基于ACT-R理論的數列概念的教學設計

摘要：基于ACT-R理論來指導數列的概念教學，優化教學設計，為學生制定更加合理的學習路徑.本文中首先闡述了ACT-R理論的主要內涵及應用教學設計的五個原則，然后給出了基于ACT-R理論的數列概念的教學設計案例.

關鍵詞：ACT-R理論；數列；教學設計

1 ACT-R理論內涵

ACT-R理論倡導任何復雜的事物都是由簡單的元素構成，掌握簡單元素進而便可掌握整個事物概念.將ACT-R理論與數學學習結合起來，將復雜的數學事件簡單化，更有助于學生對本質的認識[1].

（1）陳述性知識.陳述性知識即“是什么”，指那些可以表述事實的知識，這類知識可以從他人或者書本直接接收.

（2）程序性知識.程序性知識即“怎么做”.一個產生式規則就等價于一個“條件—反應”，即每一個問題的解決系統都對應一個特定的產生式規則，獲得這種產生式規則主要靠類比[2].

（3）目標層級.在知識的獲取過程中，要將每一個學習目標進行分解，形成幾個小目標再去解決，從而將復雜知識簡單化，化成小單元依次完成.

2 ACT-R理論指導教學設計的五個原則

（1）復雜的問題簡單化.復雜問題簡單化處理，再由這些簡單單元構成人的復雜認知.

（2）直觀化原則.直觀化原則是指通過先前的記憶即學生以往經驗對學習的啟發進而解決問題，因此教學中應注重將生活實例抽象成數學知識對學生進行導入[3].

（3）主動性原則.新課標倡導“積極主動的學習方式”，一定保證課堂上以學生為主體、教師為主導.

（4）反思性原則.除學生的練習反饋外，教師還需通過及時反思教學過程和教學環節等進一步了解學生的學習情況.

（5）程序性和簡單化原則.ACT-R理論中提到了目標層級概念，即將大的目標分成若干個小目標去完成，合理安排教學目標，將教學任務分解，引導學生解決問題.

3 基于ACT-R理論的數列概念的教學設計

3.1 階段一：陳述新知階段

環節1創設情境，引入新知

問題1德國天文學家提丟斯通過對一列數3，6，12，24，48，96，192……的研究，得出太陽到行星之間距離的規律！他發現：

①每一個數字恰好是前一個數字的2倍；

②將0加在這列數字的最前面，再將每一個數字加上4然后除以10，得出另一列數字

0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，19.6……

這組數字意義非凡，他揭示了宇宙行星分布，即太陽與周圍行星的近似距離……以此類推，他得到一張影響全宇宙的表（表1）.

教師提問：表1中，非陰影部分是科學家先前探索出的行星，而根據這組數，陰影部分是否有兩顆未知行星呢？如果你是科學家，通過“計算距離”這組數，你有什么大膽猜測呢？

問題2如何研究“數列”這一新的概念？

設計意圖：體現ACT-R理論的直觀化原則；通過引人入勝的科學知識激發學生好奇心，初步了解數列實例.

環節2樣例類比，明確目標

教師活動：學生對函數的學習過程已經很熟悉，由于數列是一類特殊的函數，因此教師帶領學生一起根據函數學習的基本路徑來類比學習數列的概念，如圖1所示.

由函數學習的基本路徑來類比數列的學習，得出本節課總教學目標以及子目標G2，G3，G4，G5.

設計意圖：體現ACT-R理論中將復雜問題簡單化的原則；體現ACT-R理論中目標分層原則，根據類比函數學習路徑來學習數列，告知學生本節課分層目標，讓學生學習數列的概念時更具方向性和目的性，從整體到局部，有利于學生系統了解數列概念.

環節3目標分解，任務探究

問題3如何給“數列”下定義？

追問1：一棵大樹每年樹樁周長的數據為74，88，96，104，111，116，121，129，139，146，154，159，161，它們之間能否交換位置？它們具有確定的順序嗎？

追問2：在兩河流域發掘的一塊泥版上，有一列依次表示一個月中從第1天到第15天每天月亮可見部分的數為6，11，21，41，81，97，113，129，145，161，177，193，209，225，241.它們可否交換位置？它們具有確定的順序嗎？（注：把滿月分成240份，則從初一到十五每天月亮的可見部分可用一個代表份數的數來表示.）

設計意圖：體現ACT-R的簡單化原則，引出子目標G2即數列的定義.

追問3：將－1/3的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪、4次冪……依次排成一列數，即－1/3，1/9，－1/27，1/81……

追問4：上述三個追問中的三組數有什么共同特征嗎？

問題4數列的定義是什么？

設計意圖：體現ACT-R的簡單化原則，解決子目標G2即數列的定義.

追問1：0，2，5，9是一個數列，9，5，2，0也是一個數列，它們是同一個數列嗎？

追問2：8，8，8，8，8……是不是一個數列？

問題5如何用一般的符號表示數列？

追問：數列的圖象有什么特點？

設計意圖：體現ACT-R的簡單化原則，解決子目標G3即數列的表示方法；體現ACT-R理論中目標分層原則，類比函數的表示方法來學習數列的表示方法，進而得出數列的通項公式.

問題6數列的單調性是怎樣定義的？

設計意圖：體現ACT-R的簡單化原則，類比函數性質的學習方法，解決子目標G4即數列的性質.

3.2 階段二：程序練習階段

環節4知識編碼，變式訓練

例題根據下列數列的通項公式，寫出每個數列的前4項：

（1）a_n=n+n²/2;

（2）a_n=cos（n－1）/2.

追問：你能判斷例1（1）中數列的單調性嗎？

設計意圖：體現ACT-R理論的精致練習原則，加深學生對概念的理解；在本環節選取合適的練習，從而完成總目標數列的學習.

3.3 階段三：自動系統階段

環節5小結反思

問題7通過本節課的學習你都收獲了什么？結合下列問題反思：

（1）什么是數列？數列的本質是什么？

（2）研究數列的基本方法是什么？

設計意圖：體現ACT-R理論的反思性原則，無論教師還是學生都要對學習過的知識進行自我反思.

本教學設計主要是利用ACT-R理論中目標層級的核心理念進行設計的，因為數列是一種特殊函數，并且在此之前學生已經學習過函數，所以通過類比函數學習的基本路徑，即概念理解、定義、表示方法、性質、特殊元素來學習數列，可以幫助學生明確學習方向，減少學習負擔.

在進行基于ACT-R理論的教學設計前，應該充分理解ACT-R理念的本質，這樣才能恰當靈活使用該理論進行教學實踐操作，確保其有效性.

參考文獻：

[1]宋韻.基于ACT-R理論的高中數學單元教學研究[D].大連：遼寧師范大學，2022.

[2]卒燕芬.基于ACT-R理論指導的深度教學[J].數學教學通訊，2020（6）：13-14，33.

[3]李思文.ACT-R理論在高中函數概念教學中的應用研究[D].信陽：信陽師范學院，2022.