基于多元表征的“數(shù)的認識”教學(xué)策略探究*

【摘 要】數(shù)學(xué)表征是對數(shù)學(xué)對象進行表達的過程。數(shù)學(xué)學(xué)科中的表征形式包括情境表征、圖像表征、語言表征、動作表征、符號表征等。基于多元表征的小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)的認識”的教學(xué)可以深化學(xué)生對數(shù)的理解，促進他們逐步發(fā)展抽象思維。在具體教學(xué)中，教師可以通過優(yōu)化表征結(jié)構(gòu)、合理安排表征順序、促進表征轉(zhuǎn)化等措施，幫助學(xué)生更好地開展學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；多元表征；數(shù)的認識；數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)概念

【中圖分類號】G623.5" 【文獻標志碼】A" 【文章編號】1005-6009（2024）37-0051-03

【作者簡介】1.孔繁玲，青海省海北藏族自治州青石嘴鎮(zhèn)寄宿制小學(xué)（青海海北，810399）教師，二級教師；2.潘禹辰，南京師范大學(xué)（南京，210097）課程與教學(xué)研究所博士研究生，主要從事數(shù)學(xué)教育研究。

在學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)概念時，不少學(xué)生會感到挑戰(zhàn)性較大。教師基于多元表征展開教學(xué)，能在一定程度上有效解決這種問題。下面，本文以“數(shù)的認識”的教學(xué)為例，來具體探討基于多元表征的數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略。

一、多元表征的含義

“表征”是指建立起一一對應(yīng)的認知過程，也可以看作認知對象的載體。數(shù)學(xué)表征是學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象進行表達的過程，它外顯于多樣化的表征形式。早在20世紀，多元表征的概念就已經(jīng)被提出，即指用不同的方式對相同的知識進行表征。數(shù)學(xué)學(xué)科中的表征形式具體包括情境表征、圖像表征、語言表征、動作表征、符號表征等。情境表征是對指定對象在操作以及日常環(huán)境中事件之間關(guān)系的表征，即創(chuàng)設(shè)一個情境，喚醒學(xué)生的經(jīng)驗表達。圖像表征是指借助實物或運用畫圖的方式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)對象及其關(guān)系，以直觀地表達數(shù)學(xué)問題，有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念、推理意識和創(chuàng)新意識。語言表征是指用口頭語言的形式來表征，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的呈現(xiàn)過程。動作表征是指通過觀察、模仿、動畫演示和實踐表達展示數(shù)學(xué)概念等，能促進學(xué)生對問題的感知，幫助他們理解復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)問題，豐富數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。符號表征是指運用數(shù)字、字母、運算式等抽象的符號來表征，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美。以上表征對學(xué)生思維發(fā)展的側(cè)重點各有不同，教師教學(xué)時宜采用多元表征來替代以往單一的表征方式，并在不同表征系統(tǒng)中構(gòu)建廣泛的聯(lián)系，從而促進學(xué)生學(xué)習(xí)方式的多元化。

二、多元表征在“數(shù)的認識”教學(xué)中的價值

在“數(shù)的認識”教學(xué)中，需要讓學(xué)生認識整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)，整數(shù)的認識涉及基數(shù)（有幾個）和序數(shù)（第幾個）的概念，而分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)的認識涉及數(shù)與量的整體和部分的關(guān)系。在最初學(xué)習(xí)0～9時，學(xué)生對可數(shù)實體的認識遵循“感知單元—形象單元—動作單元—語言單元—抽象單元”的發(fā)展路徑，這恰恰體現(xiàn)了不同的表征形式，基于多元表征的教學(xué)恰好與之相契合。在探索數(shù)的意義時，情境表征可用于呈現(xiàn)關(guān)于數(shù)字的新知識，引導(dǎo)學(xué)生主動思考、分析和解決問題，從而培養(yǎng)他們的邏輯推理能力和問題解決技巧。比如，設(shè)計富含趣味性的數(shù)學(xué)活動或游戲，并輔以實踐操作，不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，還能讓他們看到數(shù)學(xué)的實用性和趣味性。在數(shù)的教學(xué)中融入豐富的現(xiàn)實情境和圖表，有助于學(xué)生對數(shù)有更加深入的理解，能使他們在生活實踐中深刻體會數(shù)學(xué)知識的實際效用。

三、基于多元表征的“數(shù)的認識”教學(xué)策略

1.重構(gòu)教學(xué)信息，優(yōu)化表征結(jié)構(gòu)

為了更好地發(fā)揮多元表征在“數(shù)的認識”教學(xué)中的效用，我們需要將教學(xué)內(nèi)容中蘊含的離散性信息重新編碼，組織成更大單位的信息塊。“組塊”是人類進行信息加工的重要形式之一。小學(xué)生的短時記憶時間持續(xù)較短，大約2.5秒～20秒，且容量有限，只能記憶7±2個組塊。因此，教師在教學(xué)中要注意將分散的教學(xué)信息進行重構(gòu)，并指導(dǎo)學(xué)生對信息進行初步的編碼和儲存，從而促進他們更好地習(xí)得知識、形成能力。

例如，教學(xué)“分數(shù)的初步認識”時，為了克服工作記憶容量的限制，促進學(xué)生對信息的理解和記憶，教師要注意深入分析教學(xué)內(nèi)容，調(diào)整并優(yōu)化多元表征的結(jié)構(gòu)，從而逐步引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由具象水平過渡到半具體、半抽象水平，進而達到完全抽象水平，最終由抽象回歸具體的完整學(xué)習(xí)過程。此外，在學(xué)習(xí)分數(shù)概念的不同階段，要將不同的表征以組塊的形式呈現(xiàn)。具體而言，在教學(xué)“認識一個物體的幾分之一”時，首先，可以用實物來演示“把一個物體平均分成2份”，引導(dǎo)學(xué)生初步感知分數(shù)，此為具體認知。然后，可以通過分物品、折紙等動手操作的活動，引導(dǎo)學(xué)生進行操作表征，豐富他們對[12]的認識，使他們初步建立[12][的正確表象]，此為半具體、半抽象的認知。接著，可以通過語言表征和符號表征等引導(dǎo)學(xué)生逐步抽象并概括所學(xué)知識。教師可以進行適當(dāng)提問，促進學(xué)生對所學(xué)知識有更深層次的理解。比如，“兩個同樣大的圓可以表示不同的分數(shù)嗎？[12]和[14][誰更大？]”這一問題要求學(xué)生用畫圖的方式表示分數(shù)，并通過圖形的直觀比較抽象概括出分數(shù)的含義，豐富對幾分之一的認識，此為抽象的認知。最后，可以通過與多元表征相關(guān)的變式問題，如“你能描述一下你在生活中見到的[12]嗎？”，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從抽象回歸具體的過程。

2.注重呈現(xiàn)順序，助推概念教學(xué)

在時間和空間都有限的課堂教學(xué)中，學(xué)生能處理和掌握的信息也是有限的，無序的表征呈現(xiàn)方式會影響學(xué)生對新概念的理解，并在一定程度上增加他們的認知負荷。因此，事先設(shè)計好表征的呈現(xiàn)順序是教學(xué)的關(guān)鍵一環(huán)。

例如，教學(xué)“認識11～20”，引入概念時可以選擇直觀且有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的表征形式，如情境表征、實物表征、操作表征等。同時，教師可以借助多媒體短視頻展現(xiàn)計數(shù)單位“十”產(chǎn)生的過程，從視覺和聽覺兩個角度吸引學(xué)生的注意力。在建構(gòu)概念時，可以按照從情境到動作、圖像（進一步可以使用數(shù)軸）、符號的順序進行，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入理解計數(shù)單位“十”，并認識11～20各數(shù)。在鞏固概念階段，應(yīng)重點呈現(xiàn)表征轉(zhuǎn)換的問題，例如，讓學(xué)生用小棒表示出11～20各數(shù)，將11、13、20在數(shù)軸上表示出來，借助符號與操作、符號與數(shù)軸之間的轉(zhuǎn)換，促進他們深刻理解20以內(nèi)數(shù)的概念。在最后的總結(jié)階段，可以引導(dǎo)學(xué)生繪制“認識11～20”的多元表征結(jié)構(gòu)圖，將新舊知識有機結(jié)合起來，形成“整數(shù)的認識”的完整知識體系。

3.促進表征轉(zhuǎn)化，深化概念認知

表征轉(zhuǎn)化是指某一認知對象多元表征之間的相互轉(zhuǎn)化，包括系統(tǒng)間表征轉(zhuǎn)化和系統(tǒng)內(nèi)表征轉(zhuǎn)化。系統(tǒng)間表征轉(zhuǎn)化是不同表征類型之間的轉(zhuǎn)化，如將0.7在圖形中表示出來，它有利于學(xué)習(xí)者理解同一事物的不同屬性和特點之間的關(guān)系，幫助他們形成對事物更加整體的認識。系統(tǒng)內(nèi)表征轉(zhuǎn)化是指同一表征系統(tǒng)內(nèi)不同形式之間的轉(zhuǎn)化，如小數(shù)的面積表征與數(shù)軸表征之間的轉(zhuǎn)化就是圖像表征系統(tǒng)內(nèi)的轉(zhuǎn)化，它對學(xué)生提出了更高的要求，往往需要學(xué)生具備自主選擇表征形式解決問題的能力，教師應(yīng)適當(dāng)提供教學(xué)支架。表征之間的轉(zhuǎn)化可以幫助學(xué)生逐步從具體走向抽象、從感性走向理性，使他們更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識。這種轉(zhuǎn)化不僅有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)，還有利于培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和問題解決能力。

例如，在“小數(shù)的意義”教學(xué)中，可以同時使用系統(tǒng)間表征轉(zhuǎn)化和系統(tǒng)內(nèi)表征轉(zhuǎn)化。具體而言，可以使用百格板、正方形、貨幣、線段、圓柱、正方體等情境表征或圖像表征。

總之，基于多元表征的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有助于學(xué)生把握概念的本質(zhì)。在教學(xué)中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生深入理解、多元表征抽象的概念，同時要引導(dǎo)他們在回顧反思中持續(xù)提升。

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