高考數學“新定義”題型研究

摘" "要：“新定義”題是在高考數學中新出現的一種問題類型，此類問題可以更好地考查學生自主學習能力、綜合運用知識分析問題、解決問題的能力和創新思維。通過例題分析總結新定義題型的特征，展現其結構和功能，并結合實例探討新定義題型的解題策略，明晰新定義題型的本質，提高解題能力。

關鍵詞：高中數學;新高考;新題型;新定義

中圖分類號：G633.6" " 文獻標識碼：A" " 文章編號：1009-010X（2024）29-0009-05

2019年教育部提出了由“一核”“四層”“四翼”構成的高考評價體系，強調對學生綜合素質的發展要求，由此推動了高考評價改革在考試內容、要求上的進一步深化和探索，以“能力立意”為特點的“新定義”問題應運而生。它突出對學生創新能力、遷移能力、自主學習能力等各方面能力的全面考查，因此分析、研究新定義題型的特點及其解題策略很有必要。

一、新定義題型的概念

在不同的文獻中對“新定義”題型的名稱和定義有著不同的說法，比如：新定義題、新信息題、信息遷移題、新定義型問題、定義型創新題以及定義型信息題。雖然各位學者對其表述不一，但是對其本質有著一致的看法，也就是創設一個復雜且真實的情境（可以是現實情境，也可以是科學研究情境、數學情境等），將情境信息與學生之前所學相關知識進行交叉融合，通過再抽象，形成一個新定義，最后提出系列問題，要求學生運用新定義分析問題、解決問題。

例1 “數”在量子代數研究中發揮了重要作用.設q是非零實數，對任意n∈N*，定義“q-數”（n）q=1+q+…qn-1.利用“q-數”可定義“q-階乘”（n）！q=（1）q（2）q…（n）q.和“q-組合數”，即對任意k∈N，n∈N*，k≤n，（）q=

（1）計算：（）2;

（2）證明：對于任意k，n∈N*，k+1≤n，（）q=（）q+qk （）q;

（3）證明：對于任意k，m∈N，n∈N*，k+1≤n，（）q-（）q=∑ qn-k+i（）q.

本題以量子代數這一現代數學熱點研究為背景，在已有“數”的概念基礎上引發學生新的數學思考：在對“q-數”這一概念進行定義后，借助“q-數”繼續給予“q-階乘”以及“q-組合數”相應的表達形式;在對每一個概念的涵義進行充分說明之后向學生提出具有內在邏輯性的三個問題，考查學生在不同水平的解題能力。

第一問通過一道計算題考查學生對“q-數”的理解程度以及計算能力;第二問更多體現對學生邏輯推理能力的考查，需要在對（）q的涵義進行深刻解析之后，根據（）q的定義找到其變式（）q以及（）q的表達方式，最后驗證等式兩邊的結果是否一致;最后一問不僅對學生的運算能力、邏輯推理能力以及閱讀能力提出要求，還體現出對其遷移能力的考查：解題的關鍵思想即借助第二問獲得的結論，將等式的兩邊進行相加再經化簡得到所求結果。

通過上述例題我們可以看出，雖然三個新定義以三個新的名稱呈現，但它們實際上離不開已學知識的本源。比如“q-數”是建立在等比數列前n項和這一知識的基礎之上的，“q-階乘”則更是突出對階乘思想的靈活運用。因此新定義題型并不是空中樓閣，它是以所學知識為地基，通過逐級抽象而獲得。

二、“新定義”題型的結構與功能

（一）新定義題型的結構

每一種題型都有其獨特的組成結構，因此要想解決新定義題型首先要清楚它的具體組成結構，做到“知己知彼，百戰不殆”。一般來說，新定義題型通常以一種新穎的情境出現，通過對其中的相關概念或結構進行全新的定義，向學生提出具有聯系性的系列問題，考查學生通過推理運算、類比遷移等方式解決問題的能力，其具體結構組成如下圖：

例2 “信息熵”是信息論之父香農定義的一個重要概念。香農在1984年發表的論文《通信的數學理論》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量稱為“信息熵”，并給出了計算信息熵的數學表達式：設隨機變量X所有可能的取值為1，2，3，…，n（n∈N* ），且P（x=i）=pigt;0（i=1，2，3，…，n），∑ pi=1，定義X的信息熵H（X）=-∑ pilog2pi.

（1）當n=1，計算H（X）;

（2）若pi=（i=1，2，3，…，n），判斷并證明當n增大時，H（X）的變化趨勢;

（3）若n=2m（m∈N*），隨機變量Y所有可能的取值為1，2，3，…，m，且P（Y=j）=Pj+P2m+1-j （j=1，2，3，…，m），證明：H（X）gt;H（Y）.

上述例題以“信息熵”這一信息領域的情境展開話題，體現出新定義題型的跨學科性。在解釋完何為“信息熵”之后，又對其表達形式進行定義，并提出相關的系列問題，學生需要借助給出的相關概念，經理解—轉化過程來解決問題。

學生在解決（1）題時需要在讀懂信息熵表達形式的基礎上經過推理得到n=1時的表達式，進而通過計算得到正確結果。（2）題則要求學生在正確代入pi=的基礎之上掌握求取函數單調性的方法。學生在解決前兩問之后對“信息熵”的表達式已經有了比較全面的認知。（3）題考查學生的類比遷移能力，即P（Y=j）=Pj+P2m+1-j時H（Y）的表達形式，此外還需熟練運用對數函數的運算法則來簡化解題過程。

（二）新定義題型的功能

作為備受關注的新題型之一的新定義題型，在對學生發出挑戰的同時也鍛煉其各方面的能力，使得學生在遷移、創新、自主學習等方面的能力得到了彰顯和提升。

1.考查學生的遷移創新能力。喻平教授指出，知識是發展學科關鍵能力的本源，可將其分為知識理解、知識遷移與知識創新三個維度，其中知識理解為關鍵能力一級水平，知識遷移為關鍵能力二級水平，知識創新則屬于關鍵能力三級水平，因此學生的發展不能僅停留在知識理解層面，還要加強解決綜合問題的能力，將已學知識進行交叉融合進而解決問題，這就需要學生具備較強的遷移能力。優秀的學生往往能夠在遷移過程中自主思考所學知識之間的內在聯系，并且通過這些聯系得出新的理解，使其創新能力得到提升，也就是通常所說的“無師自通”。新定義題型作為一種綜合性題目，可以更準確地對學生的遷移、創新能力進行考量和評價。

例3 若各項為正的無窮數列an滿足：對于" "x∈N+，a2n+1-a2n=d，其中d為非零常數，則稱數列an為D數列，記bn=an+1-an.

（1）判斷無窮數列an=和an=2n是否是D數列，并說明理由;

（2）若an為D數列，證明：數列bn中存在小于1的項;

上述題目中提到D數列這一新的概念，但是深入思考之后則可發現，其實質上是由等差數列演變而成的，故在解決（1）題時將等差數列的證明思想遷移至D數列的證明即可;（2）題則需要學生融入創新思維，在意識到a2n為等差數列后，將bn以an+1+an的形式表達出來，進而得到需證明的結論。

2.考查學生的思維品質。良好的思維品質包括思維的深刻性、準確性、靈活性、創新性等。新定義題型具有良好的區分度，對考查學生思維品質具有獨到作用。以靈活性為例，于解題過程相當于機器運轉的潤滑油，若是沒有潤滑劑機器難以持續高效完成任務。在解題過程中學生要保持思維的靈活性，要善于多角度地認識問題、理解問題，在復雜的數學情境中找到最合適的解題方法，彰顯其思維的創新性和獨特性。

例4 設集合A，B是有限集，定義d（A，B）=card（A∪B）-card（A∩B），其中card（A）表示有限集合A中元素的個數。

命題1對于任意有限集合A，B，“A≠B”是“d（A，B）gt;0”的充分必要條件;命題2對于任意有限集合A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）.

A.命題1和命題2都成立

B.命題1和命題2都不成立

C.命題1成立，命題2不成立

D.命題1不成立，命題2成立

在解決該問題時，學生需通過直接推理的方法根據題目中d（A，B）的定義對提出的兩個命題的真假進行判斷，也可以借助維恩圖直觀地了解d（A，C）與d（A，B）+d（B，C）所包含元素個數的大小關系;此題很好地考查學生解決問題的靈活性，不僅可以通過邏輯推理解決問題，還可以利用圖像直觀簡潔高效地解決問題。

3.考查學生的自主學習能力。自主學習能力是信息化社會公民應該具備的基本素養。其中閱讀理解能力是基礎，其次還需要學生具備完善的信息加工能力。除此之外，抽象思考能力也是提升自主學習能力必不可少的要素。“新定義”題型往往是以抽象的形式出現在學生的視野中，這時就需要學生經過思考將題目中定義的抽象概念轉化為具體的已學知識并加以理解加工，從而讓新定義對自己來說不再“新”。

例5 拓撲學是研究幾何圖形（或集合）整體結構和性質的一門幾何學，以抽象而嚴謹的數學語言將集合與幾何聯系起來。

已知平面E2=（x，y）∣" x，y∈R，對于其上的任意兩點m（x1，y1），n（x2，y2），定義度量（距離）：d（m，n）=，并稱（E2，d）為一度量平面。設x0∈（E2，d），ε∈R+，稱平面區域B（x0，ε）=x∈（E2，d）∣d（x0，x）ε為以x0為“球心”的“球形”鄰域，簡稱鄰域（稱x∈（E2，d）∣d（x0，x）=ε為這個鄰域的“球面”邊界，簡稱邊界）。

（1）試用集合語言描述（E2，d）上兩個鄰域的交集;

（2）證明：（E2，d）上任意兩個鄰域的交集可以寫成若干個鄰域的并集;

上述例題中談及到高等數學中“拓撲”這一概念，這就需要學生不拘泥于已學知識，而是主動探尋更廣闊的知識海洋。（1）題中要求用集合的語言來描述（E2，d）上兩個鄰域的交集，體現出對學生閱讀理解能力以及數學語言表達能力的考查;由于此題是建立在三維空間上的，所以其本身就需要學生具備深厚的空間想象能力來構思出與之對應的集合圖像，在做出圖像后又需構造出一個新的球形鄰域來解決（2）題，因此新定義題型考查學生深度學習的成果。

三、新定義題型的解題策略

（一）追本溯源，探尋“題型之母”

每一道數學題目都不是憑空編造的，而是以學生平時所練習的基礎題型演變過來的，因此學生在解題時要善于將要解決的題目與已有解題經驗進行聯結，尋找二者的共同之處，找到其母題，進而轉化化歸。

例6 設A，B，C是非空集合，定義：

A×B×C=x∣x∈A且x∈B且x∈C，已知A=x∣y=

，B=y∣y=3x+1，C=x∣log2x3則A×B×C=（" "）。

A.（1，8）" "B.（0，8）

C.（0，1）" "D.（-∞，-4））∪[0，+∞]

評析：此題對集合的運算引入了一個新的定義，但是做題需做的是透過現象看本質，上述題目的“母題”即集合交集的求取，學生看破這一層之后便可以游刃有余地解決問題。

解析：對于集合A而言，元素由方程y=中x的取值范圍組成，由x2+4x≥0，解得x≤4或x≥0，集合A=x∣x≤4或x≥0.對于集合B而言，元素由方程y=3x+1中y的取值范圍組成，由3xgt;0可知，ygt;1，集合B=y∣ygt;1.對于集合C而言，f（x）=log2x在定義域內單調遞增，因此當log2xlt;3時，0lt;xlt;8，所以集合C=x∣0lt;xlt;8，因此A×B×C=（0，8）.

“追本溯源”中的“本”，一是相應函數定義域以及值域的求取方法，二是掌握集合交集的求取方法，掌握這兩點本質之后便可以解答出此題。

（二）抽絲剝繭，把握“解題關鍵”

“解題關鍵”可以是解題過程中的解題策略，也可以是構成題目的關鍵信息，還可以是解題的類比對象。解題關鍵的成功選取可以幫助做題者明確解題方向，達到“柳暗花明又一村”的效果，因此在解決問題時要找到解題的關鍵之處。

例7 布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間，并構成一般不動點定理的基石。簡單地講就是對于滿足一定條件的連續函數f（x），存在一個點x0，使得f（x0）=x0，那么我們稱該函數為“不動點”函數，下列為“不動點”函數的是（" ）。

A.f（x）=ln x-1" "B.f（x）=ex+1

C.f（x）=x+" " D.f（x）=x2+2x-1

評析：此題為“新函數”類型題，以布勞威爾不動點這一較新穎的理論對學生在函數單調性以及零點求取方面的能力進行了考查，因此在解題過程中把握住函數零點的存在性求取方法即找到了解題核心，那么本題中的解題核心便在于對不動點定理的理解。

解析：對于A選項，設g（x）=ln x-1-x，g′（x）=-1，化簡可得g′（x）=;當g′（x）=0時，x=1;當0lt;xlt;1時g′（x）gt;0，函數g（x）單調遞增;當xgt;1時，g′（x）lt;0，g（x）單調遞減。綜上所述，當x=1時，g（x）最大為-2，由此可知g（x）lt;0，因此不存在一點使得ln x-1=x（xgt;0）等式成立，f（x）=ln x-1不是“不動點”函數。對于B選項，當ex+1=x時，設g（x）=ex-x+1，g′（x）=ex-1，當x=0時，g′（x）=0;當xlt;0時，g′（x）lt;0;當xgt;0時，g′（x）gt;0，綜上所述g（x）在x=0時取得最小值為2，因此g（x）gt;2，函數f（x）=ex+1不是“不動點”函數。再來看C選項，令x+=x，設g（x）=可知不存在實數解，因此f（x）=x+不為“不動點”函數。最后看D選項，當x2+2x-1=x，設g（x）=x2+x-1，二次方程x2+x-1=0的判別式Δ=5gt;0， g（x）=0有解，因此函數f（x）=x2+2x-1為“不動點”函數。

對于此題，我們通過題目中的層層“絲”最終破解零點存在性這一“繭”，然后借助求導法則確定目標函數是否為題目中所定義的“不動點”函數。

（三）總結反思，概括“本質規律”

這是指學生在日常學習中要善于在解題訓練中總結反思，感悟解題策略和思想方法，積累概括數學解題經驗，得到具有規律性、普遍性的解題認識，升華解題效果。

例8 “群”是代數學中一個重要的概念，它的定義是：設G為某種元素組成的一個非空集合，若在G內定義一個運算“*”，滿足以下條件：

①" "a，b∈G，有a*b∈G;

②" "a，b，c∈G，有（a*b）*c=a*（b*c）;

③在G中有一個元素e，" "a∈G，都有a*e=e*a，稱e為G的單位元;

④" "a∈G，在G中存在唯一確定的b，使a*b=b*a=e，稱b為a的逆元。此時稱（G，*）為一個群。

例如實數集R和實數集上的加法運算“+”就構成一個群（R，+），其單位元是0，每一個數的逆元是其相反數，那么下列說法中，錯誤的是（" "）。

A.G=Q，則（G，+）為一個群

B.G=R，則（G，×）為一個群

C.G=-1，1，則（G，×）為一個群

D.G=平面向量，則（G，+）為一個群

評析：上述例題中所闡述的無非是加法和乘法兩種運算在給定集合內是否符合題干中給出的要求的問題，此時判斷選項中的運算在集合中成立與否即可。這啟發學生們在做題時不能只顧著計算，更要注重總結解題方法，在掌握方法之后再去解題可以達到事半功倍的效果。

解析：對于A選項，有理數域中兩個有理數的和仍然是有理數，并且有理數滿足結合律，同時經過計算可知0為G中的單位元與逆元，故（G，+）為一個群。

對于B選項，在實數域中1為G的單位元，但是當a×b=b×a=1時，若a=0則b的取值不能唯一確定，此時不滿足第四點要求，那么（G，×）不能稱為一個群。

再觀察C，當G=-1，1時，其滿足結合律并且（-1）×（-1）=1∈G，1×1=1∈G，（-1）×1=-1∈G;同時在G中，1為其單位元，-1為其本身和1的逆元，因此（G，×）為一個群;

最后看D，根據平面向量的加法法則可知其符合前兩點要求，易知0為該集合的單位元，而該集合的逆元可為平面向量自身的反向量，故（G，+）為一個群。

上述問題的解決需要以“群”的形成原則為第一階臺階，以“群”中的單位元以及逆元的確定方式為第二階臺階，通過層層遞進的過程得到正確答案。

四、結語

新定義題型的發展旨在更全面地評估考生的能力，促進他們在解決實際問題時的創造性思維和實踐能力，隨著教育評估理念的不斷更新和技術的不斷進步，這種類型的題型將會繼續發展和演變。因此作為教師要與時俱進地為學生提供合適的學習策略，提高其自主學習能力、研究創新意識。

參考文獻：

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本文系河北師范大學人文社會科學校內科研基金項目2017年“卓越教師核心素養發展研究”（項目編號：S2017Y17）研究成果。