聚焦單元整體教學　發展學生空間觀念

蘭贈連

摘要：空間觀念是在圖形與幾何領域教學中要發展學生的核心素養之一。空間觀念的形成不能依靠零敲碎打，而是要結合具體的單元內容，從單元整體的視角進行有目的地教學，系統地對學生進行培養。在開展單元整體教學時，教師先要構建單元整體內容結構體系，再剖析核心素養背景下單元教學培養目標，最后形成單元整體教學實施策略。

關鍵詞：單元整體教學；核心素養；空間觀念

空間觀念是學生形成空間想象力的經驗基礎。空間觀念是在圖形與幾何領域教學中要發展學生的核心素養之一。空間觀念的形成不能依靠零敲碎打，而是要結合具體的單元內容，從單元整體的視角進行有目的的教學，系統地對學生進行培養。本文以人教版數學教材六年級下冊第三單元“圓柱與圓錐”的教學為例，圍繞“聚焦單元整體教學，發展學生空間觀念”主題，談談筆者的實踐和思考。

一、構建單元整體內容結構體系

“圓柱與圓錐”單元是小學階段圖形與幾何領域的最后一個單元，學習兩種最難的曲面立體圖形，是發展學生空間觀念的重要內容。該單元將圖形的認識和圖形的測量合編在一起，先學圓柱，后學圓錐；每種圖形又是按照圖形的認識→圖形的測量（圓柱的側面積和表面積→圓柱體積及容積→圓錐的體積）順序編排。教學課時為9課時，其中新授部分為8課時：圓柱6課時，圓錐2課時；整理和復習1課時。

該單元內容包括三個維度：一是圓柱與圓錐的認識；二是圓柱的側面積和表面積；三是圓柱與圓錐的體積。這三個維度皆屬于“圖形的認識與測量”主題，其中第一維度屬于圖形的認識，第二、三維度屬于圖形的測量。所以，實際教學時，教師可以遵循從易到難的原則，按從圖形的認識到圖形的測量進行教學。圖形的測量又可以按從面積到體積的教學順序做兩個方面的適當調整：一是把圓錐的認識放在和圓柱的認識同一課時；二是把圓柱的側面展開圖（實質上是圓柱的側面積）單獨作為一課時進行教學。

二、剖析核心素養背景下單元教學培養目標

空間觀念是《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）中貫穿小學、初中的核心素養表現之一，是形成《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中規定的六大素養之“直觀想象”素養的基礎。

新課標對空間觀念的內涵從定義、具體內容及作用或意義等三個方面進行了界定：“空間觀念主要是指對空間物體或圖形的形狀、大小及位置關系的認識。能夠根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象并表達物體的空間方位和相互之間的位置關系；感知并描述圖形的運動和變化規律。空間觀念有助于理解現實生活中空間物體的形態與結構，是形成空間想象力的經驗基礎。”圖1是該內涵的結構圖，其中的五個動詞“抽象”“想象”“表達”“感知”“描述”，反映的是最終目標——空間想象力。空間想象力是學生空間觀念素養表現的終極目標。

三、發展學生空間觀念的課堂實施策略

新課標在“課程實施”中提出了“注重教學內容與核心素養的關聯”的教學建議，如“第三學段，在對圖形測量和計算的過程中，從度量的角度加深對圖形的認識，理解圖形的關系，進一步增強空間觀念、量感和幾何直觀”。“圓柱和圓錐”單元，本身有圖形的認識內容，既可以從圖形的認識維度，又可以從側面積和表面積維度，及體積（容積）維度發展學生的空間觀念。

（一）觀想并舉——在認識圓柱和圓錐的過程中發展空間觀念

“觀”是指觀察。觀察是所有學習的基礎。數學“三會”核心素養的第一“會”就是“會用數學的眼光觀察現實世界”，從中可知觀察的重要性。離開了觀察，學生的數學學習就無從談起，而所謂培養學生數學學科核心素養之空間觀念也將會落空。培養觀察能力，要從有序觀察開始，即先整體，后局部，局部觀察要遵循從上到下或從左到右的順序進行。觀察要遵循三個原則，即全面、有序、突出重點。“想”是指想象。它是一種特殊的思維形式，是人在頭腦里對已儲存的表象進行加工改造形成新形象的心理過程，能突破時間和空間的束縛。

例如，在教學“圓柱的認識”時，教師要先引導學生找到一個生活中的圓柱形物體（茶葉罐、水杯等），依次觀察豎放、橫放、斜放時表面的各個組成部分。學生通過觀察，直觀感知圓柱的表面包括上底面、下底面和一個側面，上底面和下底面是完全相同的圓，側面是一個曲面；觀察找到上下底面的圓心，想象將一根鐵絲穿過上下底面的圓心，這兩個圓心之間的鐵絲長就是圓柱兩個底面圓心之間的距離，這個距離就是圓柱的高；與這個距離相等的線段有無數條，也就是圓柱的高有無數條。從觀察圓柱形實物再轉為觀察由實物抽象出的圓柱幾何圖形，學生對圓柱的特征就會有比較清楚的認識。接著，教師引導每個學生將貼著長方形硬紙的木棒豎直放在桌面上，左手在長方形下方固定木棒，右手抓住木棒頂端轉動，使長方形以木棒為軸旋轉一周，觀察、想象長方形轉動一周所劃過的空間就是一個圓柱。由此，學生從旋轉長方形的角度認識動態形成的圓柱，感受由平面圖形到立體圖形的變化。

學生經過對圓柱表面的靜態觀察和對“鐵絲貫穿上下底面圓心”的想象觀察，以及對旋轉長方形變圓柱的動態觀察“三重”遞進觀察，對圓柱特征的認識會由表及里，形成從圓柱形實物抽象出圓柱幾何圖形以及從圓柱幾何圖形想象出圓柱形實物的空間觀念。

同樣，在教學“圓錐的認識”時，教師也要使學生先觀察圓錐形實物，再觀察圓錐幾何圖形；接著，引導學生將貼著三角形硬紙的木棒豎直放在桌面上，左手在三角形下方固定木棒，右手抓住木棒頂端轉動，使三角形以木棒為軸旋轉一周，觀察、想象三角形轉動一周所劃過的空間就是一個圓錐。由此，學生從旋轉三角形的角度認識動態形成的圓錐，感受由平面圖形到立體圖形的變化。而對于圓錐高的概念“從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高”，對某個圓錐形實物來說，學生往往肉眼難以看到。此時，教師要引導學生借助想象，將一根鐵絲貫穿頂點到達底面圓心，頂點與底面圓心之間的鐵絲長就是圓錐的高。

觀察和想象是緊密聯系的。觀中有想，想中有觀，更有利于學生在頭腦中形成相關物體的表象，進而發展空間觀念。

（二）曲平互轉——在圓柱側面積和表面積計算公式的推導過程中發展空間觀念

在推導圓柱側面積計算公式時，教師要使學生人手一個圓柱，親自探究“將圓柱側面剪開攤平為一個平面，再將平面復原為曲面”的過程。在這個過程中，學生通過觀察、思考，找到平面與曲面各部分間的關系（見圖2）：不管剪開攤平得到怎樣一個圖形，最后總是可以將其剪切、拼接變成一個長方形，長方形的長等于圓柱底面的周長，長方形的寬等于圓柱的高，圓柱的側面積 = 底面周長×高（S側 = Ch = 2πrh）；繼而教師引導學生思考：“如果要讓圓柱側面展開成一個正方形，要具備什么條件？”學生畫出側面展開圖是正方形的大概模樣，在頭腦中形成“高等于底面周長，也是底面直徑三倍多，底面半徑六倍多”（h = C = πd = 2πr）的表象。

學生經歷了圓柱側面積計算公式的推導過程，就能水到渠成地得出圓柱表面積計算的一般化公式：圓柱的表面積 = 圓柱的側面積 + 兩個底面的面積。如果教學到此為止，只是淺嘗輒止，還不足以使學生的空間觀念達到一個較高的水平。在教學中，教師還可以引導學生將該公式的推導更進一步。

例如，一位教師在執教“圓柱表面積計算公式的推導”時，不是按教材內容順序使學生把罐頭盒的商標紙沿著高剪開，再展開，最后把上下底面展開，形成一個完整的展開圖。而是先出示圖3中左圖，引導學生想象：自己看到了什么？有的學生說看到了三個長方形，有的學生說看到了一扇門，門上有兩個小窗。不管怎樣，學生看到的都是平面圖形。正在學生求知的“胃口”被強烈“吊取”時，教師在圖3中右圖小長方形寬的旁邊標上“1”，大長方形長的下面標上“6.28”，再讓學生猜。

這時，學生的想象有了數值的支撐，有一位學生就猜，這是一個圓柱的表面展開圖，大長方形是圓柱的側面，上面的兩個小長方形是由兩個圓形底面剪拼而成。因為在學習圓的面積時，是把圓剪拼成近似的長方形，這里的“1”是底面圓的半徑，小長方形的長是底面圓周長的一半“3.14”，大長方形的長“6.28”是圓柱底面圓的周長。這個學生由平面圖形想象出立體圖形，無疑其空間觀念和空間想象力都達到了一個很高的水平。究竟是不是圓柱表面展開圖呢？教師沒有急于肯定或否定，而是引導學生動手操作進行驗證。驗證的結果證明，剛才那位學生的想象是正確的：學生動手沿高剪圓柱的側面，展開變成一個長方形，把上下兩個圓形底面也展開變成由兩個圓和一個長方形組成的組合圖形，再回顧想象學習圓的面積計算公式的推導過程，把兩個圓形底面剪拼成近似的長方形，就變成由三個長方形拼成的大長方形。學生從展開圖中可以直觀地看出圓柱的表面積實際上是一個長為底面周長“2πr”，寬為“h + r”的長方形的面積“2πr（h + r）”。在此基礎上，教師引導學生復盤剛才進行圓柱表面積計算公式的推導過程（見圖4）。學生經過這樣的由平面圖形到圓柱的先行想象，再進行由圓柱到平面展開圖的實驗驗證，最后復盤實驗過程，對圓柱表面積計算公式的建構就經歷了從初步感知到實驗驗證，再到想象確認的不斷遞進的過程，從一個側面積加兩個底面面積的一般化認識進階到一個大長方形面積的水平。

這樣，不管是圓柱的側面積，還是其表面積計算公式的推導，學生都經歷了曲平互轉的過程，更有利于其空間觀念的發展和空間想象力的提高。

（三）做說一體——在圓柱體積和圓錐體積計算公式的推導過程中發展空間觀念

新課標提出“利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數據分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題”。“做”，實際上就是指通過動手操作做數學實驗。“圓柱與圓錐”單元的教學要盡量讓學生多做實驗，如圓柱側面積計算公式推導實驗、圓柱表面積計算公式推導實驗、圓柱體積計算公式推導實驗、圓錐體積計算公式推導實驗，等等。“說”，就是表達。數學表達既是數學學習的起點，也是終點。實際學習中，學生存在開口難、說不準、詞模糊、理混亂等問題。在課堂教學中，教師要營造讓學生大膽說、不怕錯的氛圍，盡量多使學生走上講臺，面向全班學生說出自己的實驗、思考過程，培養學生表達的能力，從而發展“三會”素養中的“會用數學的語言表達現實世界”的素養。在學生說時，教師還要引導學生遵循“既完整又簡潔”的表達要求。

例如，圓柱體積計算公式的推導，學生通過實驗推導后，教師要引導學生結合切拼過程的圖形（見圖5），從實驗方法、找關系、得出結論三個方面既完整又簡潔地用口頭語言表達出實驗過程。

1.實驗方法：將圓柱切拼成一個近似的長方體，將圓柱底面分成的扇形越多，拼成的立體圖形就越接近長方體。

2.找關系：切拼后長方體的體積等于原來圓柱的體積，長方體的長等于原來圓柱底面周長的一半，長方體的寬等于原來圓柱的底面半徑，也就是長方體的底面積等于原來圓柱的底面積，長方體的高等于原來圓柱的高。

3.得出結論：根據“等積變形”原理，圓柱的體積等于長乘寬乘高，也就是等于底面積乘高。

在此基礎上，教師還應引導學生用數學語言書面表達出切拼后長方體與原來圓柱各部分間的關系及圓柱體積計算公式。

經過這樣的口頭表達及書面表達，學生獲得的不僅僅是作為結果的圓柱體積計算公式，而且還有對計算公式推導的過程性理解，達到“既知其然又知其所以然”的層次，由此獲得將圓柱變體為長方體的空間觀念，從而提升空間想象力。

綜上所述，“圓柱與圓錐”單元是小學階段學生學習的圖形與幾何領域內容中發展對三維空間的空間觀念難度最大的一個單元。在教學該單元內容時，教師要緊扣三個維度的教學，幫助學生做到觀想并舉、曲平互轉、做說一體，做到動眼、動腦、動手、動口，運用多種感官參與到學習中，從而獲得空間觀念、量感、幾何直觀等素養的充分發展。

參考文獻：

［1］董文彬.結構的力量：觀念指向的單元整體教學建構 以小學數學“漫步空間體積測量”單元學習為例［J］.教育科學論壇，2022（25）.

［2］朱德江.重塑學習：讀《大概念教學：素養導向的單元整體設計》［J］.人民教育，2023（7）.

（責任編輯：楊強）