新課標(biāo)教材中拓廣探索問(wèn)題給我們的啟示

摘要：本文中通過(guò)人民教育出版社2019年A版新教材必修第一冊(cè)“5.5三角恒等變換”的一個(gè)拓廣探索題的系統(tǒng)研究，歸納總結(jié)出解決拓廣探索問(wèn)題的不同路徑與方法，幫助學(xué)生掌握解決三角函數(shù)問(wèn)題的通性通法，鞏固三角函數(shù)公式，培養(yǎng)善于思考、敢于質(zhì)疑、不斷創(chuàng)新的意識(shí)與能力.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；主動(dòng)探究；拓廣探索；實(shí)踐創(chuàng)新

1 研究背景

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：教材提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和具體內(nèi)容，要感悟數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的整體理解；要關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合性與整體性；要重視習(xí)題編寫(xiě)的針對(duì)性、整體性，提升學(xué)科素養(yǎng)和綜合能力[1].拓廣探索題是人教A版新教材中的一類(lèi)新題型，能很好地體現(xiàn)新課標(biāo)理念的開(kāi)放性和發(fā)展性，是具有應(yīng)用性、探索性的教學(xué)資源.三角函數(shù)章節(jié)知識(shí)豐富，公式、定理較多，使得問(wèn)題的思維方式、解決途徑與變式研究靈活多樣，但也呈現(xiàn)較強(qiáng)的規(guī)律性，蘊(yùn)含著等價(jià)轉(zhuǎn)化、變量代換、整體建構(gòu)等思維.

2 教學(xué)探源

以學(xué)生的視角和立場(chǎng)為切入點(diǎn)，以拓廣探索問(wèn)題為載體，展開(kāi)深度探研，發(fā)揮問(wèn)題的應(yīng)有之能，形成主干知識(shí)的前后關(guān)聯(lián)，在發(fā)散思維中開(kāi)闊視野，鋪設(shè)邏輯思維階梯，錘煉方法，涵育創(chuàng)新意識(shí)[2].

分析上述各式的共同特點(diǎn)，寫(xiě)出能反映一般規(guī)律的等式，并對(duì)等式的正確性作出證明.

2.1 題目分析

價(jià)值分析：從所含角、函數(shù)名與結(jié)構(gòu)式探究發(fā)

現(xiàn)這三個(gè)式子具有如下共同特征——兩角差都等于30°；正弦與余弦對(duì)稱出現(xiàn)，等式左邊均為二次式而右邊為常數(shù)；正余弦的平方和與積的和等于同一個(gè)常數(shù).本題設(shè)計(jì)很有深意，主要考查了抽象概括與合情推理.教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知條件觀察發(fā)現(xiàn)上述規(guī)律，從特殊問(wèn)題提煉歸納出一般情形，提升學(xué)生的概括能力與抽象素養(yǎng).教師指導(dǎo)學(xué)生研究教材中的拓廣探索問(wèn)題時(shí)，要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)編者的設(shè)計(jì)意圖和考查目的，分析問(wèn)題的內(nèi)涵與外延，多角度思考解決問(wèn)題的途徑與方法[3]，激發(fā)學(xué)生自主更新與深度理解數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的建構(gòu)意識(shí)和發(fā)散思維.

定位分析：對(duì)于本題，可進(jìn)行如下定位研究.此題可看作是一道證明問(wèn)題，用以解決三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值，幫助學(xué)生理解所學(xué)知識(shí)，掌握思想方法；也可看作是一道開(kāi)放性問(wèn)題，答案不固定，有利于培養(yǎng)學(xué)生猜想、抽象與歸納等能力；還可看作是一道數(shù)學(xué)建模問(wèn)題，能有效培養(yǎng)學(xué)生的建模能力與直觀想象素養(yǎng)；另外，可看作是一道變式教學(xué)問(wèn)題，通過(guò)問(wèn)題情境多角度思考、多解法探索，用三角變換的策略和方法來(lái)展示該問(wèn)題中的等式構(gòu)建與檢驗(yàn)推證，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的好素材[3].

2.2 證法探析

2.3 深度研究

反思：上述論證均體現(xiàn)了三角變換在化簡(jiǎn)、求值中的重要作用，蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，突出考查學(xué)生探索規(guī)律、整體思維和轉(zhuǎn)化與化歸等關(guān)鍵能力，助力學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评硭悸泛颓逍碌母唠A思維.對(duì)問(wèn)題拓廣探源，學(xué)會(huì)用不同思維與方法去探索數(shù)學(xué)問(wèn)題，具有很好的示范性、聚焦力[4].同時(shí)，教師要不斷給學(xué)生設(shè)置思考支點(diǎn)，啟發(fā)誘導(dǎo)，激活課堂，讓學(xué)生思維廣泛深入，引導(dǎo)學(xué)生深入探索，并從拓廣探索問(wèn)題中，激趣潤(rùn)心，發(fā)散思維，創(chuàng)新求異.

2.4 啟示應(yīng)用

在用銳角三角函數(shù)刻畫(huà)直角三角形中邊角關(guān)系的基礎(chǔ)上，借助單位圓建立任意角的三角函數(shù)的概念，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，用幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算來(lái)探索三角函數(shù)間的恒等關(guān)系，為研究數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)、解決實(shí)際問(wèn)題提供了策略與方法.上文中題目的另一證法，能實(shí)現(xiàn)從“解題”進(jìn)階為“解決問(wèn)題”.

3 教學(xué)建議

3.1 學(xué)會(huì)溫故知新與推陳出新

數(shù)學(xué)教學(xué)要遵循知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和學(xué)生認(rèn)知過(guò)程的合理性，深度探究思維之“源”，跨學(xué)科跨章節(jié)尋求教材之“根”，高觀點(diǎn)思考數(shù)學(xué)之“質(zhì)”，圖形直觀感受數(shù)學(xué)之“美”，變式解題感悟數(shù)學(xué)之“法”.三角函數(shù)具有較高的學(xué)科育人價(jià)值和素養(yǎng)發(fā)展價(jià)值，其思想方法滲透到各個(gè)章節(jié)，在高考中舉足輕重.拓廣探索題具有典型性和代表性，蘊(yùn)涵著豐富的情境背景，抓住具有示范作用的結(jié)論和解法，挖掘其潛在功能，在探尋各種解法的基礎(chǔ)上推廣問(wèn)題，生成一類(lèi)新問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)知識(shí)積累、能力培養(yǎng)和學(xué)科價(jià)值引導(dǎo)，促進(jìn)“五育”融合.

3.2 重視思維拓展與實(shí)踐創(chuàng)新

拓廣探索問(wèn)題重視學(xué)生的思維由單極向多極發(fā)散，在不同思維層次上探尋不同答案，建構(gòu)深度思維體系，培養(yǎng)獨(dú)創(chuàng)精進(jìn)的思想和主動(dòng)探究的精神，激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)興趣.引入拓廣探索題能體現(xiàn)理性思維特質(zhì)的基本特征，是教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)理性思維和科學(xué)探索的重要方式，為學(xué)生的探究學(xué)習(xí)提供了更大的思考維度和思維自由度，[JP+1]讓學(xué)生在開(kāi)放的綜合情境中創(chuàng)造性地解決問(wèn)題，再形成創(chuàng)造性的結(jié)果或結(jié)論，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)品質(zhì)與人文精神，不斷拓寬學(xué)生的學(xué)習(xí)空間和思維能力，體悟數(shù)學(xué)中美的神韻、思的藝術(shù)和辨的能力[5].

3.3 強(qiáng)化知識(shí)聯(lián)系與方法歸納

三角問(wèn)題的解決路徑一般是分析差異、建立聯(lián)系、定向轉(zhuǎn)化和運(yùn)算推理，采用“化異為同”“弦切互化”“常數(shù)代換”等方法和公式正用展開(kāi)、逆用化簡(jiǎn)、變用配湊等恒等變形，梳理定義、公式、性質(zhì)等知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò)，梳理方法形成系統(tǒng).通過(guò)構(gòu)建知識(shí)樹(shù)、思維導(dǎo)圖，設(shè)置問(wèn)題串、變式題組，利用情境引入促使學(xué)生主動(dòng)參與，設(shè)計(jì)探究活動(dòng)吸引學(xué)生深度參與，利用相互評(píng)價(jià)激發(fā)學(xué)生合作交流，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)和思維梯度，體驗(yàn)數(shù)學(xué)之美與研究之力，不斷發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]羅建宇.整體觀視角下高中數(shù)學(xué)教學(xué)的建構(gòu)與思考——兼談“雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2022（10）：20-24.

[2]李昌官.為學(xué)生鋪設(shè)合乎邏輯的思維階梯[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2022（10）：25-28，43.

[3]程若禮.高中數(shù)學(xué)新教材一道拓廣探索問(wèn)題的研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2021（7）：19-21.

[4]張靜元.對(duì)高中數(shù)學(xué)新教材一道三角恒等變換習(xí)題的拓廣探索[J].數(shù)理化解題研究，2022（25）：89-91.

[5]馮愛(ài)龍.探析高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的德育融合[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（19）：3-5.