高中數學大單元主題教學實踐

闕慶洲

摘 要：高中階段的數學具有一定難度，為了更好地幫助學生深化理解知識點，本文以高中數學大單元主題教學實踐為背景，以“橢圓的形成”為例進行詳細闡述。首先介紹大單元主題教學的背景和意義，概述了橢圓的相關內容，在實踐過程中通過內容分析、學情分析和目標分析，設計了一套高中數學大單元主題教學方案，以橢圓的形成為核心，旨在促使學生深刻理解數學概念，培養其問題解決和批判性思維能力，以及突顯高中數學大單元主題教學在培養學生數學思維和創新精神方面的重要性。

關鍵詞：高中數學；大單元主題教學；橢圓的形成；實踐方法

數學作為強調抽象性的學科，其教學方法一直備受關注，傳統的教學模式存在明顯的不足之處，而高中數學大單元主題教學在提升學生綜合能力方面具有獨特優勢。本文特別選擇以“橢圓的形成”為主題，通過引人入勝的實例，展示了如何在實踐中開展大單元主題教學，引起學生興趣，意在為教育工作者提供一個全面了解高中數學大單元主題教學實踐的框架及實施路徑。

一、高中數學大單元主題教學要求

高中數學大單元主題教學是一種以主題為核心、以問題為導向、以探究為主要活動、以能力為目標的創新性教學模式，其要求教師在教學設計中，選擇一個具有代表性、典型性、整體性和開放性的主題，然后圍繞這個主題，整合相關的數學知識、方法和技能，構建一個完整的教學單元，引導學生從不同的角度、層次和維度，深入探究主題背后的數學思想和規律，旨在培養學生的數學素養和創新能力。與此同時，高中階段的數學大單元主題教學要求教師具有較強的數學專業素養和教學設計能力，可根據學生實際水平和興趣，合理安排教學過程和評價方式，激發學生的學習動機、促進學生的主動學習和合作學習，實現教學的有效性和趣味性[1]。

二、以“橢圓的形成”主題教學為例的高中數學大單元教學設計

（一）內容分析

“橢圓的形成”是一個具有豐富數學內涵和應用價值的主題，它涉及橢圓的定義、性質、方程、圖形、應用等方面的知識，可作為高中數學大單元主題教學的一個典型例子。首先，在主題引入方面可利用橢圓的實際應用場景，如行星運動、衛星通信、橢圓形建筑等，以引起學生的注意和興趣，激發其探究橢圓的動機和目的。其次，在主題探究方面，可采用多種方法，包括實驗、推理、歸納、演繹等，以引導學生探究橢圓的過程和規律，讓其從不同的角度，如幾何、代數、分析等，來認識和理解橢圓的本質和特征。在主題拓展方面，則可結合橢圓的相關知識，包括橢圓的性質、方程、圖形、應用等，以拓展學生的視野和思維，讓其從不同的層次，如簡單、復雜、抽象、具體等，來運用和創新橢圓的知識和技能。最后可通過總結、反思、評價等方式，幫助學生梳理和鞏固“橢圓的形成”主要內容和要點，讓他們從不同的維度，如知識、方法、能力等，來評價和提升自己的學習效果和水平。

（二）學情分析

在教學設計中，老師需要根據學生的實際情況，進行合理學情分析，以便調整和優化教學策略和方法。第一，需要了解學生對橢圓的相關知識和技能的掌握程度和熟練度，包括橢圓的定義、性質、方程、圖形、應用等，以便確定教學的難易度和進度。第二，需要了解學生對橢圓的相關主題和問題的關注度和喜好度，包括行星運動、衛星通信、橢圓形建筑等，以便選擇教學的內容和方式。第三，需要了解學生的個性和風格，包括學習方式、思維方式、表達方式等，以便適應教學的多樣性和靈活性。最后，需要了解學生的期望和目標，包括學習效果、能力提升、創新發展等，以便滿足教學的有效性和趣味性[2]。

（三）目標分析

在教學設計中需明確目標，以便制訂和實施詳細的計劃和措施。首先，需要讓學生掌握橢圓的相關知識和技能，包括橢圓的定義、性質、方程、圖形、應用等，以便提高學生的數學素養和水平。其次，要讓學生運用橢圓的相關方法和技巧，包括實驗、推理、歸納、演繹等，以便培養學生的數學思維和能力。最后，需要讓學生發展橢圓的相關能力和素養，包括探究、分析、解決、創新等，以便促進學生的數學興趣和潛能。此外，老師還要關注學生體驗橢圓形成的相關情感和價值，包括好奇、喜悅、自信、合作等，以便增強學生的數學情感和態度。

三、以“橢圓的形成”主題教學為例的高中數學大單元教學過程

（一）歷史上的橢圓

橢圓的形成有著悠久的歷史，它與人類的文明和科學發展密切相關，在課堂前期老師可從以下幾個方面介紹橢圓的歷史。最早關于橢圓的記載可以追溯到公元前5世紀的古希臘，當時的數學家們研究了錐面與平面的交線，發現了橢圓、拋物線和雙曲線等曲線，稱之為圓錐曲線。其中，橢圓是由一個圓錐與一個傾斜的平面相交而成的閉合曲線，它的形狀取決于圓錐的傾角和平面的位置，之后古希臘的數學家們對橢圓的幾何性質進行了深入研究，如橢圓的焦點、焦半徑、長短軸、離心率、周長等，他們還發現了橢圓的第一定義，即橢圓是平面上到兩定點距離之和為常數的點的軌跡。20世紀，隨著科技的進步，橢圓又有了新的應用和發展，包括通信、導航、加密等領域，人們利用了橢圓的特殊性質，如橢圓的反射、折射、加密等，設計了各種橢圓形的裝置和系統，如橢圓形的天線、衛星、密碼等，這些都使得橢圓具有了實際的價值和意義。同時，數學家們也對橢圓的分析性質進行了拓展，他們發現了橢圓的第三定義，即橢圓是復平面上的一個簡單的雙曲面，這一定義使得橢圓可以用分析方法來研究和推廣[3]。

（二）例題與習題重點橢圓

例題和習題是數學學習的重要步驟，能幫助學生鞏固和深化對橢圓的理解和掌握，讓其靈活運用橢圓的相關知識和技能，解決實際問題。教學實踐時，老師首先可通過一些例題和習題，來讓學生熟悉和掌握橢圓的三種定義，即橢圓是平面上到兩定點距離之和為常數的點的軌跡，橢圓是平面上滿足一定二次方程的點的集合，橢圓是復平面上的一個簡單的雙曲面，建議讓學生通過實驗、推理、證明等方法，來比較和聯系這三種定義，理解它們的異同和優劣，掌握它們的適用范圍和轉換方法。隨后再通過一些例題和習題，來讓學生熟悉和掌握橢圓的一些基本性質，包括橢圓的對稱性、凸性、凹性、閉合性、平滑性等，以及橢圓的一些重要參數，包括橢圓的焦點、焦半徑、長短軸、離心率、周長等，鼓勵學生通過觀察、計算、推導等方法，來發現和證明這些性質，理解它們的含義和作用，掌握它們的計算和應用方法。最后，則可通過一些例題和習題，來讓學生熟悉和掌握橢圓的一些常見的方程，包括橢圓的標準方程、一般方程、參數方程、極坐標方程等，以及橢圓的一些變換和變形，如橢圓的平移、旋轉、縮放、拉伸等，此時可通過分析、求解、繪圖等方法，來識別和解決橢圓的方程，理解它們的關系和規律，掌握它們的變換和變形方法。

（三）橢圓的第三定義

由于橢圓的第三定義是一個比較抽象和復雜的定義，它將橢圓的形成從實數域擴展到復數域，從二維平面擴展到三維空間，從代數方法擴展到分析方法，所以第三定義使得橢圓具有了更廣泛的意義和應用。首先要對橢圓的第三定義的表述，橢圓是復平面上的一個簡單的雙曲面，即橢圓是由一個復變量所確定的一個復值函數的像的集合，其中滿足以下條件：（是一個單值的解析函數，即在復平面上是連續的、可導的、無分支的；是一個雙全純函數，即的反函數也是一個解析函數；是一個雙周期函數，即存在兩個線性無關的復數?和?，使得對任意的整數和，都有=和=

；是一個無極點的函數，即在復平面上沒有奇點，或者說在復平面上沒有零點。）然后要對橢圓的第三定義進行解釋：橢圓是復平面上的一個簡單的雙曲面，即橢圓是由一個復變量所確定的一個復值函數的像的集合，其中滿足以下條件：（是一個單值的解析函數，即在復平面上是連續的、可導的、無分支的；是一個雙全純函數，即的反函數也是一個解析函數；是一個雙周期函數，即存在兩個線性無關的復數?和??，使得對任意的整數和，都有=和=；是一個無極點的函數，即在復平面上沒有奇點，或者說在復平面上沒有零點。）定義本身含義還需要進一步拓展，由上可見橢圓是由一個復變量通過一個復值函數映射到一個復平面上的一個曲面，這個曲面具有一些特殊的性質，如單值性、全純性、周期性、無極點性等，這些性質使得橢圓可以用復分析的方法來研究和推廣。

（四）橢圓的第二定義

相較于第三定義，橢圓的第二定義比較常見和常用，它將橢圓用代數的方法來描述和分析，使得橢圓可以用方程和圖形來表示和求解。首先要表述橢圓的第二定義，橢圓是平面上滿足一定二次方程的點的集合，即橢圓是由一個二元二次方程所確定的一個平面曲線，其中是常數，且。

這個定義的含義是，橢圓是由一個二次多項式在平面上的零點構成的一個閉合曲線，這個曲線的形狀取決于方程的系數，這個方程的判別式小于零，保證了曲線的閉合性和凸性。其次再解釋橢圓的第二定義，其為代數的定義，它可用方程和圖形來表示和求解橢圓，也建議用下面步驟表述。第一，方程的化簡，即通過一些代數變換，如平移、旋轉、縮放等，將一個一般的二次方程化為一個標準的二次方程，即，

其中和是常數，且。這樣，我們可以消除方程中的交叉項和線性項，使得方程更容易處理和理解。第二，圖形的繪制，即通過一些幾何方法，如作圖、標注、測量等，將一個標準的二次方程繪制為一個標準的橢圓，即以原點為中心，以和為長短半軸的橢圓，如此就可直觀地看到方程和圖形之間的對應關系，以及橢圓的一些基本性質，如對稱性、凸性、閉合性等。第三，性質的推導，建議通過一些代數和幾何的結合，如代入、相等、相似等，將一個標準的橢圓的一些重要性質推導出來，如橢圓的焦點、焦半徑、離心率、周長等，如此就可從方程和圖形中提取出橢圓的一些關鍵參數，以及它們之間的關系和規律。

（五）拓展探索

為進一步提升學生的核心素養，可通過某些拓展和探索的活動，來讓學生進一步發展和應用橢圓的相關知識和技能，促使其從不同的角度和層次，來運用和創新橢圓的知識和技能，解決一些實際問題。例如，讓學生了解和探究橢圓在一些實際領域的應用，包括天文學、通信、建筑等，如此理解橢圓的實際價值和意義，以及橢圓的一些特殊性質，包括橢圓的反射、折射、加密等，如何被利用和設計，來解決一些實際問題。又譬如橢圓的變形，則可讓學生探究和分析橢圓的形成在一些特殊情況下的變形，如當橢圓的長短軸相等時，橢圓變為圓；當橢圓的一個焦點趨于無窮遠時，橢圓變為拋物線；當橢圓的兩個焦點重合時，橢圓變為直線等，讓他們能夠理解橢圓與其他曲線的關系和轉化，以及橢圓的一些極限性質和特殊情況。將橢圓從代數方法推廣到分析方法，得到橢圓積分的形成等，讓學生能夠理解橢圓的更廣泛的意義和應用，以及橢圓的某些高級的知識和技巧。

四、以“橢圓的形成”主題教學為例的高中數學大單元教學感悟

（一）教學目的

首先要全面、深入、系統地學習橢圓的相關知識和技能，這一目的要求學生不僅要掌握橢圓的基本定義、性質、方程、圖形等內容，還要理解“橢圓的形成”的過程和規律，探究“橢圓的形成”的本質和特征，運用橢圓的相關知識和技能解決一些實際問題，形成一個完整、深刻、系統的橢圓的知識體系。其次，培養學生的數學素養和創新能力，這一目的要求學生在學習“橢圓的形成”過程中，不僅要掌握數學的基本概念、定理、方法，還要培養數學的思想、方法、態度、習慣，提高數學的邏輯性、嚴密性、推理性、創造性，增強數學的應用能力、探究能力、創新能力，形成一個良好的數學素養和創新能力。第三，激發學生的數學興趣和情感，這一目的要求學生在學習“橢圓的形成”的過程中，不僅要感受數學的美麗、趣味、魅力，還要培養數學的興趣、愛好、熱情，提高數學的自信、自主、自律，增強數學的參與感、歸屬感、成就感，形成一個積極的數學興趣和情感。最后，拓展學生的數學視野和思維，這一目的要求學生在學習“橢圓的形成”的過程中，不僅要了解橢圓的形成的歷史、文化、應用等背景，還要拓展橢圓的相關概念、方法、領域，提高數學的廣博性、開放性、多元性，增強數學的聯想能力、比較能力、綜合能力，形成一個寬廣的數學視野和思維[4]。

（二）教學內容

首先，讓學生了解和掌握橢圓的不同的定義方式，如幾何定義、代數定義、極坐標定義、參數定義等，讓他們能夠理解橢圓的形成的條件和特征，以及橢圓的一些基本概念，如焦點、準線、離心率、長短軸等。其次，讓學生學習和推導橢圓的一些重要的性質，如對稱性、切線法線性質、反射性質、周長面積公式等，讓其能夠掌握橢圓的形成的規律和特點，以及橢圓的一些計算方法和技巧。第三，讓學生探究和分析橢圓的不同的方程形式，如一般方程、標準方程、旋轉平移方程、切線方程、法線方程等，讓他們能夠用代數的方法來描述和求解橢圓的形成，以及橢圓與其他圖形的關系和位置。第四，讓學生繪制和觀察橢圓的不同的圖形形態，如圓、橢圓、拋物線、直線等，讓其能夠用幾何的方法來表示和構造橢圓的形成，以及橢圓的一些變形和轉化。最后，讓學生了解和探究橢圓的形成在一些實際領域的應用，如天文學、通信、建筑等，讓其能夠理解橢圓的形成的實際價值和意義，以及橢圓的一些特殊性質，如橢圓的反射、折射、加密等，如何被利用和設計，來解決一些實際問題。

（三）教學過程

首先要以問題為導向，通過提出一些與橢圓的形成相關的問題，如橢圓的由來、橢圓的定義、橢圓的方程、橢圓的性質等，來引發學生的思考和興趣，激發學生的求知欲和探究欲，讓學生主動參與到橢圓的形成的研究中，體驗數學的趣味和魅力。其次要以探究為主要活動，通過設計一些與橢圓的形成相關的探究活動，如動手畫橢圓、推導橢圓的方程、驗證橢圓的性質、解決橢圓的應用問題等，來培養學生的動手能力、合作能力和運用能力，讓學生通過實踐、討論、反饋、總結等過程，深入探究橢圓的形成的本質和規律，體會數學的嚴謹和美感。最后以能力為目標，通過設置一些與橢圓的形成相關的能力目標，如理解橢圓的定義、掌握橢圓的方程、推導橢圓的性質、運用橢圓的知識等，來指導學生的學習和評價，讓學生通過探究活動，提高自己的數學素養和創新能力，達到數學學科核心素養的發展要求。

（四）教學的反思

以“橢圓的形成”為主題的高中數學大單元教學，也存在一些不足和改進的地方。首先是教學的難易度和進度需要更加合理和適應，這一方面要求教師根據學生的實際水平和學習需求，合理安排教學的難度和速度，不要過快或過慢，不要過難或過易，要讓學生能夠跟上教學的節奏，感受到教學的挑戰，達到教學的最佳效果。教師要靈活調整教學的難易度和進度，根據學生的反饋和反應，適時增加或減少教學的內容和時間，讓學生能夠充分吸收和消化所學知識和技能。其次是教學的內容和方式需要更加多樣和靈活，這一方面要求教師根據教學的目標和內容，選擇適合的教學的方法和手段，不要墨守成規，不要一成不變，要讓學生能夠體驗到教學的多樣性和靈活性，激發學生的學習興趣和動力，提高學生的學習主動性和參與性。教師要多樣化和靈活化教學的內容和方式，根據教學的情境和目的，運用多媒體、實驗、游戲、討論、合作等多種教學的形式，讓學生能夠全面、深入、系統地學習“橢圓的形成”的相關知識和技能。第三是教學的過程和評價需要更加有效和趣味，這一方面要求教師根據教學的過程和結果，設計有效的教學的環節和評價的方式，不要走過場，不要應付了事，要讓學生能夠感受到教學的有效性和趣味性，促進學生的學習效果和質量，反饋學生的學習情況和問題。教師要有效化和趣味化教學的過程和評價，根據教學的目標和要求，設置有意義、有挑戰、有趣味的教學的任務和評價的標準，讓學生能夠在教學的過程中不斷探究、實踐、反思、評價。第四是教學的拓展和探索需要更加深入和廣泛，這一方面要求教師根據教學的內容和范圍，拓展和探索“橢圓的形成”的相關概念、方法、領域，不要局限于教材，不要止步于基礎，要讓學生能夠拓展和探索“橢圓的形成”的更多方面和層次，拓寬學生的數學視野和思維，培養學生的數學創新能力和探究精神。教師要深入和廣泛地拓展和探索“橢圓的形成”的相關內容，根據教學的背景和目的，引入“橢圓的形成”的歷史、文化、應用等方面的知識，讓學生能夠理解橢圓的實際價值和意義，讓學生能夠利用橢圓的相關知識和技能解決一些實際問題。

結束語

綜上所述，本文通過以“橢圓的形成”為例的高中數學大單元主題教學實踐，深入探討了教學設計的內容、學情分析和目標分析，不僅對過程進行了回顧，而且總結了取得的成果和教學經驗，并強調了大單元主題教學在激發學生興趣、促使深度學習方面的獨特價值。希望給廣大教育工作提供一定啟發，同時也能促進同行對于高中數學大單元主題教學的進一步思考和研究。

參考文獻

[1]王秀彩，劉嘉，孔志文，等.高中數學大單元主題教學結構化的實踐研究[J].中學數學教學參考，2023（22）：72-76.

[2]謝承斌.高中數學大單元主題教學實踐：以“橢圓的形成”主題教學為例[J].數學教學研究，2022，41（5）：31-36.

[3]蔣彥磊.基于整體單元化設計理念下的高中數學教學[J].數理化學習（教育理論），2022（4）：42-43.

[4]余業兵，張坤，張曉斌.整體單元化教學中高中數學教學目標的制定[J].教學與管理（中學版），2021（10）：63-66.

本文系福建省教育科學“十四五”規劃2023年度課題“基于新課程理念下高中數學大單元教學及評價研究”（課題編號：FJJKZX23-566），2023年龍巖市永定區教育教學課題“生態課堂設問的有效預設與調控的研究”（課題編號：ydjxjky23-102）系列論文之一。