在想象、探究和運用中發展空間觀念

【摘 要】為了幫助學生理解射線和直線是“無限長的”，以及理解“因為角的兩邊是射線，所以角的大小與邊畫得長或短無關”，進而實現認知的進階和思維的提升，教師可組織學生進行想象游戲、變魔術游戲和比劃游戲，引導他們在游戲過程中尋找線段、射線、直線的異同點及其聯系，并在闖關游戲中學以致用，發現數學的規律美與簡約美，逐步建構起關于射線、直線、角的清晰表象與系統認知，進而培養他們的空間觀念、初步的幾何直觀等核心素養。

【關鍵詞】小學數學；空間觀念；《射線、直線和角》

【中圖分類號】G623.5 "【文獻標志碼】A "【文章編號】1005-6009（2024）01-0077-06

【作者簡介】馮桂群，江蘇省南通師范學校第一附屬小學（江蘇南通，226010）教師，南通師范高等專科學校小教研究所研究員，正高級教師，江蘇省數學特級教師，全國優秀教師。

《認識射線、直線和角》安排在蘇教版數學教材四年級上冊，是在學生已經初步認識了線段和角的基礎上展開教學的，也是學生進一步學習角的分類、認識垂線和平行線的基礎。本課的教學難點，是如何借助燈射出的光線和從線段“變出”射線、直線的過程，引導學生深刻理解數學世界的射線和直線是“無限長的”，初步建立無限長的概念，并由此深度感悟——“因為角的兩邊是射線，所以角的大小與邊畫得長或短無關”，實現思維進階和認知迭代。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）指出：在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系。一方面了解數學知識的產生與來源、結構與關聯、價值與意義，了解課程內容和教學內容的安排意圖； 另一方面強化對數學本質的理解，關注數學概念的現實背景，引導學生從數學概念、原理及法則之間的聯系出發，建立起有意義的知識結構。為了落實新課標理念，有效突破教學難點，筆者組織學生一起玩想象游戲和比劃游戲，引導他們在游戲過程中尋找線段、射線、直線的異同點和密切聯系，促使他們逐步建構起關于線段、射線、直線、角的清晰表象與系統認知，從而有效培養空間觀念和初步的幾何直觀等核心素養。

一、想象中導入，激趣生疑

師：孩子們，物理學家愛因斯坦曾說過——（多媒體同步顯示相關圖片和文字）

生（齊）：想象力比知識更重要。

師：下面，我們就來玩一個想象游戲——請看，老師手機的手電筒里射出了一束神奇的光線，它能穿透一切障礙，筆直地射向無邊無際的宇宙……（同步進行實物演示并呈現例題中的光線圖片，促進學生大膽展開想象）如果把此刻射出光線的軌跡畫下來，就會得到什么圖形？

生：射線！

師：恭喜你，猜對了！（板書：射線）

師：繼續想象，老師手里還有一個更神奇的光源，它能左右開弓，向兩邊同時射出筆直的光線，這根光線同樣能穿透一切障礙，直直地射向無邊無際的宇宙……（雙手握拳，之后雙手分開并將手臂向兩側平舉，引導學生更大膽地展開想象）如果把此刻射出光線的軌跡畫下來，會得到另一種圖形——

生：直線！

師：真了不起，又猜對了！（板書：直線）射線跟我們之前認識的角還有著密切的聯系呢！（完善板書：認識射線、直線和角）關于射線、直線和角，你想研究哪些問題呢？

…………

師：孩子們真善于提問！讓我們帶著這些問題，一起走進有趣的圖形世界！

愛因斯坦在《論科學》一文中指出：“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力概括著世界的一切，推動著進步，并且是知識進化的源泉。”事實證明，借助想象游戲，能極大激活學生想象的潛能，有效點燃他們認知的好奇心。在上述教學中，教師引導學生想象世界上能筆直地穿透一切障礙的兩種“光線”，不僅無痕地喚醒了學生的生活經驗，拓展了他們的想象空間，還激發了他們的問題意識，促使他們在引趣生疑中自然步入新知的探究歷程，從而實現了知識的進化與迭代。

二、對比中探究，內化概念

師（多媒體出示三條長短不一的線段）：要研究射線和直線，還得從我們的老朋友——線段入手！瞧，這三條線段有什么共同點呢？跟同桌說一說！哪一組同桌來跟大家分享一下？

生1：線段是直直的，有兩個端點。

生2：它們有長有短。

師：可見，線段是有限長的。

師：注意看，線段要變魔術啦！把線段的一端無限延長，就得到了我們在想象游戲中提及的一條——射線。（多媒體同步動態演示）請注意！這條神奇的射線可以向無邊無際的遠方筆直地延伸。所以，相對于線段的有限長和兩個端點來說，射線——

生：無限長，只有一個端點。（板書：無限長，一個端點）

師：既然射線是無限長的，可以向一端無限延伸，那在畫它的時候，無論畫得長或短，它都是——

生：無限長的！

師：這就是數學世界的簡約之美——可以用有限長的線條來表示無限長的射線！

師：繼續變魔術！把線段的兩端無限延長，就得到了我們在想象游戲中提及的另一條線——直線。（多媒體同步動態演示）直線的神奇之處就在于，它可以同時向兩端無限延伸。所以，相對于線段的有限長和兩個端點來說，直線——

生：無限長，沒有端點。（板書：無限長，沒有端點）

師：同樣，無論把它畫得長還是短，它都是——

生：無限長的！

師：用有限來表達無限，有限之中藏著無限，這就是數學世界的神奇與美妙之處。

師：仔細觀察線段、射線和直線，它們有什么異同點呢？先獨立思考，再在四人小組里交流……哪個小組上臺來分享？

生1：我們小組來匯報！線段、射線和直線的共同點是，它們都是直直的。

生2：它們的不同點是，線段有兩個端點，有限長。

生3：射線有一個端點，無限長。

生4：直線沒有端點，無限長。謝謝大家的聆聽！

師：真善于合作與分享！掌聲送給這個小組。我們還可以借助手勢游戲來展示它們的異同點呢。瞧，手臂平舉、雙手握拳，可以表示有兩個端點、有限長的——

生：線段！

師：手臂平舉，一只手握拳而另一只手五指并攏伸直，可以表示有一個端點、無限長的——

生：射線！

師：手臂平舉，雙手五指并攏伸直，可以表示沒有端點、無限長的——

生：直線！

師（出示“練一練”第1題）：這里的7個圖形中，哪些是線段？哪些是射線？哪些是直線？請一組同學開火車回答，其余同學做小判官。

…………

師：為什么第2幅圖不是線段，第3幅圖不是直線？

生：因為線段和直線都必須是直直的。

師：真會活學活用！

課始想象游戲中的光線模型，已經讓抽象的射線和直線變得極其形象和親切；本環節中的變魔術游戲，由舊知線段自然“變出”新知射線和直線，不僅使學生在勾連和對比中順暢地建立了“無限長”的概念，還使他們在新舊知交融中生成了結構化的認知圖式，實現了認知的遷移與順應。在動態演示、細心觀察、精準表達和師生互動中，學生由線段的有限長自然建構出射線、直線的無限長，加上手勢游戲的直觀表征，認知難點不攻自破；在線條畫長或畫短的變化中，用“有限來表示無限”的簡約之美也展露無遺。

師（出示例1中A、B兩點間的連線）：連接A、B兩點的三條線，哪一條最短？

生：中間那條紅色的線最短。

師：根據它的特征判斷一下，它是線段、射線還是直線？

生：它有兩個端點，直直的，是線段。

師：由此可見，兩點之間，什么最短？誰能邊比劃手勢邊說？

…………

師：像這樣，連接兩點的線段的長度叫作這兩點間的距離。請邊比劃手勢邊跟同桌說一說。

…………

師：上圖中，A、B兩點之間的距離是多少毫米呢？請打開課本第77頁，量一量、寫一寫，再舉手匯報。

生：A、B兩點之間的距離是35毫米。

師：請在“試一試”下面任意畫兩個點，量出它們之間的距離，再舉手匯報。

…………

師：孩子們的作圖能力真強！下面，我們來玩一個關于畫圖的搶答游戲，聽好——現在只給你一個點，以此點為端點引出兩條射線，可以組成什么圖形？

生：角。

師（板演畫角的過程）：可見，從一點引出兩條什么線可以組成角？

生：從一點引出兩條射線可以組成角。

師：誰上臺來指一指這個角的頂點和兩條邊？

生（邊指邊說）：這個端點就是角的頂點，這兩條射線就是角的邊。

師：畫邊時，把邊畫長點或畫短點，會改變這個角的大小嗎？為什么？

生1：不會改變，角的大小只跟兩邊張開的大小有關！

生2：不管我們把邊畫得長還是短，都表示角的兩邊是無限長的射線，不會改變角的大小。

師：真善于思考！角通常用符號“∠”表示。黑板上的這個角可以記作∠1，∠1讀作角一。角的符號“∠”跟我們之前學習的什么符號非常相似？書寫時要注意什么？

生：它跟小于號“lt;”特別像，不過它下面的一短橫是水平的，不是傾斜的。

師：觀察得特別仔細！（出示“練一練”第3題）下面，我們來比一比，看誰是畫角高手。請完成“練一練”第3題，并把這3個角分別記作∠1、∠2、∠3，同時標出角一的頂點和邊，寫出∠3的讀法。

利用實物投影展示學生作品，并組織點評。

師：你覺得，畫角時要注意什么？

…………

借助線段來認識兩點間的距離，從射線的視角來重新認識角，這對學生來說不是難點，但要真正內化新知，直接“告知”肯定不行，必須引領學生經歷真實的探究過程。為此，筆者組織學生通過看一看、比一比、量一量、畫一畫、說一說等活動，全面感受、深刻體驗什么是兩點間的距離；借助搶答、觀察、比較、操作、反思等活動，讓學生對角有了嶄新而完整的認識，實現了認知圖式的更新與認知過程的飛躍。

三、運用中提升，發展空間觀念

師（出示如圖1所示的“數一數”闖關練習）：研究了射線、直線和角，下面我們來玩一玩闖關游戲，看誰是運用知識的闖關達人。

生1：左圖中有3條射線、3個角。

生2：右圖中有4條射線、6個角。

師：右圖中的角如何數，能保證不重復、不遺漏呢？

生3：先數出較小的3個角，再數出由相鄰的2個小角拼成的2個較大的角，最后數出由3個小角拼成的最大角，算式是3+2+1=6（個）。

生4：也可以先把射線從上到下編號為1—4，射線1可以跟它下面的3條射線分別組成3個角，射線2可以跟它下面的2條射線分別組成2個角，射線3可以跟它下面的1條射線組成1個角，角的個數也是3+2+1=6（個）。

師：真善于運用求異思維！雖然數法不同，但算法都是一樣的。恭喜大家成功闖過第一關！（出示如下頁圖2所示的“判一判”闖關練習）這里有三道判斷題，請用手勢比劃“√”或“×”來進行判斷。

…………

師：大家都認為第三題是對的？乍一看，好像沒問題，但表述精準嗎？角的兩條邊能量出長短嗎？是有限長的線段嗎？

生1：不是，角的兩條邊是無限長的射線，沒有長短。

生2：不管畫得長或短，角的兩條邊都是無限長的射線。

生3：我覺得應該改為——角的大小跟兩邊畫得長或短無關。二年級時老師帶我們一起編角的兒歌，就強調過——兩邊畫得長或短，角的大小永不變。

師：為大家的精彩表現點贊！數學的語言是極其縝密的，這里應該把“兩邊的長短”改為“兩邊畫得長或短”。恭喜大家成功闖過第二關！（出示如圖3所示的“數一數”闖關練習）如果在一條直線上畫出兩個點，你能從中數出幾條線段？幾條射線？

生：能數出1條線段和4條射線。

師：從直線中，我們既能找到線段，又能找到射線，可見線段和射線都是直線的——

生：一部分！

師：真善于概括！（出示“數一數”變式練習）如果在一條直線上畫出5、6、7、8個點，你能從中分別數出或算出有幾條線段和射線嗎？能發現其中的規律嗎？這組題有難度，請在四人小組里研究研究，并做好上臺展示的準備。

指名小組上臺展示研究成果。（如圖4）

師：觀察求射線條數的算式，你發現了什么規律？求線段呢？

生1：從一個點可以向左右同時引出2條射線。所以，有幾個點，射線條數就是幾乘2。

生2：跟之前數角的個數一樣，可以用連加的方法求出線段的總條數。

生3：連加計算比較煩瑣，可以通過移多補少求出加數的平均數，再乘加數的個數就能求出總和了。

生4：加數的平均數可以用首數加末數的和除以2求得，這里就是點子數除以2，而加數的個數就是點子數減1，所以求線段條數的方法是——點子數×（點子數-1）÷2。

師：在合作互動中，大家不僅發現了其中的規律，還找到了巧算的方法，真是太厲害了！

通過有趣的闖關游戲，先讓學生在有序數角的過程中感悟射線條數與角個數之間的內在聯系，為后面有序地數線段埋下伏筆，同時培養了學生有序思考和求異思維的意識與習慣；之后的判斷練習，進一步鞏固了“無限長”的概念，提升了學生嚴謹表達的能力；最后的數射線和線段練習，不僅讓學生認識到線段和射線是直線的一部分，還使他們在分工合作和頭腦風暴中發現了其中的計算規律，找到了簡約的計算方法，提升了問題解決能力，培養了空間觀念，感悟到了推理、建模、數形結合等數學思想。

四、變式中延伸，拓寬思維視野

師：通過今天的學習，你有哪些新收獲呢？

…………

師：剛才的幾個點都在同一條直線上，如果給出的點中最多只有2個點在同一條直線上，每兩個點之間最多可以畫幾條線段或直線呢？其中又會藏著什么規律呢？大家課后可以繼續探究。

引導學生及時回顧與反思，讓他們對全課的學習有一個整體印象，有利于他們形成結構化的認知，增強元認知能力和會學數學的信心。之后的拓展練習，既在變式中展現了問題情境的變化美，開闊了學生思維的視野，又給他們留下了無限的懸念，讓他們帶著新問題走出課堂，走向“永無止境”的新征程，從而為其后續的學習注入無窮的動力。

【參考文獻】

［1］愛因斯坦.愛因斯坦論科學與教育［M］.許良英，李寶恒，趙中立，等譯.北京：商務印書館，2016.

［2］溫建紅.基于數學核心素養培養學生提出問題能力的意義與策略［J］.數學教育學報，2023（3）：13-17.

［3］李海波，李幫魁.設計想象活動 "培養空間觀念［J］.小學數學教育，2023（23）：20-21.

［4］張新.在數學游戲中發展學生的空間觀念——“創造與想象”教學設計與思考［J］.小學教學：數學版，2022（12）：63-65.

［5］張志泉，陳振華.教育應助力兒童想象力的發展［J］.中國教育學刊，2019（2）：54-58.