0）的等差數(shù)列.是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說明理由.

分析：學生閱讀題目后，會下意識地先解方程組[JB（{]（a1+d）4=a1（a1+2d）3，（a1+2d）6=（a1+d）2（a1+3d）4，試圖通過確定a1與d的值進行解答.但學生缺乏處理高次方程的技巧與經(jīng)驗，解題也就戛然而止了.如果只從正面考慮，學生會陷入定勢思維，糾結(jié)于方程組的求解.此時，不妨從反面考慮，先確定一個結(jié)論，與題目的已知條件進行匹配，也就是采用反證法，在此過程中可以通過整體思想化歸為低次方程，這樣該問題就簡化了.

3.3 改變語言表達方式

數(shù)學問題的表述方式多種多樣，有自然語言、符號語言，還有圖形語言.于學生而言，相較于符號語言，自然語言更易理解.所以，在學生學習和解決數(shù)學問題時，一定要強化多種語言形式的相互轉(zhuǎn)化，尤其是當遇到不懂的題目時，可嘗試用另外一種語言來表達.

案例2 已知集合A={x|－1≤x≤0}，集合B={x|ax+b＼52x－1<0，0≤a≤2，1≤b≤3}.

若a，b∈N，求A∩B≠的概率.

分析：本題采用符號語言表述題干，但對學生來說，審題時可能感覺比較抽象，不能很好挖掘問題的核心，導致在問題解決的過程中遇到阻礙.本題的關(guān)鍵在于將“A∩B≠”轉(zhuǎn)化為“不等式ax+b＼52x－1<0在區(qū)間［－1，0］上有解”即

f（x）=ax+b＼52x－1在［－1，0］上最小值小于0.一旦學生完成了該轉(zhuǎn)換，接下來問題就迎刃而解了.

3.4 改變式子搭配方式

數(shù)學式子的表達形式是多樣的，有時題中給出的式子不能夠幫助學生快速發(fā)現(xiàn)問題的核心，這就需要學生能夠靈活變通，不斷改變式子結(jié)構(gòu)，找到關(guān)鍵點.

案例3 設函數(shù)f（x）=m/x+nx（m∈R），若對任意b>a>0，f（b）－f（a）/b－a<1恒成立，求m的取值范圍.

分析：學生在最開始入手時，容易將解題重心放在將問題轉(zhuǎn)化為f′（x）<1恒成立，得m>1/4，但這并不是本題的正確答案.需注意到，首先利用b>a>0將已知條件可以轉(zhuǎn)化為f（b）－

f（a）

3.5 改變思考角度

在遇到問題時，當很難將其作為一個整體來看待，或者“當一個問題包含了很多可能的情況或結(jié)果時，我們通常會將每一個方面或情況的復雜問題分解成更簡單、更一般的問題[4]，”即分類討論.分類討論是一種化歸策略，我們可以用它把問題進行分解，然后逐一解決.

案例4 設函數(shù)f（x）=ex－1－x－ax2，若當x≥0時，f（x）≥0，求a的取值范圍.

分析：本題可采取分離變量或分類討論兩種方式解決.但是，前者需要多次求導，且需要應用到高等數(shù)學中的知識，超過了學生的知識范疇；后者則需要正確分類，此時就要求學生能注意到題目中的隱含條件，即f（0）=0，而本題的重點其實就是求f（x）≥0對x≥0均成立的充分必要條件.因此可以從側(cè)面入手，由f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增即充分條件，求出a的取值范圍，再驗證其必要性即可得解.

3.6 改變研究對象

從化歸思想的角度使“陌生的研究對象”向“熟悉的研究對象”進行轉(zhuǎn)化，運用的換元法歸屬于化歸方法，學生在函數(shù)問題中運用換元法的解題能力亦稱作構(gòu)造能力.

案例5 設a=0.1e0.1，b=1/9，c=－ln 0.9，試比較a，b，c的大小.

分析：題干中的a是指數(shù)形式，b是分數(shù)形式，c是對數(shù)形式，三個字母所代表的數(shù)值形式不統(tǒng)一，可以利用化歸思想通過構(gòu)造函數(shù)來統(tǒng)一.此時，可以構(gòu)造函數(shù)f（x）=x+ln（1－x）且x∈（0，0.1］來判斷a與b的大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù) g（x）=xex+ln（1－x）且x∈（0，0.1］ ，來判斷a與c的大小關(guān)系.本題通過構(gòu)造與原問題密切相關(guān)的數(shù)學模型，從而把問題轉(zhuǎn)化為比較簡單或易于求解的新問題， 使得問題在該模型的作用下實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，迅速獲解.

參考文獻：

［1］吳正，練紅琴.化歸思想及其在問題解決探索過程中的應用[J].中學教研，2005（8）：29-31.

［2］陳建花.高中數(shù)學解題教學中化歸思想的培養(yǎng)[D].武漢：華中師范大學，2005.

［3］袁守義.換“位”思考——化歸的有效手段[J].數(shù)學通報，2015，54（11）：48-51.

［4］王震.結(jié)構(gòu)化視域下高中數(shù)學問題解決與創(chuàng)新能力培養(yǎng)[J].數(shù)學通報，2023，62（5）：7-11，41.