例談高中數(shù)學(xué)之美及其教育價(jià)值

摘 要：本文聚焦高中數(shù)學(xué)，深入剖析并闡述了在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)之美的教育價(jià)值，進(jìn)而展現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美所散發(fā)出的獨(dú)特魅力和深遠(yuǎn)影響.通過高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅能夠提升對數(shù)學(xué)的興趣，更能深刻認(rèn)識到數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值及審美價(jià)值，進(jìn)一步促進(jìn)他們?nèi)姘l(fā)展.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)之美；教育價(jià)值

中圖分類號：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）36-0030-03

收稿日期：2024-09-25

作者簡介：胡麗平（1989.2—），女，貴州省凱里人，碩士，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究;

賈士偉（1985.7—），男，貴州省凱里人，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.基金項(xiàng)目：貴州省凱里市2023年教育科研立項(xiàng)課題“數(shù)學(xué)文化融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號：202302）.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：通過高中課程的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值［1］.數(shù)學(xué)之美是高中數(shù)學(xué)文化的重要構(gòu)成部分，本文將以高中數(shù)學(xué)為例，闡述高中數(shù)學(xué)滲透數(shù)學(xué)之美的教育價(jià)值，展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美的獨(dú)特魅力.

1 高中數(shù)學(xué)滲透數(shù)學(xué)之美的教育價(jià)值

高中數(shù)學(xué)滲透數(shù)學(xué)之美的教育價(jià)值是多方面的，它不僅僅局限于數(shù)學(xué)學(xué)科本身，更涉及學(xué)生的全面發(fā)展.

培養(yǎng)學(xué)生審美情趣.數(shù)學(xué)之美是客觀存在的，它體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的概念、公式、定理、圖形等各個(gè)方面.通過引導(dǎo)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)的美，可以培養(yǎng)學(xué)生的審美情趣，學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度去發(fā)現(xiàn)美、感受美、創(chuàng)造美.這種審美情趣的培養(yǎng)不僅有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，還能夠讓他們在其他學(xué)科和生活中發(fā)現(xiàn)美的存在，從而更加熱愛生活.

激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維.數(shù)學(xué)之美往往與數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性緊密相連.在探索數(shù)學(xué)之美的過程中，學(xué)生需要不斷地觀察、思考、嘗試，這有助于激發(fā)他們的創(chuàng)新思維.通過解決數(shù)學(xué)問題，學(xué)生可以鍛煉自己的邏輯思維能力和空間想象能力，培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力.

提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).數(shù)學(xué)之美是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分.通過滲透數(shù)學(xué)之美的教育，學(xué)生可以更加深入地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)和內(nèi)涵，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).這種數(shù)學(xué)素養(yǎng)不僅包括數(shù)學(xué)知識、技能和方法，還包括數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)文化等方面的素養(yǎng).

促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.數(shù)學(xué)之美不僅局限于數(shù)學(xué)學(xué)科本身，還與其他學(xué)科和領(lǐng)域密切相關(guān).教師通過滲透數(shù)學(xué)之美的教育，學(xué)生能夠更加廣泛地了解數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，促進(jìn)他們的全面發(fā)展.這種全面發(fā)展不僅包括學(xué)科知識的積累，還包括思維能力、情感態(tài)度和價(jià)值觀等方面的培養(yǎng).通過數(shù)學(xué)之美的教育，學(xué)生能夠更加全面地認(rèn)識自己和世界，從而更好地適應(yīng)未來的社會.

2 高中“數(shù)學(xué)之美”——美在哪里

2.1 結(jié)構(gòu)之美

數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的定理、公式和證明，均源于深邃的邏輯推演和精確的演繹.這些推導(dǎo)過程就如同出自建筑大師之手的杰作，憑借它們嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)構(gòu)和精妙的設(shè)計(jì)，充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和優(yōu)雅性.每一個(gè)定理、公式和證明都是數(shù)學(xué)世界的精美構(gòu)造，彰顯著數(shù)學(xué)獨(dú)特的魅力和美感.

例如，正弦和余弦函數(shù)的和角公式、差角公式以及倍角公式等，都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)公式的對稱性和簡潔性.這些公式不僅揭示了三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，也展示了數(shù)學(xué)公式的和諧統(tǒng)一.再如，圓、橢圓、雙曲線和拋物線等二次曲線都具有優(yōu)美的圖形和對稱的性質(zhì).這些圖形的方程和性質(zhì)不僅揭示了它們之間的內(nèi)在聯(lián)系和變化規(guī)律，也展示了數(shù)學(xué)公式的和諧統(tǒng)一和簡潔性.

2.2 簡潔之美

數(shù)學(xué)崇尚以最簡潔、最精煉的方式表達(dá)深邃的真理.一個(gè)簡短的公式或定理，常常能夠揭示出紛繁復(fù)雜的規(guī)律和現(xiàn)象，其背后的邏輯和內(nèi)涵令人嘆為觀止.這種簡潔性不僅彰顯了數(shù)學(xué)的獨(dú)特魅力，更讓人深刻體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的強(qiáng)大力量和美妙之處.在數(shù)學(xué)的世界里，簡潔不僅是形式上的追求，更是對真理深刻理解和把握的體現(xiàn).

2.3 解法之美

數(shù)學(xué)中的解法美猶如一位技藝高超的藝術(shù)家，以獨(dú)特的視角和精湛的畫功，在數(shù)學(xué)的畫布上勾勒出令人嘆為觀止的解題佳作.解法之美不僅僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)問題的解決步驟中，更在于它所蘊(yùn)含的邏輯思維之嚴(yán)密、創(chuàng)造力的無限迸發(fā)以及獨(dú)特的美學(xué)價(jià)值.18世紀(jì)法國哲學(xué)家狄德羅曾說，數(shù)學(xué)的簡潔美，并不是指數(shù)學(xué)內(nèi)容本身簡單，而是指數(shù)學(xué)的表達(dá)形式、數(shù)學(xué)的證明方法和數(shù)學(xué)的理論體系的結(jié)構(gòu)簡潔.18世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家高斯也曾提到，去尋求一種最美和最簡潔的證明，是吸引我去研究數(shù)學(xué)的主要動力.

例1 已知函數(shù)f（x）=（x2+x）（x2+ax+b），若x∈R，均有f（x）=f（2-x），則f（x）的最小值為________.

常規(guī)思路（多想少算）：利用f（x）=f（2-x）純代數(shù)計(jì)算，對比系數(shù)求出a，b；求導(dǎo)研究f（x）的單調(diào)性（涉及三次方程的解法—試根法），最后求出f（x）的最小值.

妙解（整體思想、多想少算）：由對稱性及部分零點(diǎn)得出f（x）的所有零點(diǎn)（特殊化思想），進(jìn)而利用根與系數(shù)的關(guān)系求出a，b；左右平移不改變函數(shù)最值，于是g（x）=f（x-1）=（x2-1）（x2-4）≥-94.

例2 雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，P，Q（P在第一象限）是雙曲線的一條漸近線與圓x2+y2=a2的兩個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)M滿足OM·F1P=0，5MP=F1P，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線的離心率e=________.

常規(guī)思路（少想多算）：

由x2+y2=a2，y=bax，得P（a2c，abc）.

則F1P=（a2c+c，abc），F(xiàn)1O=（c，0）.

所以O(shè)M·F1P=（56F1P-F1O）·F1P=

56［（a2c+c）2+（abc）2］-c·（a2c+c）=0.

所以5·（a2+c2）2+（ab）2c2=6（a2+c2）.

所以5a2b2=（a2+c2）［6c2-5（a2+c2）］.

化簡得c2=9a2.

妙解（多想少算）：注意F1Q⊥OQ，所以△PMO∽△PQF1.所以PMPO=PQPF1.

設(shè)PM=t，則ta=2a6t.①

又PQ2+QF21=PF21，即（2a）2+b2=（6t）2.②

①②聯(lián)立得b2=8a2.

2.4 數(shù)字之美

數(shù)學(xué)中的數(shù)字之美猶如一幅幅精心繪制的畫卷，在其實(shí)用價(jià)值之外，更蘊(yùn)含著無盡的美學(xué)意蘊(yùn).這些數(shù)字，如同宇宙的密碼，以其獨(dú)特的形態(tài)和規(guī)律，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)世界的奇妙與和諧.從斐波那契數(shù)列的和諧有序，到黃金分割的優(yōu)雅比例，這些數(shù)字序列和比值不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域占據(jù)重要位置，更在自然界和藝術(shù)創(chuàng)作中找到了廣泛的應(yīng)用和體現(xiàn).它們揭示了數(shù)字之間深層的聯(lián)系和規(guī)律，展示了數(shù)學(xué)世界中的和諧與統(tǒng)一.而圓周率π，這個(gè)無理數(shù)的代表，更是數(shù)學(xué)中的瑰寶，其無限不循環(huán)的性質(zhì)，如同宇宙的無盡奧秘，令人著迷.π的存在不僅為數(shù)學(xué)和物理學(xué)提供了重要的理論基礎(chǔ)，更以其獨(dú)特的魅力成為人類文化和藝術(shù)中的一部分.

2.5 對稱之美

對稱性在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中占據(jù)著舉足輕重的地位，它不僅在幾何學(xué)中展現(xiàn)出獨(dú)特的魅力，在代數(shù)、數(shù)論等領(lǐng)域也同樣可見其身影.對稱性賦予了數(shù)學(xué)一種和諧、平衡的美感，讓人們能夠深切感受到數(shù)學(xué)的精致與美妙.無論是具有對稱性的圖形，還是對稱的函數(shù)表達(dá)式，都充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)對稱之美的獨(dú)特魅力，讓人為之傾倒，這種美感源于數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)和邏輯，讓人在探索數(shù)學(xué)奧秘的同時(shí)，也感受到美的熏陶.

2.6 公式之美

數(shù)學(xué)中的公式美猶如璀璨星辰編織而成的宇宙圖譜，以其簡潔的線條、精確的刻畫和深邃的內(nèi)涵，展現(xiàn)著令人嘆為觀止的藝術(shù)魅力.這些公式不僅是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的瑰寶，更是人類智慧與創(chuàng)造力的結(jié)晶，它們以獨(dú)特的方式揭示了數(shù)學(xué)世界的奧秘與和諧.例如：

案例 最美公式—?dú)W拉公式.

在2004年，英國權(quán)威科學(xué)期刊《物理世界》舉辦了一場別開生面的投票活動，旨在讓讀者們評選出科學(xué)史上最偉大的公式.在這場激烈的角逐中，被譽(yù)為“最美公式”的歐拉公式脫穎而出，毫無爭議地摘得桂冠.這個(gè)公式由偉大的數(shù)學(xué)家歐拉在1748年發(fā)表，不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有舉足輕重的地位，更因其獨(dú)特的魅力和深遠(yuǎn)的意義而被廣泛傳頌.

歐拉公式巧妙地連接了三角函數(shù)與復(fù)指數(shù)函數(shù)，這種深刻而優(yōu)雅的關(guān)聯(lián)讓無數(shù)數(shù)學(xué)家為之傾倒，它因此被尊稱為“上帝公式”“宇宙第一公式”等，足見其在數(shù)學(xué)界的崇高地位.數(shù)學(xué)王子高斯曾這樣評價(jià)：“如果一個(gè)人初次邂逅歐拉公式而不為其魅力所動，那他恐怕難以真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的精髓.”而物理學(xué)家理查德·費(fèi)曼更是將其譽(yù)為“我們的珍寶”和“數(shù)學(xué)中最非凡的公式”.

特別是當(dāng)θ=π，歐拉公式可以簡化成一個(gè)簡潔至極的恒等式eiπ+1=0.這個(gè)恒等式將數(shù)學(xué)中最重要的五個(gè)基本常數(shù)-1，0，π，e和i，巧妙地統(tǒng)一在一個(gè)公式之中，它就像一首絕美的詩篇，用簡短的文字抒發(fā)了數(shù)學(xué)之美與自然之美的和諧統(tǒng)一，令人嘆為觀止，拍案叫絕！

2.7 圖形之美

數(shù)學(xué)中的圖形美恰似大自然雕琢出的杰作，以其千變?nèi)f化的形態(tài)、完美的對稱與和諧的韻律，淋漓盡致地展現(xiàn)了數(shù)學(xué)世界的瑰麗與深邃.圖形不僅是數(shù)學(xué)研究的核心對象，更是詮釋數(shù)學(xué)之美的絕妙舞臺.這些圖形，或如曼妙的曲線，流淌出優(yōu)雅與流暢；或如精致的幾何體，展現(xiàn)出結(jié)構(gòu)與秩序的完美統(tǒng)一，它們以簡潔的線條和精確的度量，勾勒出數(shù)學(xué)世界的奇妙圖景，令人嘆為觀止.圖形的對稱之美，更是數(shù)學(xué)美感的獨(dú)特體現(xiàn).從簡單的軸對稱到復(fù)雜的旋轉(zhuǎn)對稱，圖形中的對稱元素不僅帶來了視覺上的平衡與和諧，更揭示了數(shù)學(xué)規(guī)律與宇宙秩序之間的緊密聯(lián)系.此外，圖形的和諧之美也令人陶醉.無論是黃金分割中的優(yōu)雅比例，還是三角函數(shù)波形中的周期性重復(fù)，圖形中的元素相互呼應(yīng)、相互補(bǔ)充，共同構(gòu)成了一個(gè)和諧統(tǒng)一的整體.這種和諧不僅體現(xiàn)在圖形內(nèi)部，更貫穿于數(shù)學(xué)世界的每一個(gè)角落.

3 結(jié)束語

高中數(shù)學(xué)中滲透數(shù)學(xué)之美的教育價(jià)值深遠(yuǎn)而廣泛，它能夠激發(fā)學(xué)生的審美情趣，讓他們領(lǐng)略到數(shù)學(xué)獨(dú)特的魅力，進(jìn)而培養(yǎng)他們對美的感悟與追求；還能夠激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，促使他們在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，運(yùn)用獨(dú)特的視角和方法，開拓新的思路.教師通過引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美、感受數(shù)學(xué)的美、創(chuàng)造數(shù)學(xué)的美，讓他們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中享受美的熏陶和啟迪，從而更加熱愛數(shù)學(xué)、熱愛學(xué)習(xí)，為他們的未來發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.

［責(zé)任編輯：李 璟］