在類比中生成 在生成中提升

摘 要：本文以蘇教版高中數學必修二第9章《平面向量》為基礎，通過例舉與“平面向量及其線性運算”相關試題和解析的方式，以新課標的教學提示為導向，優化高中數學課程隨堂習題設計，旨在發揮出數學習題對訓練學生平行式思維、促進學生知識鞏固以及提升學生解題能力所存在的載體作用.

關鍵詞：高中數學；新課標；類比

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）21-0069-03

“平面向量及其線性運算”是

《平面向量》單元中的內容，該單元的學習內容主要圍繞向量而展開，教學重點在于向量定理與坐標表示、向量的應用.本文結合“平面向量及其線性運算”教學內容，從“類比對象”的視角分析三種類比法在解題教學中的應用，即個別性類比、特殊性類比、普遍性類比，同時分別甄選了與之相對應的習題做教學實錄分析.

1 個別性類比

個別性類比是在某兩個或兩個以上的個別對象之間進行的[1].例如，在平面向量線性運算的解題教學中，通過建立平面直角坐標系，求出點坐標是學生解題的關鍵，那么如果將平面向量線性運算問題視為個別對象，學生基于一個個別對象的解題流程則可以推出類似個別對象的解題流程，繼而掌握平面向量線性運算的解題技巧，提升平面向量線性運算方面的計算能力.教學實踐中，教師應將個別性類比的邏輯模式作為解題講解依據，將學生置身于個別性類比的問題情境之中，幫助學生掌握解題技巧.

例1 已知向量a=（m，2），b=（1，1），若a+b=a+b，則實數m=（" ）.

A.2" B.-2" C.12" D.-12

例2 設向量BA=（3，2），AC=（0，6），則AB=（" ）.

A.26" B.5 ""C.26"" D.6

例3 在△ABC中，AC=（2，3），BA+BC=（-2，3），則AB=（" ）.

A.2"" B.3"" C.4""" D.6

解析 上述例題主要考查學生是否能夠利用坐標求出向量的模，在解題的過程中，學生均需要結合題目給出的已知條件將坐標作為解題的關鍵.若將

例1視為個別對象，那么例2、例3則可以被視為另兩個個別對象，對于例1、例2、例3均可通過向量的坐標運算以及加減法法則求出向量的模.所以在教學實踐中，教師可以將例1作為基礎，引導學生思考求解的技巧，即“利用坐標”可求解例1，那么“利用坐標”也可以求解例2、例3，從而使學生在思考的過程中逐步形成個別性類比思維.

2 特殊性類比

在基于“類比對象”的類比法中，“特殊性類比”的范疇相對廣泛一些，該方法的內涵為：已知某類對象的某一性質，可知另一部分對象的某一性質[2].在教學實踐中，教師不僅需要將特殊性類比的邏輯模式作為解題講解的依據，而且需要基于一個類別的題型擴大問題的數量，從而使學生在解題的過程中，運用特殊性類比法推理出同類對象中一部分與另一部分的相同之處.

例4 正方形ABCD中，M為BC的中點，N為CD的中點，若AC=λAM+μBN，則λ+μ=（" ）.

A.65"" B.85"" C.2"" D.83

解 B.將AB與AD作為坐標軸建立平面直角坐標系.

圖1 基于正方形ABCD的平面直角坐標系

如圖1所示，設平面直角坐標系中正方形ABCD的邊長為1，則AM=（1，12），BN=（-12，1），AC=（1，1），由AC=λAM+μBN，得λ-12μ=112λ+μ=1，

∴λ=65μ=25，∴λ+μ=85.

例5 已知A（-4，0），B（0，3），O為坐標原點，點C在第二象限內，OC=32，且∠AOC=45°，設OC=λOA+OB（λ∈R），則λ的值為（" ）.

A.-34"" B.12"" C.34"" D.1

解 ∵A（-4，0），B（0，3），O為坐標原點，∴OC=λOA+OB=（-4λ，0）+（0，3）=（-4λ，3），可知點C的坐標為（-4λ，3），題目給出點C在第二象限內，λ＞0，又∵OC=（-4λ）2+9=32，解得λ=±34，舍負后，λ=34，故選項C正確.

解析 從數學習題的角度上看例4、例5屬于線性運算類對象，在線性運算類對象中例4可以將平面直角坐標系作為工具實現解題，那么例5也可以利用平面直角坐標系進行解題.雖然例4、例5所給出的已知條件在表述形式上存在一定的差異，但

這兩個例題均考查學生是否能夠通過向量的線性運算

求出參數，在解題的過程中，學生基于平面直角坐標系通過向量的線性運算可求出例4中參數λ+μ的值，通過特殊性類比法也可以求出例5中λ的值.所以在教學實踐中，對于線性運算類的問題，教師可以將兩個及兩個以上的線性運算類問題歸納至一起，并輔以“利用平面直角坐標系解題”的教學強調，將學生置身于特殊性類比的學習情境之中，從而促使學生掌握此類“對象”的解題技巧.

3 普遍性類比

在基于“類比對象”的類比法中，“普遍性類比”所指向的范疇最大，該類比法的內涵為：已知所有對象中某類對象的某種性質，可知另一類對象同樣的某種性質[3].那么如果將一平面向量線性運算數學問題視為一個對象，則在教學實踐中教師應將與平面向量線性運算知識相關的所有數學問題作為切入點，依據普遍性類比的邏輯模式，注重引導學生思考解決平面向量線性運算問題的共性技巧，使學生從宏觀的角度去把握向量線性運算問題的解題技巧.

例6 已知點D為△ABC中AC邊上的中點，P為△ABC中BC邊上的動點，BC=2，BAcos〈BA，BC〉=-1，求PC·（PB+2PD）的最小值.

解 以BC邊所在的直線作為平面直角坐標系的x軸，同時將BC的中點作為平面直角坐標系的坐標原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系.

圖2 基于△ABC的平面直角坐標系

∴A（-2，y）、B（-1，0）、C（1，0）、D（-12，12y），此時可以設點P的坐標為（x，0），其中-1≤x≤1，則PC·（PB+2PD）=3x2-x-2，當x=16時可取最小值-2512.

例7 已知在△OAB中，OB=2，AB=1，∠AOB=45°，點P滿足OP=λOA+μOB（λ∈R、μ∈R），其中λ、μ滿足2λ+μ=3，求OP的最小值.

解 由正弦定理可得ABsin∠AOB=OBsin∠OAB，即12/2=2sin∠OAB，計算該式可得sin∠OAB=1，則∠OAB=π2，可知△OAB是等腰直角三角形.然后，將O作為原點，OB所在的直線為x軸，以OB的垂線為y軸可建立如圖3所示的平面直角坐標系.

易得OA=（22，22）、OB=（2，0），

∴OP=（22λ+2μ，22λ），

∴OP=λ2+2λμ+2μ2

=5（λ-95）2+95，

當λ=95時，OP最小值=355.

解析 上述例題中，例6考查了學生應用向量方法解決幾何最值問題的能力，例7考查了平面向量定理的應用，兩道例題的類型均屬于運用向量線性運算解決最值問題.在例6中，學生可以應用平面直角坐標系和函數知識實現解題，在例7中，學生也可以應用平面直角坐標系和函數知識進行解題，由此可以推出對于本單元的最值類型問題，除向量的線性運算外，還可以將建立平面直角坐標系、轉化成函數最值問題作為解題切入點.所以，教學實踐中，對于向量線性運算求最值類數學問題，教師可以將某一類數學最值問題歸納至一起，并輔以“利用平面直角坐標系、二次函數知識解題”的教學強調，將學生置身于普遍性類比的學習情境之中，從而促使其掌握此類“所有對象”的解題技巧.

4 結束語

在解題教學中滲透類比法，有利于學生快速掌握解題技巧，幫助學生在較少的習題訓練中實現觸類旁通.同時，學生在教師的引導下親歷了數學問題類比推理的整個過程，在這一過程中，學生的類比思維能夠得到一定程度的提升.

參考文獻：［1］ 徐琳.應用類比法構建新型高中數學課堂教學模式[J].數理化解題研究，2023（27）：44-46.

[2] 劉爽.類比法在高中數學教學中的運用探討[J].數理天地（高中版），2023（07）：56-58.

[3] 代海霞.類比法在高中數學教學中的應用探究[J].中學數學，2022，（17）：39-40.

［責任編輯：李 璟］